Семиугольник

Обычный семиугольник
Обычный семиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	7
Символ Шлефли	{7}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D 7 ), порядок 2 × 7
Внутренний угол ( градусы )	≈128,571 °
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии , A - угольник представляет собой семь-сторонний многоугольник или 7-угольник.

Угольник иногда называют septagon , используя «sept-» (в Пропуска из septua- , А латинский -derived числового префикса , а не гептабромированные , А греческий -derived числового префикс, оба родственны) вместе с греческим суффиксом «-агон» означает угол.

Обычный семиугольник [ править ]

Регулярно угольник , в котором все стороны и все углы равны, имеет внутренние углы из его / 7 радиана (128 ⁴ / ₇ градусов ). Его символ Шлефли - {7}.

Площадь [ править ]

Площадь ( A ) правильного семиугольника с длиной стороны a определяется как:

${\ displaystyle A = {\ frac {7} {4}} a ^ {2} \ cot {\ frac {\ pi} {7}} \ simeq 3.634a ^ {2}.}$

Это можно увидеть, разделив семиугольник с единичной стороной на семь треугольных «кусочков пирога» с вершинами в центре и в вершинах семиугольника, а затем разделив пополам каждый треугольник, используя апофему в качестве общей стороны. Апофема составляет половину котангенса, а площадь каждого из 14 маленьких треугольников составляет одну четвертую апофемы.${\ displaystyle \ pi / 7,}$

Точное алгебраическое выражение , начинающееся с кубического многочлена 8 x ³ + 4 x ² - 4 x - 1 (один из корней которого равен ) ^[1] , дается в комплексных числах следующим образом:${\ displaystyle \ cos {\ tfrac {2 \ pi} {7}}}$

${\displaystyle A={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {{\frac {7}{3}}\left(35+2{\sqrt[{3}]{196}}\left({\sqrt[{3}]{13-3i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{13+3i{\sqrt {3}}}}\right)\right)}},}$

в котором мнимые части компенсируют друг друга, оставляя выражение с действительным знаком. Это выражение нельзя переписать алгебраически без сложных компонент, так как указанная кубическая функция есть casus unducibilis .

Площадь правильного семиугольника, вписанного в круг радиуса R, равна площади самого круга, поэтому правильный семиугольник заполняет приблизительно 0,8710 его описанной окружности .${\displaystyle {\tfrac {7R^{2}}{2}}\sin {\tfrac {2\pi }{7}},}$${\displaystyle \pi R^{2};}$

Строительство [ править ]

Поскольку 7 - простое число Пьерпона, но не простое число Ферма , правильный семиугольник нельзя построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью отмеченной линейки и компаса. Это самый маленький правильный многоугольник с этим свойством. Такой тип конструкции называется конструкцией neusis . Его также можно построить с помощью циркуля, линейки и трисектора угла. Невозможность построения линейки и циркуля следует из наблюдения, которое является нулем неприводимой кубики x ³ + x ² - 2 x - 1.${\displaystyle \scriptstyle {2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}\approx 1.247}}$ . Следовательно, этот многочлен является минимальным многочленом из 2cos ( ^2π / ₇ ), в то время как степень минимального полинома для конструктивного числа должна быть степенью 2.

Neusis конструкция из внутреннего угла в регулярном семиугольнике.

Анимация конструкции neusis с радиусом описанной окружности , согласно Эндрю М. Глисону [1], основанная на трисекции угла с помощью Tomahawk . Эта конструкция основана на том, что${\displaystyle {\overline {OA}}=6}$ ${\displaystyle 6\cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)=2{\sqrt {7}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arctan \left(3{\sqrt {3}}\right)\right)-1.}$

Джерард 'т Хофт показывает правильный семиугольник, состоящий всего из 15 полосок Meccano с размером стержней 8 и 11. ^[3]

Конструкция состоит из двух равнобедренных треугольников, на которых закреплены остальные стержни. Сторона правильного семиугольника a , сторона более короткого равнобедренного треугольника e и сторона более длинного равнобедренного треугольника d удовлетворяют условиям

${\displaystyle 7a^{2}+e^{2}=4d^{2}}$

${\displaystyle d>a>e>0}$

Формула получена из формулы Гептагонального треугольника :

${\displaystyle \sin A-\sin B-\sin C=-{\frac {\sqrt {7}}{2}}}$

Небольшие возможные конструкции семиугольника:

Самый маленький семиугольник конструктора 1:

Приближение [ править ]

Примерное значение для практического использования с погрешностью около 0,2% показано на чертеже. Его приписывают Альбрехту Дюреру . ^[4] Пусть A лежит на окружности описанной окружности. Нарисуйте дугу BOC . Затем дает приближение для края семиугольника.${\displaystyle \scriptstyle {BD={1 \over 2}BC}}$

Это приближение используется для стороны семиугольника, вписанного в единичный круг, в то время как точное значение .${\displaystyle \scriptstyle {{\sqrt {3}} \over 2}\approx 0.86603}$${\displaystyle \scriptstyle 2\sin {\pi \over 7}\approx 0.86777}$

Пример для иллюстрации ошибки:
при радиусе описанной окружности r = 1 м абсолютная погрешность 1-й стороны будет приблизительно -1,7 мм.

Построение аппроксимации меккано может быть выполнено с одиннадцатью стержнями размером 20, 36 и 45. Эти значения оставляют ошибку около 0,1%.

Симметрия [ править ]

Регулярно угольник относится к D 7h точечной группы ( Шенфлиса обозначение ), порядка 28. Элементы симметрии: 7-кратное правильное вращение оси С ₇ , 7-кратное неправильное вращение оси а, S ₇ , 7 вертикальные плоскости зеркала, σ _v , 7 2-кратные оси вращения C ₂ в плоскости семиугольника и горизонтальная зеркальная плоскость σ _h также в плоскости семиугольника. ^[6]

Диагонали и семиугольный треугольник [ править ]

Сторона правильного семиугольника a , более короткая диагональ b и более длинная диагональ c , при a < b < c , удовлетворяют ^{[7] : Лемма 1}

${\displaystyle a^{2}=c(c-b),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ ( оптическое уравнение )

и поэтому

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

и ^{[7] : Coro. 2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0,}$

Таким образом, - b / c , c / a и a / b все удовлетворяют кубическому уравнению. Однако для решений этого уравнения не существует никаких алгебраических выражений с чисто действительными членами, потому что это пример casus unducibilis .${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}$

Приблизительная длина диагоналей относительно стороны правильного семиугольника определяется выражением

${\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.}$

У нас также есть ^[8]

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

и

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}$

У семиугольного треугольника есть вершины, совпадающие с первой, второй и четвертой вершинами правильного семиугольника (от произвольной начальной вершины), и углы, и, таким образом, его стороны совпадают с одной стороной и двумя конкретными диагоналями правильного семиугольника. ^[7]${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$${\displaystyle 4\pi /7.}$

Звездные семиугольники [ править ]

Два типа звездных семиугольников ( гептаграммы ) могут быть построены из правильных семиугольников, помеченных символами Шлефли {7/2} и {7/3}, причем делитель представляет собой интервал соединения.

Синие, {7/2} и зеленые {7/3} звездные семиугольники внутри красного семиугольника.

Эмпирические примеры [ править ]

Соединенное Королевство в настоящее время (2020) имеет две семиугольной монеты , в 50p и 20p штук, а Барбадос доллар также семиугольный. В монете номиналом 20 евроцентов углубления размещены аналогично. Строго говоря, форма монет представляет собой семиугольник Рело , криволинейный семиугольник, который делает их кривыми постоянной ширины : стороны изогнуты наружу, так что монета будет плавно катиться при вставке в торговый автомат . Ботсвана пуламонеты достоинством 2 Пула, 1 Пула, 50 Фив и 5 Фив также имеют форму семиугольника равносторонней кривой. Монеты в форме семиугольника Рило также находятся в обращении на Маврикии, ОАЭ, Танзании, Самоа, Папуа-Новой Гвинее, Сан-Томе и Принсипи, Гаити, Ямайке, Либерии, Гане, Гамбии, Иордании, Джерси, Гернси, острове Мэн, Гибралтар, Гайана, Соломоновы острова, Фолклендские острова и остров Святой Елены. Монета Замбии в 1000 квача - это настоящий семиугольник.

На бразильской 25-центовой монете нанесен семиугольник на диске. В некоторых старых версиях герба Грузии , в том числе в советские времена , в качестве элемента использовалась гептаграмма {7/2}.

В архитектуре семиугольные планы этажей встречаются очень редко. Замечательный пример - мавзолей принца Эрнста в Штадтхагене , Германия .

Многие полицейские значки в США имеют контур гептаграммы {7/2}.

За исключением семиугольной призмы и семиугольной антипризмы , ни один выпуклый многогранник, полностью состоящий из правильных многоугольников, не содержит семиугольника в качестве грани.

Обычные семиугольники могут перекрывать гиперболическую плоскость , как показано в этой проекции модели диска Пуанкаре :

семиугольная черепица

Графики [ править ]

Полный граф K ₇ часто рисуется как правильный семиугольник со всеми 21 ребром, соединенным. Этот граф также представляет собой ортогональную проекцию 7 вершин и 21 ребра 6-симплекса . Регулярный перекос полигон по периметру называется Petrie полигон .

Гептагон в природе [ править ]

• Кактус

См. Также [ править ]

• Гептаграмма
• Многоугольник

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Найдите семиугольник в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Определение и свойства семиугольника с интерактивной анимацией
• Гептагон по Джонсону
• Еще один примерный способ строительства
• Полигоны - семиугольники
• Недавно открытое и очень точное приближение для построения правильного семиугольника.
• Гептагон, приближенная конструкция в виде анимации
• Семиугольник с заданной стороной, приближенная конструкция в виде анимации