Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Обычный гептадекагон
Правильный многоугольник 17 annotated.svg
Обычный гептадекагон
ТипПравильный многоугольник
Ребра и вершины17
Символ Шлефли{17}
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel 17.pngCDel node.png
Группа симметрииДвугранный (D 17 ), порядок 2 × 17
Внутренний угол ( градусы )≈158,82 °
Двойной многоугольникСебя
ХарактеристикиВыпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии , А правильный семнадцатиугольник или 17-угольнике является семнадцать-сторонним многоугольником .

Обычный гептадекагон [ править ]

Регулярный правильный семнадцатиугольник представлен символом Шлефли {17}.

Строительство [ править ]

В 17 представляет собой простое Ферма , регулярный правильный семнадцатиугольник является построимо многоугольник (то есть, тот , который может быть построен с использованием компаса и немаркированных угольник ): это было показано Гаусс в 1796 году в возрасте 19 лет [1] This Доказательство представляет собой первый прогресс в построении правильных многоугольников за более чем 2000 лет. [1] Доказательство Гаусса основывается, во-первых, на том факте, что конструктивность эквивалентна выразимости тригонометрических функций общего угла в терминах арифметических операций и извлечения квадратного корня , а во-вторых, на его доказательстве того, что это можно сделать, если нечетные простые множители, количество сторон правильного многоугольника, являются различными простыми числами Ферма, которые имеют вид некоторого неотрицательного целого числа . Таким образом, построение правильного семиугольника включает нахождение косинуса квадратного корня, что включает уравнение 17-й степени - простое число Ферма. В книге Гаусса " Disquisitiones Arithmeticae" это указано как (в современной нотации): [2]

Гауссово построение правильного семиугольника.

Конструкции для правильного треугольника , пятиугольника , pentadecagon и многоугольники с 2 ч раза больше сторон были даны Евклидом, но конструкции на основе простых чисел Ферма, кроме 3 и 5 были неизвестны древними. (Единственные известные простые числа Ферма - это F n для n = 0, 1, 2, 3, 4. Это 3, 5, 17, 257 и 65537.)

Явное построение семиугольника было дано Гербертом Уильямом Ричмондом в 1893 году. Следующий метод построения использует окружности Карлайла , как показано ниже. Основываясь на построении правильного 17-угольника, можно легко построить n -угольников, где n является произведением 17 на 3 или 5 (или и то, и другое) и любой степени двойки: правильный 51-угольник, 85-угольник или 255. -угольник и любой правильный n -угольник с числом сторон в 2 h раза больше.

Построение по Дуэйну В. ДеТемплу с кругами Карлайла, [3] анимация 1 мин. 57 с.

Еще одно построение правильного семиугольника с использованием линейки и циркуля:

Т. П. Стоуэлл из Рочестера, штат Нью-Йорк, ответил на запрос WE Heal, Уилинг, штат Индиана, в «Аналитике» в 1874 году: [4]

"Чтобы построить правильный многоугольник из семнадцати сторон в окружности. Нарисуйте радиус CO под прямым углом к ​​диаметру AB: На OC и OB возьмите OQ равным половине, а OD равным восьмой части радиуса: Сделайте Каждый DE и DF равны DQ, а EG и FH соответственно равны EQ и FQ; возьмите OK как среднее, пропорциональное между OH и OQ, и через K проведите KM параллельно AB, встречая полукруг, описанный на OG в M; проведите MN параллельно к OC, разрезая данную окружность на N - дуга AN составляет семнадцатую часть всей окружности ».

Строительство в соответствии с
"присланным Т. П. Стоуэллом, зачислено в Leybourn's Math. Repository, 1818" .
Добавлено: «Возьмите ОК среднее значение, пропорциональное OH и OQ».
Строительство в соответствии с
"присланным Т. П. Стоуэллом, зачислено в Leybourn's Math. Repository, 1818" .
Добавлено: "Возьми ОК среднее значение, пропорциональное OH и OQ" , анимация

Следующий простой дизайн принадлежит Герберту Уильяму Ричмонду 1893 года: [5]

«Пусть OA, OB (рис. 6) будут двумя перпендикулярными радиусами окружности. Сделайте OI одной четвертой OB, а угол OIE - одной четвертой OIA; также найдите в OA полученную точку F такую, что EIF составляет 45 °. .Пусть окружность на AF как диаметр разрезает OB в K, и пусть окружность с центром в E и радиусом EK разрезает OA в N 3 и N 5 ; тогда, если ординаты N 3 P 3 , N 5 P 5 соединяются с окружностью. , дуги AP 3 , AP 5 будут составлять 3/17 и 5/17 окружности ".
  • Точка N 3 очень близка к центральной точке теоремы Фалеса над AF.
Конструкция по HW Richmond
Строительство по HW Richmond как анимация

Следующая конструкция является разновидностью конструкции Ричмонда.

Отличия от оригинала:

  • Окружность k 2 определяет точку H вместо биссектрисы w 3 .
  • Окружность k 4 вокруг точки G '(отражение точки G в m) дает точку N, которая больше не так близка к M, для построения касательной.
  • Некоторые имена изменены.
Гептадекагон в принципе согласно Х.У. Ричмонду, вариант конструкции относительно точки N

Еще одна более поздняя конструкция дана Каллаги. [2]

Симметрия [ править ]

Симметрии правильного гептадекагона. Вершины раскрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркальные линии проводятся через вершины и ребра. В центре даны приказы гирации.

Регулярный правильный семнадцатиугольник имеет DIH 17 симметрии , порядка 34. Так как 17 является простым числом , есть одна подгруппы с двугранной симметрией: DIH 1 , 2 и циклические группы симметрия: Z 17 и Z 1 .

Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях семиугольника. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. [6] Полная симметрия обычной формы - это r34, а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i, когда линии отражения проходят через оба ребра и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g для их центральных порядков вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g17 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Связанные полигоны [ править ]

Гептадекаграммы [ править ]

Гептадекаграмма - это 17-сторонний звездный многоугольник . Существует семь обычных форм, задаваемых символами Шлефли : {17/2}, {17/3}, {17/4}, {17/5}, {17/6}, {17/7} и {17 / 8}. Поскольку 17 - простое число, все это обычные звезды, а не составные числа.

Рисунок
{17/2}
{17/3}
{17/4}
{17/5}
{17/6}
{17/7}
{17/8}
Внутренний угол≈137,647 °≈116,471 °≈95.2941 °≈74,1176 °≈52,9412 °≈31,7647 °≈10,5882 °

Полигоны Петри [ править ]

Правильный семиугольник - это многоугольник Петри для одного многомерного правильного выпуклого многогранника, спроецированного в косой ортогональной проекции :


16-симплексный (16D)

Ссылки [ править ]

  1. ^ а б Артур Джонс, Сидни А. Моррис, Кеннет Р. Пирсон, Абстрактная алгебра и известные невозможности , Springer, 1991, ISBN  0387976612 , стр. 178.
  2. ^ a b Каллаги, Джеймс Дж. «Центральный угол правильного 17-угольника», Mathematical Gazette 67, декабрь 1983 г., 290–292.
  3. ^ Дуэйн В. ДеТемпл «Круги Карлайла и простота многоугольников по Лемуану» в American Mathematical Monthly, том 98, Issuc 1 (февраль 1991), 97–108. «4. Построение правильного гептадекагона (17-угольника)», стр. 101–104, стр. 103, веб-архив, выбранный 28 января 2017 г.
  4. ^ Хендрикс, JE (1874). "Ответ на вопрос г-на Хила; Т. П. Стоуэлл из Рочестера, штат Нью-Йорк" Аналитик: Ежемесячный журнал чистой и прикладной математики . 1 : 94–95. Query, WE Heal, Уилинг, Индиана, стр. 64; accessdate 30 апреля 2017 г.
  5. ^ Герберт В. Ричмонд, описание «Построение правильного многоугольника с семнадцатью сторонами», иллюстрация (рис. 6) , Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики 26: стр. 206–207. Дата обращения 4 декабря 2015.
  6. ^ Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шафли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275– 278) 

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Данэм, Уильям (сентябрь 1996 г.). «1996 год - тройной юбилей» . Математические горизонты . 4 : 8–13. DOI : 10.1080 / 10724117.1996.11974982 . Проверено 6 декабря 2009 года .
  • Кляйн, Феликс и др. Известные проблемы и другие монографии . - Описывает алгебраический аспект Гаусса.

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. «Гептадекагон» . MathWorld . Содержит описание конструкции.
  • «Построение гептадекагона» . MathPages.com .
  • Тригонометрические функции семиугольника
  • здание heptadecagon Новый центр исследований и разработок для SolarUK
  • Видео BBC о новом центре исследований и разработок SolarUK
  • Эйзенбуд, Дэвид . «Удивительный гептадекагон (17-угольник)» (Видео) . Брэди Харан . Дата обращения 2 марта 2015 .
  • гептадекагон