Апофема

Апофема шестиугольника

Графики стороны ,  с  ; апофемой ,  и область ,  из правильных многоугольников с п сторон и описанной окружности 1, с основанием ,  б в виде прямоугольника с одной и той же области - линия показывает , зеленый случай п = 6

Апофема (иногда сокращенно апо ^[1] ) из правильного многоугольника представляет собой отрезок линии от центра до середины одной из его сторон. Эквивалентно, это линия, проведенная из центра многоугольника, перпендикулярная одной из его сторон. Слово «апофема» также может относиться к длине этого отрезка линии. Правильные многоугольники - единственные многоугольники, у которых есть апофемы. Из-за этого все апофемы в многоугольнике будут конгруэнтными .

Для правильной пирамиды , которая представляет собой пирамиду, основание которой представляет собой правильный многоугольник, апофема - это наклонная высота боковой грани; то есть кратчайшее расстояние от вершины до основания данной грани. Для усеченной правильной пирамиды (правильная пирамида, часть вершины которой удалена плоскостью, параллельной основанию), апофема - это высота трапециевидной боковой грани.

Для равностороннего треугольника апофема эквивалентна отрезку от середины стороны до любого из центров треугольника , поскольку центры равностороннего треугольника совпадают, как следствие определения.

Свойства апофем [ править ]

Апофему a можно использовать для определения площади любого правильного n-стороннего многоугольника со стороной s согласно следующей формуле, которая также утверждает, что площадь равна апофемой, умноженной на половину периметра, поскольку ns = p .

${\displaystyle A={\frac {nsa}{2}}={\frac {pa}{2}}.}$

Эта формула может быть получена путем разбиения п-сторонний многоугольник в п конгруэнтны равнобедренные треугольники , а затем отметить , что апофемой высота каждого треугольника, и что площадь треугольника равна половине базовых раз превышает высоту. Все следующие составы эквивалентны:

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$

Апофема правильного многоугольника всегда будет радиусом вписанной окружности. Это также минимальное расстояние между любой стороной многоугольника и его центром.

Это свойство также можно использовать для простого вывода формулы для площади круга, поскольку по мере того, как количество сторон приближается к бесконечности, площадь правильного многоугольника приближается к площади вписанной окружности радиуса r = a .

${\displaystyle A={\frac {pa}{2}}={\frac {(2\pi r)r}{2}}=\pi r^{2}}$

В поисках апофемы [ править ]

Апофему правильного многоугольника можно найти разными способами.

Апофему a правильного n- стороннего многоугольника с длиной стороны s или радиусом описанной окружности R можно найти по следующей формуле:

${\displaystyle a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}=R\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right).}$

Апофему также можно найти по

${\displaystyle a={\frac {s}{2}}\tan \!\left({\frac {\pi (n-2)}{2n}}\right).}$

Эти формулы все еще можно использовать, даже если известны только периметр p и количество сторон n , потому что${\displaystyle s={\frac {p}{n}}.}$

См. Также [ править ]

• Окружной радиус правильного многоугольника
• Стрелец (геометрия)
• Хорда (тригонометрия)
• Наклонная высота

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Найдите apothem в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Апофема правильного многоугольника с интерактивной анимацией
• Апофема пирамиды или усеченной пирамиды
• Пегг-младший, изд . «Сагитта, апофема и аккорд» . Демонстрационный проект Вольфрама .