Закон взаимности Артина , установленный Эмилем Артином в серии статей (1924; 1927; 1930), является общей теоремой теории чисел, которая составляет центральную часть глобальной теории полей классов . [1] Термин « закон взаимности » относится к длинной череде более конкретных теоретико-числовых утверждений, которые он обобщил, от квадратичного закона взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера до формулы произведения Гильберта для символа нормы . Результат Артина дал частичное решение девятой проблемы Гильберта .
Заявление
Пусть L / K является расширением Галуа из глобальных полей и C L стенд для идель группы классов из L . Одно из положений закона взаимности Артина состоит в том, что существует канонический изоморфизм, называемый глобальным отображением символов [2] [3]
где ab обозначает абелианизацию группы. Картаопределяется путем сборки отображений, называемых локальным символом Артина , локальным отображением взаимности или символом нормального вычета [4] [5]
для различных мест v из K . Точнее, задается локальными картами на v -компоненте идельного класса. Картыявляются изоморфизмами. Это содержание закона локальной взаимности , основной теоремы теории локальных полей классов .
Доказательство
Когомологическое доказательство глобального закона взаимности может быть достигнуто, если сначала установить, что
представляет собой классовое образование в смысле Артина и Тейта. [6] Тогда доказывается, что
где обозначают группы когомологий Тейта . Выработка групп когомологий устанавливает, что θ - изоморфизм.
Значимость
Закон взаимности Артина предполагает описание абелианизации абсолютной группы Галуа в виде глобального поля K , который основан на Хассе локально-глобальный принцип и использовании элементов Фробениуса . Вместе с теоремой существования Такагов , он используется для описания абелевых расширений из K в терминах арифметики K и понять поведение неархимедовских мест в них. Таким образом, закон взаимности Артина можно интерпретировать как одну из основных теорем глобальной теории полей классов. Он может быть использован , чтобы доказать , что Артин L-функции являются мероморфны и для доказательства теоремы плотности Чеботарева . [7]
Через два года после публикации своего общего закона взаимности в 1927 году Артин заново открыл гомоморфизм переноса И. Шура и использовал закон взаимности, чтобы перевести проблему принципализации для идеальных классов полей алгебраических чисел в теоретико-групповую задачу определения ядер трансферов. конечных неабелевых групп. [8]
Конечные расширения глобальных полей
Определение артиновской карты для конечного абелева расширения L / K из глобальных полей (например, конечное абелевое расширения) имеет конкретное описание в терминах простых идеалов и элементов Фробениуса .
Если является простым числом K, то группы разложения простых чисел выше равны в Gal ( L / K ), поскольку последняя группа абелева . Еслиявляется неразветвленной в L , то группа разложения канонически изоморфна группе Галуа расширения полей вычетов над . Следовательно, существует канонически определенный элемент Фробениуса в Gal ( L / K ), обозначаемый или же . Если Δ обозначает относительный дискриминант из L / K , с символа артиновского (или карты артиновской , или (глобальное) отображения взаимности ) из L / K определяется на группах простого-к-А дробных идеалов ,, по линейности:
Закон взаимности Артина (или глобальный закон взаимности ) гласит, что существует модуль c для K такой, что отображение Артина индуцирует изоморфизм
где K c , 1 - луч по модулю c , N L / K - нормальное отображение, связанное с L / K и- дробные идеалы в L, простые с c . Такой модуль с называется определяющим модулем для L / K . Наименьший определяющий модуль называется проводником L / K и обычно обозначается
Примеры
Квадратичные поля
Если является бесквадратным целым числом , а также , тогда можно отождествить с {± 1}. Дискриминант Δ оператора L надравно d или 4 d в зависимости от того, d ≡ 1 (mod 4) или нет. Отображение Артина затем определяется на простых числах p, которые не делят Δ на
где - символ Кронекера . [9] Точнее, дирижерявляется главным идеалом (Δ) или (Δ) ∞ в зависимости от того, является ли Δ положительным или отрицательным [10], а отображение Артина на простом идеале ( n ) задается символом КронекераЭто показывает, что простое число p расщеплено или инертно в L в зависимости от того, равно 1 или -1.
Циклотомические поля
Пусть m > 1 - целое нечетное число или кратное 4, пустьбыть примитивные м й корнем из единицы , и пусть- m- е круговое поле . можно отождествить с путем направления σ в виде сг задается правилом
Дирижер есть ( м ) ∞, [11] и артины карта на прайм-to - м идеале ( п ) просто п ( по модулю т ) в[12]
Связь с квадратичной взаимностью
Пусть p ибыть различными нечетными простыми числами. Для удобства пусть(который всегда равен 1 (mod 4)). Тогда квадратичная взаимность утверждает, что
Связь между квадратичным и Артиновским законами взаимности устанавливается путем изучения квадратичного поля и круговое поле следующим образом. [9] Во-первых, F является подполем в L , поэтому, если H = Gal ( L / F ) и тогда Поскольку последняя имеет порядок 2, подгруппа H должна быть группой квадратов вОсновное свойство символа Артина гласит, что для каждого идеала, равного от простого числа к нулю ( n )
Когда n = p , это показывает, чтотогда и только тогда, когда p по модулю лежит в H , т.е. тогда и только тогда, когда p является квадратом по модулю.
Утверждение в терминах L- функций
Альтернативный вариант закона взаимности, ведущий к программе Ленглендса , связывает L-функции Артина, связанные с абелевыми расширениями числового поля, с L-функциями Гекке, связанными с символами группы классов idèle. [13]
Характер Гекка (или Größencharakter) из числового поля K определяются быть квазихарактером из идели группы классов K . Ленглендс интерпретировать символы Гекка , как автоморфные формы на восстановительной алгебраической группе GL (1) над кольцом аделей из K . [14]
Позволять абелева расширение Галуа с группой Галуа G . Тогда для любого персонажа (т.е. одномерное комплексное представление группы G ), существует характер Геккеиз K таким образом, что
где левая часть - это L-функция Артина, связанная с расширением с характером σ, а правая часть - это L-функция Гекке, связанная с χ, раздел 7.D документа. [14]
Формулировка закона взаимности Артина как равенства L -функций позволяет сформулировать обобщение на n -мерные представления, хотя прямое соответствие все еще отсутствует.
Заметки
- ^ Хельмут Хассе , История теории поля классов , в алгебраической теории чисел , под редакцией Касселса и Фрелиха, Academic Press, 1967, стр. 266–279
- Перейти ↑ Neukirch (1999) p.391
- ↑ Юрген Нойкирх , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, стр. 408. Фактически, более точная версия закона взаимности отслеживает разветвление.
- ↑ Серр (1967), стр.140
- ↑ Серр (1979), стр.197
- ↑ Серр (1979), стр.164
- ↑ Юрген Нойкирх, Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, глава VII.
- ^ Артин, Эмиль (декабрь 1929 г.), «Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007 / BF02941159.
- ^ а б Леммермейер 2000 , §3.2
- ^ Милн 2008 , пример 3.11
- ^ Милн 2008 , пример 3.10
- ^ Милн 2008 , пример 3.2
- ^ Джеймс Милн, Теория поля классов
- ^ а б Гелбарт, Стивен С. (1975), Автоморфные формы на группах аделей , Annals of Mathematics Studies, 83 , Princeton, NJ: Princeton University Press, MR 0379375.
Рекомендации
- Эмиль Артин (1924) "Uber eine neue Art von L-Reihen", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3: 89–108; Собрание статей , Addison Wesley (1965), 105–124
- Эмиль Артин (1927) "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 353–363; Сборник статей , 131–141
- Эмиль Артин (1930) "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7: 46–51; Сборник статей , 159–164
- Фрей, Гюнтер (2004), «К истории закона взаимности Артина в абелевых расширениях полей алгебраических чисел: как Артин пришел к своему закону взаимности», в Олаве Арнфинне Лаудале; Рагни Пиене (ред.), Наследие Нильса Хенрика Абеля. Доклады конференции, посвященной двухсотлетию Абеля, Университет Осло, Осло, Норвегия, 3-8 июня 2002 г. , Берлин: Springer-Verlag , стр. 267–294, ISBN 978-3-540-43826-7, Руководство по ремонту 2077576 , Zbl 1065.11001
- Януш, Джеральд (1973), Поля алгебраических чисел , Чистая и прикладная математика, 55 , Academic Press, ISBN 0-12-380250-4
- Лэнг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Тексты для выпускников по математике , 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, Руководство по ремонту 1282723
- Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66957-9, Руководство по ремонту 1761696 , Zbl 0949.11002
- Милн, Джеймс (2008), Class field theory (v4.0 ed.) , Извлечено 22 февраля 2010 г.
- Neukirch, Jürgen (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322 , Перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, Zbl 0956,11021
- Серр, Жан-Пьер (1979), Local Fields , Graduate Texts in Mathematics, 67 , переведено Гринбергом, Марвином Джеем , Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90424-7, Zbl 0423.12016
- Серр, Жан-Пьер (1967), «VI. Теория поля локальных классов», в Cassels, JWS ; Фрёлих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl 0153.07403
- Тейт, Джон (1967), «VII. Глобальная теория поля классов», в Cassels, JWS ; Фрёлих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 162–203, Zbl 0153.07403