Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Построение правильного пятиугольника

В математике конструктивный многоугольник - это правильный многоугольник, который можно построить с помощью циркуля и линейки . Например, правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, а правильный семиугольник - нет. Существует бесконечно много конструктивных многоугольников, но известен только 31 многоугольник с нечетным числом сторон.

Условия конструктивности [ править ]

Количество сторон известных конструктивных многоугольников, имеющих до 1000 сторон (жирный шрифт) или количество нечетных сторон (красный)
Строительство штатного 17-угольника

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки; другие нет. В древнегреческие математики знали , как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторон, [1] : р. xi, и они знали, как построить правильный многоугольник с удвоенным числом сторон данного правильного многоугольника. [1] : pp. 49–50 В связи с этим возник вопрос: можно ли построить все правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n -угольники (то есть многоугольники с n ребрами) можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность правильного 17-угольника в 1796 году. Пятью годами позже он разработал теорию гауссовских периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae . Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников. Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо , но не опубликовал свое доказательство. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля :

Правильный n -угольник (то есть многоугольник с n сторонами) может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n является произведением степени двойки и любого количества различных простых чисел Ферма (включая ни одного).

( Простое число Ферма - это простое число вида )

Для того , чтобы уменьшить геометрическую задачу к проблеме чистой теории чисел , доказательство использует тот факт , что регулярный п -угольник конструктивны тогда и только тогда , когда косинус , является конструктивно числом , то есть, может быть записана в терминах четыре основных арифметических операции и извлечение квадратных корней. Эквивалентные регулярный п - угольник конструктивна , если любой корень из п - й круговой многочлен конструктивны.

Подробные результаты по теории Гаусса [ править ]

Переформулируем теорему Гаусса-Вантцеля:

Правильный n -угольник можно построить с помощью линейки и циркуля тогда и только тогда, когда n = 2 k p 1 p 2 ... p t, где k и t - неотрицательные целые числа, а p i (когда t > 0) - различные простые числа Ферма.

Пять известных простых чисел Ферма :

F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257 и F 4 = 65537 (последовательность A019434 в OEIS ).

Поскольку существует 31 комбинация от одного до пяти простых чисел Ферма, существует 31 известный конструктивный многоугольник с нечетным числом сторон.

Следующие двадцать восемь чисел Ферма, от F 5 до F 32 , как известно, составные. [2]

Таким образом, правильный n -угольник конструктивен, если

п = 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30 , 32 , 34 , 40 , 48 , 51, 60 , 64 , 68, 80 , 85, 96 , 102, 120 , 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542 , 1632, 1920, 2040, 2048, ... (последовательность A003401 в OEIS ),

в то время как обычный n -угольник не может быть построен с помощью циркуля и линейки, если

п = 7 , 9 , 11 , 13 , 14 , 18 , 19 , 21 , 22 , 23 , 25, 26 , 27, 28 , 29, 31, 33, 35, 36 , 37, 38, 39, 41, 42 , 43, 44, 45 , 46, 47, 49, 50 , 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70 , 71, 72 , 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90 , 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127 , ... (последовательность A004169 в OEIS ).

Связь с треугольником Паскаля [ править ]

Поскольку известно 5 простых чисел Ферма, мы знаем 31 число, которое является произведением различных простых чисел Ферма, и, следовательно, 31 конструктивный нечетный правильный многоугольник. Это 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537 , 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (последовательность A045544 в OEIS ). Как заметил Джон Конвей в «Книге чисел» , эти числа, записанные в двоичном формате, равны первым 32 строкам треугольника Паскаля по модулю -2 , за вычетом верхней строки, которая соответствует моногону.. (Из-за этого единицы в таком списке образуют приближение к треугольнику Серпинского .) После этого этот образец нарушается, поскольку следующее число Ферма является составным (4294967297 = 641 × 6700417), поэтому следующие строки не соответствуют конструктивные многоугольники. Неизвестно, существуют ли еще простые числа Ферма, и поэтому неизвестно, сколько существует нечетных конструктивных правильных многоугольников. В общем, если существует q простых чисел Ферма, то имеется 2 q −1 нечетных правильных конструктивных многоугольника.

Общая теория [ править ]

В свете более поздних работ по теории Галуа принципы этих доказательств были прояснены. Из аналитической геометрии легко показать, что конструктивные длины должны происходить из базовых длин путем решения некоторой последовательности квадратных уравнений . [3] С точки зрения теории поля , такие длины должны содержаться в расширении поля, порожденном башней квадратичных расширений . Отсюда следует, что поле, порожденное конструкциями, всегда будет иметь степень над базовым полем, равную степени двойки.

В частном случае правильного n -угольника вопрос сводится к вопросу о построении длины

потому что 2 π/п ,

которое является тригонометрическим числом и, следовательно, алгебраическим числом . Это число лежит в ˝n˝ -й круговом поле - и на самом деле в его реальном подполе, что является вполне вещественное поле и рациональное векторное пространство от размерности

½φ ( п ),

где φ ( n ) - функция Эйлера . Результат Ванцела сводится к вычислению, показывающему, что φ ( n ) является степенью двойки именно в указанных случаях.

Что касается конструкции Гаусса, то, когда группа Галуа 2-группа, следует, что она имеет последовательность подгрупп порядков

1, 2, 4, 8, ...

которые вложены, каждый в следующий ( композиционный ряд , в терминах теории групп ), что-то простое, что можно доказать по индукции в этом случае абелевой группы . Следовательно, внутри кругового поля вложены подполя, каждое из которых имеет степень 2 по сравнению с предыдущим. Генераторы для каждого такого поля можно записать с помощью теории гауссовского периода . Например, для n = 17 существует период, который представляет собой сумму восьми корней из единицы, один - сумму четырех корней из единицы, а второй - сумму двух, т.е.

потому что 2 π/17 .

Каждое из них является корнем квадратного уравнения в терминах предыдущего. Более того, эти уравнения имеют действительные, а не комплексные корни, поэтому в принципе их можно решить с помощью геометрического построения: это потому, что вся работа происходит внутри полностью реального поля.

Таким образом, результат Гаусса можно понять в современных терминах; для фактического расчета решаемых уравнений периоды можно возвести в квадрат и сравнить с «более низкими» периодами с помощью вполне выполнимого алгоритма.

Конструкции компаса и линейки [ править ]

Конструкции циркуля и линейки известны для всех известных конструктивных многоугольников. Если n  =  p · q с p  = 2 или p и q взаимно просты , n -угольник может быть построен из p -угольника и q -угольника.

  • Если p  = 2, нарисуйте q -угольник и разделите пополам один из его центральных углов. Отсюда можно построить 2 q -угольник.
  • Если p  > 2, впишите p -угольник и q -угольник в один круг так, чтобы они имели общую вершину. Поскольку p и q взаимно просты, существуют целые числа a , b такие, что ap + bq = 1 . Тогда 2aπ / q + 2bπ / p = 2π / pq . Отсюда можно построить p · q -угольник.

Таким образом, достаточно найти компас и линейку для n -угольников, где n - простое число Ферма.

  • Конструкция равностороннего треугольника проста и известна с древних времен . См. Равносторонний треугольник .
  • Конструкции правильного пятиугольника были описаны как Евклидом ( Элементы , около 300 г. до н.э.), так и Птолемеем ( Альмагест , около 150 г. н.э.). Смотрите пятиугольник .
  • Хотя Гаусс доказал, что правильный 17-угольник можно построить, он не показал, как это сделать. Первая конструкция принадлежит Эрчингеру, через несколько лет после работы Гаусса. См. Гептадекагон .
  • Первые явные конструкции правильного 257-угольника были даны Магнусом Георгом Паукером (1822 г.) [4] и Фридрихом Юлиусом Ришело (1832 г.). [5]
  • Конструкция правильного 65537-угольника впервые была предложена Иоганном Густавом Гермесом (1894 г.). Строительство очень сложное; Гермес потратил 10 лет на завершение 200-страничной рукописи. [6]

Галерея [ править ]


Слева направо - конструкции 15-угольника , 17-угольника , 257-угольника и 65537-угольника . Показан только первый этап строительства 65537-угольников; конструкции 15-угольника, 17-угольника и 257-угольника приведены в законченном виде.

Другие конструкции [ править ]

Концепция конструктивности, обсуждаемая в этой статье, применима конкретно к построению циркуля и линейки . Больше конструкций становится возможным, если разрешены другие инструменты. Так называемые конструкции neusis , например, используют отмеченную линейку. Построения представляют собой математическую идеализацию и предполагается, что они выполнены точно.

Правильный многоугольник с n сторонами может быть построен с помощью линейки, циркуля и трисектора угла тогда и только тогда, когда где r, s, k ≥ 0 и где p i - различные простые числа Пьерпона, большие 3 (простые числа вида [7] : Thm. 2

См. Также [ править ]

  • Многоугольник
  • Карлайл круг

Ссылки [ править ]

  1. ^ Б Жирный, Бенджамин. Известные проблемы геометрии и способы их решения , Dover Publications, 1982 (начало 1969 г.).
  2. ^ Статус факторинга Fermat. Архивировано 10 февраля 2016 г. в Wayback Machine Уилфридом Келлером.
  3. ^ Кокс, Дэвид А. (2012), «Теорема 10.1.6», Теория Галуа , Чистая и прикладная математика (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 259, DOI : 10.1002 / 9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9.
  4. ^ Магнус Георг фон Паукер (1822). "Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis" . Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (на немецком языке). 2 : 160–219.
  5. ^ Фридрих Юлиус Ришело (1832). «De Resolutione algebraica aequationis x 257 = 1, sive de Divisione loops per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata» . Journal für die reine und angewandte Mathematik (на латыни). 9 : 1–26, 146–161, 209–230, 337–358. DOI : 10,1515 / crll.1832.9.337 .
  6. ↑ Иоганн Густав Гермес (1894). "Über die Teilung des Kreises в 65537 gleiche Teile" . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке). Гёттинген. 3 : 170–186.
  7. ↑ Глисон, Эндрю М. (март 1988 г.). «Трисечение угла, семиугольник и трехугольник». Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. DOI : 10.2307 / 2323624 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Дуэйн В. ДеТемпл (1991). «Круги Карлайла и простота Лемуана многоугольных конструкций». Американский математический ежемесячник . 98 (2): 97–108. DOI : 10.2307 / 2323939 . JSTOR  2323939 . Руководство по ремонту  1089454 .
  • Кристиан Готтлиб (1999). «Простое и понятное построение правильного 257-угольника». Математический интеллигент . 21 (1): 31–37. DOI : 10.1007 / BF03024829 . Руководство по ремонту  1665155 .
  • Формулы регулярных многоугольников , задавайте вопросы доктора математики.
  • Карл Шик: Weiche Primzahlen und das 257-Eck: eine analytische Lösung des 257-Ecks. Цюрих: К. Шик, 2008. ISBN 978-3-9522917-1-9 . 
  • 65537-угольник, точное построение для 1-й стороны , с использованием Квадратрисы Гиппия и GeoGebra в качестве дополнительных вспомогательных средств, с кратким описанием (немецкий)