Перенос Артина (теория групп)

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны )

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Декабрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Эта статья может быть слишком длинной для чтения и удобной навигации . Размер читаемой прозы - 409 килобайт. Пожалуйста, подумайте о разделении контента на подстатьи, сжатии или добавлении подзаголовков . Пожалуйста, обсудите этот вопрос на странице обсуждения статьи . ( Декабрь 2014 г. )

( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математической области теории групп , передачи артинов некоторый гомоморфизм из произвольной конечной или бесконечной группы к коллекторного фактор - группы подгруппы конечного индекса. Первоначально такие отображения возникли как теоретико-групповые аналоги гомоморфизмов расширений классов абелевых расширений полей алгебраических чисел путем применения отображений взаимности Артина к идеальным группам классов и анализа полученных гомоморфизмов между факторами групп Галуа. Однако независимо от теоретико-числовых приложений частичный порядок ядер и целей Артина передаетнедавно оказалось, что он совместим с отношениями родитель-потомок между конечными p -группами (с простым числом p ), которые можно визуализировать в деревьях потомков . Следовательно, передачи Artin предоставляют ценный инструмент для классификации конечных p -групп, а также для поиска и идентификации определенных групп в дочерних деревьях путем поиска шаблонов, определенных ядрами и целями передач Artin. Эти стратегии распознавания образов полезны в чисто теоретико-групповом контексте, а также для приложений в теории алгебраических чисел, касающихся групп Галуа полей высших p -классов и Гильберта pполевые башни класса .

Трансверсалии подгруппы [ править ]

Позвольте быть группой и быть подгруппой конечного индекса ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle H \ leq G}$ ${\ displaystyle n.}$

Определения. ^[1] влево трансверсалъ из в является упорядоченной системой представителей для левых смежных классов в таких , что ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle G = \ bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} H.}

Точно так же правая трансверсаль по in - это упорядоченная система представителей правых смежных классов по in такая, что ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle (d_ {1}, \ ldots, d_ {n})}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle G = \ bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} Hd_ {i}.}

Замечание. Для любой трансверсали in существует единственный индекс такой, что соотв. . Конечно, этот элемент с нижним индексом, который представляет главный смежный класс (т.е. саму подгруппу ), может быть, но не обязательно, заменен нейтральным элементом . ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle 1 \ leq i_ {0} \ leq n}$ ${\ displaystyle g_ {i_ {0}} \ in H}$ ${\ displaystyle d_ {i_ {0}} \ in H}$ ${\ displaystyle i_ {0}}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle 1}$

Лемма. ^[2] Позвольте быть неабелевой группой с подгруппой . Тогда обратные элементы из левого поперечных из в форме правой трансверсали в . Более того, если - нормальная подгруппа группы , то любая левая трансверсаль также является правой трансверсалью группы in . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle (g_ {1} ^ {- 1}, \ ldots, g_ {n} ^ {- 1})}$ ${\ displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$

Доказательство. Так как отображение является инволюция из мы видим , что:

{\ Displaystyle х \ mapsto х ^ {- 1}}

{\ displaystyle G}

{\ displaystyle G = G ^ {- 1} = \ bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} (g_ {i} H) ^ {- 1} = \ bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} H ^ {- 1} g_ {i} ^ {- 1} = \ bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} Hg_ {i} ^ {- 1}.}

Для нормальной подгруппы у нас есть для каждого .

{\ displaystyle H}

{\ displaystyle xH = Hx}

{\ displaystyle x \ in G}

Мы должны проверить, когда образ трансверсали при гомоморфизме также является трансверсалью.

Предложение. Пусть - гомоморфизм группы и - левая трансверсаль подгруппы в с конечным индексом . Следующие два условия эквивалентны: ${\ displaystyle \ phi: G \ to K}$ ${\ displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle n.}$

${\ displaystyle (\ phi (g_ {1}), \ ldots, \ phi (g_ {n}))}$ - левая трансверсаль подгруппы изображения с конечным индексом ${\ displaystyle \ phi (H)}$ ${\ displaystyle \ phi (G)}$ ${\ Displaystyle (\ фи (G): \ фи (Н)) = п.}$
${\ displaystyle \ ker (\ phi) \ leq H.}$

Доказательство. Как отображение множеств отображает объединение в другое объединение:

{\ displaystyle \ phi}

{\ displaystyle \ phi (G) = \ phi \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} H \ right) = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} \ phi ( g_ {i} H) = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} \ phi (g_ {i}) \ phi (H),}

но ослабляет равенство пересечения до тривиального включения:

{\ displaystyle \ emptyset = \ phi (\ emptyset) = \ phi (g_ {i} H \ cap g_ {j} H) \ substeq \ phi (g_ {i} H) \ cap \ phi (g_ {j} H) ) = \ phi (g_ {i}) \ phi (H) \ cap \ phi (g_ {j}) \ phi (H), \ qquad i \ neq j.}

Предположим для некоторых :

{\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq J \ Leq N}

{\ displaystyle \ phi (g_ {i}) \ phi (H) \ cap \ phi (g_ {j}) \ phi (H) \ neq \ emptyset}

то существуют такие элементы , что

{\ displaystyle h_ {i}, h_ {j} \ in H}

{\ displaystyle \ phi (g_ {i}) \ phi (h_ {i}) = \ phi (g_ {j}) \ phi (h_ {j})}

Тогда у нас есть:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ phi (g_ {i}) \ phi (h_ {i}) = \ phi (g_ {j}) \ phi (h_ {j}) & \ Longrightarrow \ phi (g_ { j}) ^ {- 1} \ phi (g_ {i}) \ phi (h_ {i}) \ phi (h_ {j}) ^ {- 1} = 1 \\ & \ Longrightarrow \ phi \ left (g_ {j} ^ {- 1} g_ {i} h_ {i} h_ {j} ^ {- 1} \ right) = 1 \\ & \ Longrightarrow g_ {j} ^ {- 1} g_ {i} h_ { i} h_ {j} ^ {- 1} \ in \ ker (\ phi) \\ & \ Longrightarrow g_ {j} ^ {- 1} g_ {i} h_ {i} h_ {j} ^ {- 1} \ in H && \ ker (\ phi) \ leq H \\ & \ Longrightarrow g_ {j} ^ {- 1} g_ {i} \ in H && h_ {i} h_ {j} ^ {- 1} \ in H \\ & \ Longrightarrow g_ {i} H = g_ {j} H \\ & \ Longrightarrow i = j \ end {выровнено}}}

Наоборот, если тогда существует такое, что Но гомоморфизм отображает непересекающиеся смежные классы в равные классы:

{\ Displaystyle \ ker (\ phi) \ nsubseteq H}

{\ Displaystyle х \ в G \ setminus H}

{\ displaystyle \ phi (x) = 1.}

{\ displaystyle \ phi}

{\ Displaystyle х \ cdot H \ крышка 1 \ cdot H = \ emptyset}

{\ Displaystyle \ фи (Икс) \ фи (Н) \ крышка \ фи (1) \ фи (Н) = 1 \ CDOT \ фи (Н) \ крышка 1 \ CDOT \ фи (Н) = \ фи (Н) .}

Замечание. Подчеркнем важную эквивалентность предложения в формуле:

{\ displaystyle (1) \ quad \ ker (\ phi) \ leq H \ quad \ Longleftrightarrow \ quad {\ begin {cases} \ phi (G) = \ bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} \ phi ( g_ {i}) \ phi (H) \\ (\ phi (G): \ phi (H)) = n \ end {case}}}

Представление перестановки [ править ]

Предположим, что это левая трансверсаль подгруппы конечного индекса в группе . Фиксированный элемент приводит к уникальной перестановке левых смежных классов по in левым умножением, так что: ${\ displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle x \ in G}$ ${\ displaystyle \ pi _ {x} \ in S_ {n}}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle (2) \ quad \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}: \ qquad xg_ {i} H = g _ {\ pi _ {x} (i)} H \ Longrightarrow xg_ {i } \ in g _ {\ pi _ {x} (i)} H.}

Используя это, мы определяем набор элементов, называемых одночленами, ассоциированными с : $x$ $(g_{1},\ldots ,g_{n})$

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i):=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H.

Аналогично, если - правая трансверсаль к in , то фиксированный элемент приводит к уникальной перестановке правых смежных классов по in правым умножением, так что: $(d_{1},\ldots ,d_{n})$ $H$ $G$ $x\in G$ $\rho _{x}\in S_{n}$ $H$ $G$

(3)\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad Hd_{i}x=Hd_{\rho _{x}(i)}\Longrightarrow d_{i}x\in Hd_{\rho _{x}(i)}.

И мы определяем одночлены, связанные с : $x$ $(d_{1},\ldots ,d_{n})$

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad w_{x}(i):=d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\in H.

Определение. ^[1] Отображения:

{\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \pi _{x}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \rho _{x}\end{cases}}

называются подстановочное представление о в симметрической группе по отношению к и соответственно. $G$ $S_{n}$ $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $(d_{1},\ldots ,d_{n})$

Определение. ^[1] Отображения:

{\begin{cases}G\to H^{n}\times S_{n}\\x\mapsto (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\end{cases}}\qquad {\begin{cases}G\to H^{n}\times S_{n}\\x\mapsto (w_{x}(1),\ldots ,w_{x}(n);\rho _{x})\end{cases}}

называется одночленом представления о в отношении и соответственно. $G$ $H^{n}\times S_{n}$ $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $(d_{1},\ldots ,d_{n})$

Лемма. Для правой трансверсали, связанной с левой трансверсали , мы имеем следующие соотношения между одночленами и перестановками, соответствующими элементу : $(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})$ $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $x\in G$

(4)\quad {\begin{cases}w_{x^{-1}}(i)=u_{x}(i)^{-1}&1\leq i\leq n\\\rho _{x^{-1}}=\pi _{x}\end{cases}}

Доказательство. Для правой трансверсии у нас есть для каждого . С другой стороны, для левой трансверсали имеем

(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})

w_{x}(i)=g_{i}^{-1}xg_{\rho _{x}(i)}

1\leq i\leq n

(g_{1},\ldots ,g_{n})

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i)^{-1}=\left(g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\right)^{-1}=g_{i}^{-1}x^{-1}g_{\pi _{x}(i)}=g_{i}^{-1}x^{-1}g_{\rho _{x^{-1}}(i)}=w_{x^{-1}}(i).

Это соотношение одновременно показывает, что для любого подстановочные представления и ассоциированные мономы связаны между собой каждым и для каждого .

x\in G

\rho _{x^{-1}}=\pi _{x}

w_{x^{-1}}(i)=u_{x}(i)^{-1}

1\leq i\leq n

Перенос Артина [ править ]

Определения. ^[2]^[3] Позвольте быть группой и подгруппой конечного индекса. Предположим, что это левая трансверсаль к in с ассоциированным представлением перестановки, такая что $G$ $H$ $n.$ $(g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $G$ $\pi _{x}:G\to S_{n},$

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i):=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H.

Аналогично, пусть - правая трансверсаль к in с ассоциированным представлением перестановки такая, что $(d)=(d_{1},\ldots ,d_{n})$ $H$ $G$ $\rho _{x}:G\to S_{n}$

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad w_{x}(i):=d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\in H.

Передача Артина в отношении определяется как: $T_{G,H}^{(g)}:G\to H/H'$ $(g_{1},\ldots ,g_{n})$

(5)\quad \forall x\in G:\qquad T_{G,H}^{(g)}(x):=\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'.

Аналогично мы определяем:

(6)\quad \forall x\in G:\qquad T_{G,H}^{(d)}(x):=\prod _{i=1}^{n}d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'.

Замечания. Исаакс ^[4] называет отображения

{\begin{cases}P:G\to H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\end{cases}}\qquad {\begin{cases}P:G\to H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\end{cases}}

перед переносом от до . Предварительный перенос может быть составлен с гомоморфизм из в абелевую группу , чтобы определить более общий вариант передачи от к через , которое происходит в книге Горенштейна. ^[5] $G$ $H$ $\phi :H\to A$ $H$ $A$ $G$ $A$ $\phi$

{\begin{cases}(\phi \circ P):G\to A\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}\phi (u_{x}(i))\end{cases}}\qquad {\begin{cases}(\phi \circ P):G\to A\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}\phi (w_{x}(i))\end{cases}}

Принимая естественный эпиморфизм

{\begin{cases}\phi :H\to H/H'\\v\mapsto vH'\end{cases}}

дает предыдущее определение переноса Артина в его первоначальной форме Шуром ^[2] и Эмилем Артином ^[3], которое Хассе также назвал Verlagerung . ^[6] Обратите внимание, что в общем случае предварительный перенос не зависит ни от трансверсали, ни от гомоморфизма группы. $T_{G,H}$

Независимость поперечной [ править ]

Предложение. ^[1]^[2]^[4]^[5]^[7]^[8]^[9] Переносы Артина относительно любых двух левых трансверсалей in совпадают. $H$ $G$

Доказательство. Позвольте и быть две левые трансверсали in . Тогда существует единственная перестановка такая, что:

(\ell )=(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})

(g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})

H

G

\sigma \in S_{n}

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad g_{i}H=\ell _{\sigma (i)}H.

Как следствие:

\forall i\in \{1,\ldots ,n\},\exists h_{i}\in H:\qquad g_{i}h_{i}=\ell _{\sigma (i)}.

Для фиксированного элемента существует уникальная перестановка такая, что:

x\in G

\lambda _{x}\in S_{n}

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad \ell _{\lambda _{x}(\sigma (i))}H=x\ell _{\sigma (i)}H=xg_{i}h_{i}H=xg_{i}H=g_{\pi _{x}(i)}H=g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _{x}(i)}H=\ell _{\sigma (\pi _{x}(i))}H.

Следовательно, представление перестановки относительно задается, что дает: Кроме того, для связи между двумя элементами:

G

(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})

\lambda _{x}\circ \sigma =\sigma \circ \pi _{x}

\lambda _{x}=\sigma \circ \pi _{x}\circ \sigma ^{-1}\in S_{n}.

{\begin{aligned}v_{x}(i)&:=\ell _{\lambda _{x}(i)}^{-1}x\ell _{i}\in H\\u_{x}(i)&:=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H\end{aligned}}

у нас есть:

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad v_{x}(\sigma (i))=\ell _{\lambda _{x}(\sigma (i))}^{-1}x\ell _{\sigma (i)}=\ell _{\sigma (\pi _{x}(i))}^{-1}xg_{i}h_{i}=\left(g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _{x}(i)}\right)^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{x}(i)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{x}(i)}^{-1}u_{x}(i)h_{i}.

Наконец, поскольку абелева и и являются перестановками, перенос Артина оказывается независимым от левой трансверсали:

H/H'

\sigma

\pi _{x}

T_{G,H}^{(\ell )}(x)=\prod _{i=1}^{n}v_{x}(\sigma (i))\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}u_{x}(i)h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\prod _{i=1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}\prod _{i=1}^{n}h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot 1\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'=T_{G,H}^{(g)}(x),

как определено в формуле (5).

Предложение. Переносы Артина относительно любых двух правых трансверсалей in совпадают. $H$ $G$

Доказательство. Аналогично предыдущему предложению.

Предложение. Переносы Артина относительно и совпадают. $(g^{-1})=(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})$ $(g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})$

Доказательство. Используя формулу (4) и будучи абелевым, имеем:

H/H'

T_{G,H}^{(g^{-1})}(x)=\prod _{i=1}^{n}g_{i}^{-1}xg_{\rho _{x}(i)}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x^{-1}}(i)^{-1}\cdot H'=\left(\prod _{i=1}^{n}u_{x^{-1}}(i)\cdot H'\right)^{-1}=\left(T_{G,H}^{(g)}\left(x^{-1}\right)\right)^{-1}=T_{G,H}^{(g)}(x).

Последний шаг оправдан тем, что перенос Артина является гомоморфизмом. Это будет показано в следующем разделе.

Следствие. Перенос Артина не зависит от выбора трансверсалей и зависит только от и . $H$ $G$

Переносы Артина как гомоморфизмы [ править ]

Теорема. ^[1]^[2]^[4]^[5]^[7]^[8]^[9] Позвольте быть левым трансверсалом in . Перенос Артина $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $G$

{\begin{cases}T_{G,H}:G\to H/H'\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'\end{cases}}

и представление перестановки:

{\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \pi _{x}\end{cases}}

являются гомоморфизмами групп:

(7)\quad \forall x,y\in G:\qquad T_{G,H}(xy)=T_{G,H}(x)\cdot T_{G,H}(y)\quad {\text{and}}\quad \pi _{xy}=\pi _{x}\circ \pi _{y}.

Доказательство

Пусть : $x,y\in G$

T_{G,H}(x)\cdot T_{G,H}(y)=\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'

Поскольку абелева и является перестановкой, мы можем изменить порядок множителей в произведении: $H/H'$ $\pi _{y}$

{\begin{aligned}\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'&=\prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'\\&=\prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'\\&=\prod _{j=1}^{n}g_{(\pi _{x}\circ \pi _{y})(j))}^{-1}xyg_{j}\cdot H'\\&=T_{G,H}(xy)\end{aligned}}

Это соотношение одновременно показывает, что перенос Артина и перестановочное представление являются гомоморфизмами.

Полезно переформулировать свойство гомоморфизма передачи Артина в терминах мономиального представления . Образы факторов даются $x,y$

T_{G,H}(x)=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\quad {\text{and}}\quad T_{G,H}(y)=\prod _{j=1}^{n}u_{y}(j)\cdot H'.

В последнем пруфе изображение продукта получилось $xy$

T_{G,H}(xy)=\prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'=\prod _{j=1}^{n}u_{x}(\pi _{y}(j))\cdot u_{y}(j)\cdot H'

,

Это очень своеобразный закон композиции, который более подробно обсуждается в следующем разделе.

Этот закон напоминает скрещенные гомоморфизмы в первой группе когомологий a -модуля , которые обладают свойством для . $x\mapsto u_{x}$ $\mathrm {H} ^{1}(G,M)$ $G$ $M$ $u_{xy}=u_{x}^{y}\cdot u_{y}$ $x,y\in G$

Сплетение H и S ( n ) [ править ]

Своеобразные структуры, возникшие в предыдущем разделе, также можно интерпретировать, наделив декартово произведение особым законом композиции, известным как сплетение групп, и по отношению к множеству $H^{n}\times S_{n}$ $H\wr S_{n}$ $H$ $S_{n}$ $\{1,\ldots ,n\}.$

Определение. Действительно , сплетение ассоциированных одночленов и перестановок дается выражением $x,y\in G$

(8)\quad (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\cdot (u_{y}(1),\ldots ,u_{y}(n);\pi _{y}):=(u_{x}(\pi _{y}(1))\cdot u_{y}(1),\ldots ,u_{x}(\pi _{y}(n))\cdot u_{y}(n);\pi _{x}\circ \pi _{y})=(u_{xy}(1),\ldots ,u_{xy}(n);\pi _{xy}).

Теорема. ^[1]^[7] С помощью этого закона композиции на в мономиальном представлении $H^{n}\times S_{n}$

{\begin{cases}G\to H\wr S_{n}\\x\mapsto (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\end{cases}}

является инъективным гомоморфизмом.

Доказательство

Свойство гомоморфизма уже было показано выше. Для того чтобы гомоморфизм был инъективным, достаточно показать тривиальность его ядра. Нейтральный элемент группы, наделенной сплетением, имеет вид , где последний означает тождественную перестановку. Если для некоторых , то и, следовательно, $H^{n}\times S_{n}$ $(1,\ldots ,1;1)$ $1$ $(u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})=(1,\ldots ,1;1)$ $x\in G$ $\pi _{x}=1$

\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad 1=u_{x}(i)=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}=g_{i}^{-1}xg_{i}.

Наконец, применение обратного внутреннего автоморфизма с выходами , необходимыми для инъективности. $g_{i}$ $x=1$

Замечание. Мономиальное представление теоремы отличается от представления подстановки, которое не может быть инъективным, если $|G|>n!.$

Замечание. В то время как Хупперт ^[1] использует мономиальное представление для определения переноса Артина, мы предпочитаем давать непосредственные определения в формулах (5) и (6) и просто проиллюстрировать свойство гомоморфизма переноса Артина с помощью мономиального представления.

Состав переводов Артина [ править ]

Теорема. ^[1]^[7] Пусть будет группа с вложенными подгруппами такая, что и Тогда перенос Артина является композитом индуцированного переноса и переноса Артина , то есть: $G$ $K\leq H\leq G$ $(G:H)=n,(H:K)=m$ $(G:K)=(G:H)\cdot (H:K)=nm<\infty .$ $T_{G,K}$ ${\tilde {T}}_{H,K}:H/H'\to K/K'$ $T_{G,H}$

(9)\quad T_{G,K}={\tilde {T}}_{H,K}\circ T_{G,H}

.

Доказательство

Если - левая трансверсаль in и левая трансверсаль in , то есть и , то $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $G$ $(h_{1},\ldots ,h_{m})$ $K$ $H$ $G=\sqcup _{i=1}^{n}g_{i}H$ $H=\sqcup _{j=1}^{m}h_{j}K$

G=\bigsqcup _{i=1}^{n}\bigsqcup _{j=1}^{m}g_{i}h_{j}K

дизъюнктное левое разложение смежных классов по . $G$ $K$

Для двух элементов и существуют уникальные перестановки , и такие, что $x\in G$ $y\in H$ $\pi _{x}\in S_{n}$ $\sigma _{y}\in S_{m}$

{\begin{aligned}u_{x}(i)&:=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H&&{\text{for all }}1\leq i\leq n\\v_{y}(j)&:=h_{\sigma _{y}(j)}^{-1}yh_{j}\in K&&{\text{for all }}1\leq j\leq m\end{aligned}}

Тогда, предваряя определение индуцированного переноса, имеем

{\begin{aligned}T_{G,H}(x)&=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\\{\tilde {T}}_{H,K}(y\cdot H')&=T_{H,K}(y)=\prod _{j=1}^{m}v_{y}(j)\cdot K'\end{aligned}}

Для каждой пары индексов и положим , и получим $1\leq i\leq n$ $1\leq j\leq m$ $y_{i}:=u_{x}(i)$

xg_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}u_{x}(i)h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}y_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}y_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}v_{y_{i}}(j),

соотв.

h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}=v_{y_{i}}(j).

Следовательно, изображение под переводом Артина дается $x$ $T_{G,K}$

{\begin{aligned}T_{G,K}(x)&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}v_{y_{i}}(j)\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}u_{x}(i)h_{j}\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}y_{i}h_{j}\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}{\tilde {T}}_{H,K}\left(y_{i}\cdot H'\right)\\&={\tilde {T}}_{H,K}\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\cdot H'\right)\\&={\tilde {T}}_{H,K}\left(\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\right)\\&={\tilde {T}}_{H,K}(T_{G,H}(x))\end{aligned}}

Наконец, мы хотим подчеркнуть структурную особенность мономиального представления

{\begin{cases}G\to K^{n\cdot m}\times S_{n\cdot m}\\x\mapsto (k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x})\end{cases}}

что соответствует совокупности переводов Артина, определяющих

k_{x}(i,j):=\left((gh)_{\gamma _{x}(i,j)}\right)^{-1}x(gh)_{(i,j)}\in K

для перестановки , и используя символические обозначения для всех пар индексов , . $\gamma _{x}\in S_{n\cdot m}$ $(gh)_{(i,j)}:=g_{i}h_{j}$ $1\leq i\leq n$ $1\leq j\leq m$

Предыдущее доказательство показало, что

k_{x}(i,j)=h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}.

Следовательно, действие перестановки на множестве определяется выражением . Действие на втором компоненте зависит от первого компонента (через перестановку ), тогда как действие на первый компонент не зависит от второго компонента . Следовательно, перестановку можно отождествить с мультиплетом $\gamma _{x}$ $[1,n]\times [1,m]$ $\gamma _{x}(i,j)=(\pi _{x}(i),\sigma _{u_{x}(i)}(j))$ $j$ $i$ $\sigma _{u_{x}(i)}\in S_{m}$ $i$ $j$ $\gamma _{x}\in S_{n\cdot m}$

(\pi _{x};\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)})\in S_{n}\times S_{m}^{n},

который будет записан в изогнутой форме в следующем разделе.

Сплетение S ( m ) и S ( n ) [ править ]

Перестановки , возникшие как вторые компоненты мономиального представления $\gamma _{x}$

{\begin{cases}G\to K\wr S_{n\cdot m}\\x\mapsto (k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x})\end{cases}}

в предыдущем разделе - особого рода. Они принадлежат стабилизатору естественного равнораспределения множества по строкам соответствующей матрицы (прямоугольного массива). Используя особенности композиции трансферов Артина в предыдущем разделе, мы показываем, что этот стабилизатор изоморфен сплетению симметрических групп и по отношению к множеству , базовое множество которого наделено следующим законом композиции : $[1,n]\times [1,m]$ $n$ $S_{m}\wr S_{n}$ $S_{m}$ $S_{n}$ $\{1,\ldots ,n\}$ $S_{m}^{n}\times S_{n}$

{\begin{aligned}(10)\quad \forall x,z\in G:\qquad \gamma _{x}\cdot \gamma _{z}&=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\cdot (\sigma _{u_{z}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{z}(n)};\pi _{z})\\&=(\sigma _{u_{x}(\pi _{z}(1))}\circ \sigma _{u_{z}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(\pi _{z}(n))}\circ \sigma _{u_{z}(n)};\pi _{x}\circ \pi _{z})\\&=(\sigma _{u_{xz}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{xz}(n)};\pi _{xz})\\&=\gamma _{xz}\end{aligned}}

Этот закон напоминает правило цепи для производной Фреша в из композита дифференцируемых функций и между полными нормированными пространствами . $D(g\circ f)(x)=D(g)(f(x))\circ D(f)(x)$ $x\in E$ $f:E\to F$ $g:F\to G$

Приведенные выше соображения устанавливают третье представление, стабилизирующее представление ,

{\begin{cases}G\to S_{m}\wr S_{n}\\x\mapsto (\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\end{cases}}

группы в сплетении , аналогично перестановочному представлению и мономиальному представлению . В отличие от последнего, стабилизирующее представление, вообще говоря, не может быть инъективным. Например, конечно, нет, если бесконечно. Формула (10) доказывает следующее утверждение. $G$ $S_{m}\wr S_{n}$ $G$

Теорема. Представление стабилизатора

{\begin{cases}G\to S_{m}\wr S_{n}\\x\mapsto \gamma _{x}=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\end{cases}}

группы в сплетении симметрических групп является гомоморфизмом групп. $G$ $S_{m}\wr S_{n}$

Разложение цикла [ править ]

Пусть - левая трансверсаль подгруппы конечного индекса в группе и ее ассоциированное перестановочное представление. $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $n$ $G$ $x\mapsto \pi _{x}$

Теорема. ^[1]^[3]^[4]^[5]^[8]^[9] Предположим, что перестановка распадается на попарно непересекающиеся (и, таким образом, коммутирующие) циклы длин, которые уникальны с точностью до порядка циклов. Более конкретно, предположим $\pi _{x}$ $\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{t}\in S_{n}$ $f_{1},\ldots f_{t},$

(11)\quad \left(g_{j}H,g_{\zeta _{j}(j)}H,g_{\zeta _{j}^{2}(j)}H,\ldots ,g_{\zeta _{j}^{f_{j}-1}(j)}H\right)=\left(g_{j}H,xg_{j}H,x^{2}g_{j}H,\ldots ,x^{f_{j}-1}g_{j}H\right),

для , и Тогда изображение под переводом Артина дается $1\leq j\leq t$ $f_{1}+\cdots +f_{t}=n.$ $x\in G$

(12)\quad T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f_{j}}g_{j}\cdot H'.

Доказательство

Определите для и . Это левый трансверсал in, поскольку $\ell _{j,k}:=x^{k}g_{j}$ $0\leq k\leq f_{j}-1$ $1\leq j\leq t$ $H$ $G$

(13)\quad G=\bigsqcup _{j=1}^{t}\bigsqcup _{k=0}^{f_{j}-1}x^{k}g_{j}H

является дизъюнктным разложением на левые классы смежности . $G$ $H$

Зафиксируйте значение . Потом: $1\leq j\leq t$

{\begin{aligned}x\ell _{j,k}&=xx^{k}g_{j}=x^{k+1}g_{j}=\ell _{j,k+1}\in \ell _{j,k+1}H&&\forall k\in \{0,\ldots ,f_{j}-2\}\\x\ell _{j,f_{j}-1}&=xx^{f_{j}-1}g_{j}=x^{f_{j}}g_{j}\in g_{j}H=\ell _{j,0}H\end{aligned}}

Определять:

{\begin{aligned}u_{x}(j,k)&:=\ell _{j,k+1}^{-1}x\ell _{j,k}=1\in H&&\forall k\in \{0,\ldots ,f_{j}-2\}\\u_{x}(j,f_{j}-1)&:=\ell _{j,0}^{-1}x\ell _{j,f_{j}-1}=g_{j}^{-1}x^{f_{j}}g_{j}\in H\end{aligned}}

Как следствие,

T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}\prod _{k=0}^{f_{j}-1}u_{x}(j,k)\cdot H'=\prod _{j=1}^{t}\left(\prod _{k=0}^{f_{j}-2}1\right)\cdot u_{x}(j,f_{j}-1)\cdot H'=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f_{j}}g_{j}\cdot H'.

Разложение цикла соответствует разложению двойного смежного класса : $(\langle x\rangle ,H)$ $G$

G=\bigsqcup _{j=1}^{t}\langle x\rangle g_{j}H

Именно эта форма циклической декомпозиции гомоморфизма переноса была дана Э. Артином в его оригинальной статье 1929 года. ^[3]

Переход в нормальную подгруппу [ править ]

Пусть - нормальная подгруппа конечного индекса в группе . Тогда у нас есть для всех , и существует фактор-группа порядка . Для элемента , мы обозначим порядок смежного класса в , и мы пусть - левая трансверсаль подгруппы в , где . $H$ $n$ $G$ $xH=Hx$ $x\in G$ $G/H$ $n$ $x\in G$ $f:=\mathrm {ord} (xH)$ $xH$ $G/H$ $(g_{1},\ldots ,g_{t})$ $\langle x,H\rangle$ $G$ $t=n/f$

Теорема. Тогда образ под переводом Артина дают: $x\in G$ $T_{G,H}$

(14)\quad T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f}g_{j}\cdot H'

.

Доказательство

$\langle xH\rangle$ - циклическая подгруппа порядка in , а левая трансверсаль подгруппы in , где и - соответствующее непересекающееся левое разложение смежных классов, может быть уточнена до левой трансверсали с дизъюнктным левым разложением смежных классов: $f$ $G/H$ $(g_{1},\ldots ,g_{t})$ $\langle x,H\rangle$ $G$ $t=n/f$ $G=\sqcup _{j=1}^{t}g_{j}\langle x,H\rangle$ $g_{j}x^{k}(1\leq j\leq t,\ 0\leq k\leq f-1)$

(15)\quad G=\sqcup _{j=1}^{t}\sqcup _{k=0}^{f-1}g_{j}x^{k}H

из в . Следовательно, формула изображения под переводом Артина в предыдущем разделе принимает особую форму $H$ $G$ $x$ $T_{G,H}$

T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f}g_{j}\cdot H'

с показателем, не зависящим от . $f$ $j$

Следствие. В частности, внутренняя передача элемента дана как символическая сила: $x\in H$

(16)\quad T_{G,H}(x)=x^{\mathrm {Tr} _{G}(H)}\cdot H'

с микроэлементом

(17)\quad \mathrm {Tr} _{G}(H)=\sum _{j=1}^{t}g_{j}\in \mathbb {Z} [G]

из в качестве символического показателя. $H$ $G$

Другая крайность - это внешний перенос элемента, который генерирует , то есть . $x\in G\setminus H$ $G/H$ $G=\langle x,H\rangle$

Это просто сила $n$

(18)\quad T_{G,H}(x)=x^{n}\cdot H'

.

Доказательство

Внутренний перенос элемента , смежным классом которого является главный набор по порядку , задается как символическая мощность $x\in H$ $xH=H$ $G/H$ $f=1$

T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}xg_{j}\cdot H'=\prod _{j=1}^{t}x^{g_{j}}\cdot H'=x^{\sum _{j=1}^{t}g_{j}}\cdot H'

с микроэлементом

\mathrm {Tr} _{G}(H)=\sum _{j=1}^{t}g_{j}\in \mathbb {Z} [G]

из в качестве символического показателя. $H$ $G$

Внешний перенос элемента, который порождает , то есть откуда смежный класс является генератором с порядком , задается как степень -й $x\in G\setminus H$ $G/H$ $G=\langle x,H\rangle$ $xH$ $G/H$ $f=n$ $n$

T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{1}1^{-1}\cdot x^{n}\cdot 1\cdot H'=x^{n}\cdot H'.

Переносы в нормальные подгруппы будут наиболее важными случаями в дальнейшем, поскольку центральная концепция этой статьи, паттерн Артин , который наделяет дочерние деревья дополнительной структурой, состоит из целей и ядер переносов Артина из группы в промежуточные группы между и . Для этих промежуточных групп справедлива следующая лемма. $G$ $G'\leq H\leq G$ $G$ $G'$

Лемма. Все подгруппы, содержащие коммутаторную подгруппу, нормальны.

Доказательство

Пусть . Если бы не было нормальной подгруппы , то у нас был бы какой-то элемент . Это означало бы существование элементов и таких, что , и, следовательно, коммутатор был бы элементом в противоречии с . $G'\leq H\leq G$ $H$ $G$ $x^{-1}Hx\not \subseteq H$ $x\in G\setminus H$ $h\in H$ $y\in G\setminus H$ $x^{-1}hx=y$ $[h,x]=h^{-1}x^{-1}hx=h^{-1}y$ $G\setminus H$ $G'\leq H$

Явные реализации переводов Артина в простейших ситуациях представлены в следующем разделе.

Вычислительная реализация [ править ]

Абелианизация типа ( p , p ) [ править ]

Пусть - p -группа с абелианизацией элементарного абелева типа . Тогда имеет максимальные подгруппы индекса $G$ $G/G'$ $(p,p)$ $G$ $p+1$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $p.$

Лемма. В этом частном случае подгруппа Фраттини, которая определяется как пересечение всех максимальных подгрупп, совпадает с коммутантной подгруппой.

Доказательство. Чтобы увидеть это замечание, что из-за абелевого типа коммутаторная подгруппа содержит все p -й степени и, следовательно, мы имеем . $G/G'$ $G'\supset G^{p},$ $\Phi (G)=G^{p}\cdot G'=G'$

Для каждого , пусть будет гомоморфизм переноса Артина. По основе Бернсайда теорема группа , следовательно , может быть порождена двумя элементами таким образом, что для каждого из максимальных подгрупп , которые также являются нормальным нам нужен генератор относительно , и генератор из поперечных таким образом, что $1\leq i\leq p+1$ $T_{i}:G\to H_{i}/H_{i}'$ $G$ $x,y$ $x^{p},y^{p}\in G'.$ $H_{i}$ $h_{i}$ $G'$ $t_{i}$ $(1,t_{i},t_{i}^{2},\ldots ,t_{i}^{p-1})$

{\begin{aligned}H_{i}&=\langle h_{i},G'\rangle \\G&=\langle t_{i},H_{i}\rangle =\bigsqcup _{j=0}^{p-1}t_{i}^{j}H_{i}\end{aligned}}

Удобный выбор дает

(19)\quad {\begin{cases}h_{1}=y\\t_{1}=x\\h_{i}=xy^{i-2}&2\leq i\leq p+1\\t_{i}=y&2\leq i\leq p+1\end{cases}}

Затем для каждого из них мы используем уравнения (16) и (18) для реализации внутреннего и внешнего переноса: $1\leq i\leq p+1$

{\begin{aligned}(20)\quad T_{i}(h_{i})&=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\cdots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=h_{i}\cdot \left(t_{i}^{-1}h_{i}t_{i}\right)\cdot \left(t_{i}^{-2}h_{i}t_{i}^{2}\right)\cdots \left(t_{i}^{-p+1}h_{i}t_{i}^{p-1}\right)\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{-1}\right)^{p}t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\\(21)\quad T_{i}(t_{i})&=t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\end{aligned}}

,

Причина в том, что в и $G/H_{i},$ $\mathrm {ord} (h_{i}H_{i})=1$ $\mathrm {ord} (t_{i}H_{i})=p.$

Полная спецификация переносов Артина также требует явного знания производных подгрупп . Так как является нормальной подгруппой индекса в , некоторая общая редукция возможна согласно ^[10], но должно быть известно представление для определения образующих , откуда $T_{i}$ $H_{i}'$ $G'$ $p$ $H_{i}$ $H_{i}'=[H_{i},H_{i}]=[G',H_{i}]=(G')^{h_{i}-1},$ $G$ $G'=\langle s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle$

(22)\quad H_{i}'=(G')^{h_{i}-1}=\langle [s_{1},h_{i}],\ldots ,[s_{n},h_{i}]\rangle .

Абелианизация типа ( p ² , p ) [ править ]

Пусть - p -группа с абелианизацией неэлементарного абелевого типа . Тогда имеет максимальные подгруппы индекса и подгруппы индекса Для каждого пусть $G$ $G/G'$ $(p^{2},p)$ $G$ $p+1$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $p$ $p+1$ $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ $p^{2}.$ $i\in \{1,\ldots ,p+1\}$

{\begin{aligned}T_{1,i}:G&\to H_{i}/H_{i}'\\T_{2,i}:G&\to U_{i}/U_{i}'\end{aligned}}

- гомоморфизмы переноса Артина. Базисная теорема Бернсайда утверждает, что группа может быть порождена двумя элементами такими, что $G$ $x,y$ $x^{p^{2}},y^{p}\in G'.$

Начнем с рассмотрения первого слоя подгрупп. Для каждой из нормальных подгрупп выбираем генератор $H_{i}$

(23)\quad h_{i}=xy^{i-1}

такой что . Это случаи, когда фактор-группа циклична по порядку . Однако для выделенной максимальной подгруппы , фактор-группа которой бициклическая по типу , нам понадобятся два образующих: $H_{i}=\langle h_{i},G'\rangle$ $H_{i}/G'$ $p^{2}$ $H_{p+1}$ $H_{p+1}/G'$ $(p,p)$

(24)\quad {\begin{cases}h_{p+1}=y\\h_{0}=x^{p}\end{cases}}

такой что . Далее необходимо указать образующий трансверсали, такой, что для каждого . Удобно определить $H_{p+1}=\langle h_{p+1},h_{0},G'\rangle$ $t_{i}$ $G=\langle t_{i},H_{i}\rangle$ $1\leq i\leq p+1$

(25)\quad {\begin{cases}t_{i}=y&1\leq i\leq p\\t_{p+1}=x\end{cases}}

Затем для каждого у нас есть внутренние и внешние переводы: $1\leq i\leq p+1$

{\begin{aligned}(26)\quad T_{1,i}(h_{i})&=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{-1}\right)^{p}t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\\(27)\quad T_{1,i}(t_{i})&=t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\end{aligned}}

так как и . $\mathrm {ord} (h_{i}H_{i})=1$ $\mathrm {ord} (t_{i}H_{i})=p$

Теперь продолжим рассмотрение второго слоя подгрупп. Для каждой из нормальных подгрупп выбираем генератор $U_{i}$

(28)\quad {\begin{cases}u_{1}=y\\u_{i}=x^{p}y^{i-1}&2\leq i\leq p\\u_{p+1}=x^{p}\end{cases}}

такой что . Среди этих подгрупп особенно выделяется подгруппа Фраттини . Единообразный способ определения образующих трансверсали, такой что , состоит в том , чтобы установить $U_{i}=\langle u_{i},G'\rangle$ $U_{p+1}=\langle x^{p},G'\rangle =G^{p}\cdot G'$ $t_{i},w_{i}$ $G=\langle t_{i},w_{i},U_{i}\rangle$

(29)\quad {\begin{cases}t_{i}=x&1\leq i\leq p\\w_{i}=x^{p}&1\leq i\leq p\\t_{p+1}=x\\w_{p+1}=y\end{cases}}

Поскольку , но с другой стороны, и для , с единственным исключением , мы получаем следующие выражения для внутренних и внешних переносов $\mathrm {ord} (u_{i}U_{i})=1$ $\mathrm {ord} (t_{i}U_{i})=p^{2}$ $\mathrm {ord} (w_{i}U_{i})=p$ $1\leq i\leq p+1$ $\mathrm {ord} (t_{p+1}U_{p+1})=p$

{\begin{aligned}(30)\quad T_{2,i}(u_{i})&=u_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(U_{i})}\cdot U_{i}'=u_{i}^{\sum _{j=0}^{p-1}\sum _{k=0}^{p-1}w_{i}^{j}t_{i}^{k}}\cdot U_{i}'=\prod _{j=0}^{p-1}\prod _{k=0}^{p-1}(w_{i}^{j}t_{i}^{k})^{-1}u_{i}w_{i}^{j}t_{i}^{k}\cdot U_{i}'\\(31)\quad T_{2,i}(t_{i})&=t_{i}^{p^{2}}\cdot U_{i}'\end{aligned}}

исключительно

{\begin{aligned}&(32)\quad T_{2,p+1}\left(t_{p+1}\right)=\left(t_{p+1}^{p}\right)^{1+w_{p+1}+w_{p+1}^{2}+\ldots +w_{p+1}^{p-1}}\cdot U_{p+1}'\\&(33)\quad T_{2,i}(w_{i})=\left(w_{i}^{p}\right)^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots +t_{i}^{p-1}}\cdot U_{i}'&&1\leq i\leq p+1\end{aligned}}

Структура производных подгрупп и должна быть известна , чтобы полностью указать действие передач Артиновых. $H_{i}'$ $U_{i}'$

Перенести ядра и цели [ править ]

Пусть - группа с конечной абелианизацией . Предположим, что это означает семейство всех подгрупп, которые содержат и поэтому обязательно являются нормальными, пронумерованные конечным множеством индексов . Для каждого пусть будет переход Артина от к абелианизации . $G$ $G/G'$ $(H_{i})_{i\in I}$ $G'$ $I$ $i\in I$ $T_{i}:=T_{G,H_{i}}$ $G$ $H_{i}/H_{i}'$

Определение. ^[11] Семейство нормальных подгрупп называется типом ядра переноса (TKT) относительно , а семейство абелианизаций (соответственно их инварианты абелевого типа) называется целевым типом переноса (TTT) относительно . Оба семейства также называются мультиплетами, тогда как отдельный компонент будет называться синглетом . $\varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{i}))_{i\in I}$ $G$ $(H_{i})_{i\in I}$ $\tau _{H}(G)=(H_{i}/H_{i}')_{i\in I}$ $G$ $(H_{i})_{i\in I}$

Важные примеры этих концепций приведены в следующих двух разделах.

Абелианизация типа ( p , p ) [ править ]

Пусть - p -группа с абелианизацией элементарного абелева типа . Тогда имеет максимальные подгруппы индекса . Для пусть обозначения передачи артинов гомоморфизм. $G$ $G/G'$ $(p,p)$ $G$ $p+1$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $p$ $i\in \{1,\ldots ,p+1\}$ $T_{i}:G\to H_{i}/H_{i}'$

Определение. Семейство нормальных подгрупп называется типом ядра переноса (TKT) по отношению к . $\varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{i}))_{1\leq i\leq p+1}$ $G$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$

Замечание. Для краткости TKT отождествляется с мультиплетом , целые компоненты которого имеют вид $(\varkappa (i))_{1\leq i\leq p+1}$

\varkappa (i)={\begin{cases}0&\ker(T_{i})=G\\j&\ker(T_{i})=H_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1\end{cases}}

Здесь, мы принимаем во внимание , что каждый перенос ядро должно содержать коммутант из , так как целевая передачи абелево. Однако минимальный случай невозможен. $\ker(T_{i})$ $G'$ $G$ $H_{i}/H_{i}'$ $\ker(T_{i})=G'$

Замечание. Вознаграждение максимальных подгрупп и переводов с помощью перестановки приводит к новому ТКТ в отношении , идентифицированный с , где $K_{i}=H_{\pi (i)}$ $V_{i}=T_{\pi (i)}$ $\pi \in S_{p+1}$ $\lambda _{K}(G)=(\ker(V_{i}))_{1\leq i\leq p+1}$ $K_{1},\ldots ,K_{p+1}$ $(\lambda (i))_{1\leq i\leq p+1}$

\lambda (i)={\begin{cases}0&\ker(V_{i})=G\\j&\ker(V_{i})=K_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1\end{cases}}

Достаточно рассматривать TKT как эквивалентные . Поскольку у нас есть $\lambda _{K}(G)\sim \varkappa _{H}(G)$

K_{\lambda (i)}=\ker(V_{i})=\ker(T_{\pi (i)})=H_{\varkappa (\pi (i))}=K_{{\tilde {\pi }}^{-1}(\varkappa (\pi (i)))},

связь между и задается . Таким образом, еще один представитель орбиты из под действием симметрической группы на множестве всех отображений из где расширения перестановки определяются и формально $\lambda$ $\varkappa$ $\lambda ={\tilde {\pi }}^{-1}\circ \varkappa \circ \pi$ $\lambda$ $\varkappa ^{S_{p+1}}$ $\varkappa$ $(\pi ,\mu )\mapsto {\tilde {\pi }}^{-1}\circ \mu \circ \pi$ $S_{p+1}$ $\{1,\ldots ,p+1\}\to \{0,1,\ldots ,p+1\},$ ${\tilde {\pi }}\in S_{p+2}$ $\pi \in S_{p+1}$ ${\tilde {\pi }}(0)=0,$ $H_{0}=G,K_{0}=G.$

Определение. Орбита любого представителя является инвариантом p -группы и называется ее типом ядра переноса , сокращенно TKT. $\varkappa (G)=\varkappa ^{S_{p+1}}$ $\varkappa$ $G$

Замечание. Обозначим через счетчик ядер тотального переноса , который является инвариантом группы . В 1980 г. С. М. Чанг и Р. Фут ^[12] доказали, что для любого нечетного простого и любого целого числа существуют метабелевы p -группы, имеющие абелианизацию типа такие, что . Однако для , не существует неабелевых -групп с , которые должны быть метабелевыми максимального класса, таких что . Только элементарная абелева -группа имеет . См. Рисунок 5. $\#{\mathcal {H}}_{0}(G):=\#\{1\leq i\leq p+1\mid \varkappa (i)=0\}$ $\ker(T_{i})=G$ $G$ $p$ $0\leq n\leq p+1$ $G$ $G/G'$ $(p,p)$ $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=n$ $p=2$ $2$ $G$ $G/G'\simeq (2,2)$ $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)\geq 2$ $2$ $G=C_{2}\times C_{2}$ $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=3$

В следующих конкретных примерах для счетчиков , а также в оставшейся части этой статьи мы используем идентификаторы конечных p -групп из библиотеки SmallGroups, написанные Х. У. Бешем, Б. Эйком и Э. А. О'Брайеном. ^[13]^[14] $\#{\mathcal {H}}_{0}(G)$

Ибо у нас есть $p=3$

$\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=0$ для дополнительной специальной группы экспоненты с TKT (рисунок 6), $G=\langle 27,4\rangle$ $9$ $\varkappa =(1111)$
$\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=1$ для двух групп с ТКЦ (рисунки 8 и 9), $G\in \{\langle 243,6\rangle ,\langle 243,8\rangle \}$ $\varkappa \in \{(0122),(2034)\}$
$\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=2$ для группы с TKT (рисунок 4 в статье о деревьях потомков ), $G=\langle 243,3\rangle$ $\varkappa =(0043)$
$\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=3$ для группы с ТКТ (рисунок 6), $G=\langle 81,7\rangle$ $\varkappa =(2000)$
$\#{\mathcal {H}}_{0}(G)=4$ для дополнительной специальной группы экспоненты с TKT (рисунок 6). $G=\langle 27,3\rangle$ $3$ $\varkappa =(0000)$

Абелианизация типа ( p ² , p ) [ править ]

Пусть - p -группа с абелианизацией неэлементарного абелевого типа. Тогда она обладает максимальными подгруппами индекса и подгруппами индекса $G$ $G/G'$ $(p^{2},p).$ $G$ $p+1$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $p$ $p+1$ $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ $p^{2}.$

Предположение. Предполагать

H_{p+1}=\prod _{j=1}^{p+1}U_{j}

это отличает максимальная подгруппа и

U_{p+1}=\bigcap _{j=1}^{p+1}H_{j}

- выделенная подгруппа индекса, которая, как пересечение всех максимальных подгрупп, является подгруппой Фраттини группы . $p^{2}$ $\Phi (G)$ $G$

Первый слой [ править ]

Для каждого , пусть обозначают передачи артинов гомоморфизма. $1\leq i\leq p+1$ $T_{1,i}:G\to H_{i}/H_{i}'$

Определение. Семейство называется типом ядра переноса первого уровня по отношению к и и идентифицируется как , где $\varkappa _{1,H,U}(G)=(\ker(T_{1,i}))_{i=1}^{p+1}$ $G$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ $(\varkappa _{1}(i))_{i=1}^{p+1}$

\varkappa _{1}(i)={\begin{cases}0&\ker(T_{1,i})=H_{p+1},\\j&\ker(T_{1,i})=U_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1.\end{cases}}

Замечание. Здесь мы видим, что каждое ядро переноса первого уровня имеет показатель степени по и, следовательно, не может совпадать ни с одним , поскольку является циклическим по порядку , тогда как является бициклическим по типу . $p$ $G'$ $H_{j}$ $1\leq j\leq p$ $H_{j}/G'$ $p^{2}$ $H_{p+1}/G'$ $(p,p)$

Второй слой [ править ]

Для каждого пусть будет гомоморфизм переноса Артина от к абелианизации . $1\leq i\leq p+1$ $T_{2,i}:G\to U_{i}/U_{i}'$ $G$ $U_{i}$

Определение. Семья называется второй передаточный слой типа ядро из относительно и , и идентифицируется с , где $\varkappa _{2,U,H}(G)=(\ker(T_{2,i}))_{i=1}^{p+1}$ $G$ $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $(\varkappa _{2}(i))_{i=1}^{p+1},$

\varkappa _{2}(i)={\begin{cases}0&\ker(T_{2,i})=G,\\j&\ker(T_{2,i})=H_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1.\end{cases}}

Перенести тип ядра [ править ]

Объединение информации о двух слоях, мы получаем (полный) тип переноса ядра от р -группы относительно и . $\varkappa _{H,U}(G)=(\varkappa _{1,H,U}(G);\varkappa _{2,U,H}(G))$ $G$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $U_{1},\ldots ,U_{p+1}$

Замечание. Выделенные подгруппы и являются уникальными инвариантами группы и не подлежат перенумерованию. Однако независимые перенумерования оставшихся максимальных подгрупп и переносов посредством перестановки , а также оставшихся подгрупп индекса и переносов посредством перестановки приводят к появлению новых TKT по отношению к и , отождествляемым с , где $H_{p+1}$ $U_{p+1}=\Phi (G)$ $G$ $K_{i}=H_{\tau (i)}(1\leq i\leq p)$ $V_{1,i}=T_{1,\tau (i)}$ $\tau \in S_{p}$ $W_{i}=U_{\sigma (i)}(1\leq i\leq p)$ $p^{2}$ $V_{2,i}=T_{2,\sigma (i)}$ $\sigma \in S_{p}$ $\lambda _{1,K,W}(G)=(\ker(V_{1,i}))_{i=1}^{p+1}$ $K_{1},\ldots ,K_{p+1}$ $W_{1},\ldots ,W_{p+1}$ $(\lambda _{1}(i))_{i=1}^{p+1}$

\lambda _{1}(i)={\begin{cases}0&\ker(V_{1,i})=K_{p+1},\\j&\ker(V_{1,i})=W_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1,\end{cases}}

и относительно и , отождествляемого с где $\lambda _{2,W,K}(G)=(\ker(V_{2,i}))_{i=1}^{p+1}$ $W_{1},\ldots ,W_{p+1}$ $K_{1},\ldots ,K_{p+1}$ $(\lambda _{2}(i))_{i=1}^{p+1},$

\lambda _{2}(i)={\begin{cases}0&\ker(V_{2,i})=G,\\j&\ker(V_{2,i})=K_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1.\end{cases}}

Это достаточно , чтобы просмотреть ТКЦ и , как эквивалент . Поскольку у нас есть $\lambda _{1,K,W}(G)\sim \varkappa _{1,H,U}(G)$ $\lambda _{2,W,K}(G)\sim \varkappa _{2,U,H}(G)$

{\begin{aligned}W_{\lambda _{1}(i)}&=\ker(V_{1,i})=\ker(T_{1,{\hat {\tau }}(i)})=U_{\varkappa _{1}({\hat {\tau }}(i))}=W_{{\tilde {\sigma }}^{-1}(\varkappa _{1}({\hat {\tau }}(i)))}\\K_{\lambda _{2}(i)}&=\ker(V_{2,i})=\ker(T_{2,{\hat {\sigma }}(i)})=H_{\varkappa _{2}({\hat {\sigma }}(i))}=K_{{\tilde {\tau }}^{-1}(\varkappa _{2}({\hat {\sigma }}(i)))}\end{aligned}}

отношения между и , и , даются $\lambda _{1}$ $\varkappa _{1}$ $\lambda _{2}$ $\varkappa _{2}$

\lambda _{1}={\tilde {\sigma }}^{-1}\circ \varkappa _{1}\circ {\hat {\tau }}

\lambda _{2}={\tilde {\tau }}^{-1}\circ \varkappa _{2}\circ {\hat {\sigma }}

Следовательно, это еще один представитель орбиты России под действием: $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2})$ $\varkappa ^{S_{p}\times S_{p}}$ $\varkappa =(\varkappa _{1},\varkappa _{2})$

((\sigma ,\tau ),(\mu _{1},\mu _{2}))\mapsto \left({\tilde {\sigma }}^{-1}\circ \mu _{1}\circ {\hat {\tau }},{\tilde {\tau }}^{-1}\circ \mu _{2}\circ {\hat {\sigma }}\right)

произведения двух симметрических групп на множестве всех пар отображений , где расширения и перестановки определены с помощью и , и формально и $S_{p}\times S_{p}$ $\{1,\ldots ,p+1\}\to \{0,1,\ldots ,p+1\}$ ${\hat {\pi }}\in S_{p+1}$ ${\tilde {\pi }}\in S_{p+2}$ $\pi \in S_{p}$ ${\hat {\pi }}(p+1)={\tilde {\pi }}(p+1)=p+1$ ${\tilde {\pi }}(0)=0$ $H_{0}=K_{0}=G,K_{p+1}=H_{p+1},U_{0}=W_{0}=H_{p+1},$ $W_{p+1}=U_{p+1}=\Phi (G).$

Определение. Орбита любого представителя является инвариантом p -группы и называется ее типом ядра переноса , сокращенно TKT. $\varkappa (G)=\varkappa ^{S_{p}\times S_{p}}$ $\varkappa =(\varkappa _{1},\varkappa _{2})$ $G$

Связи между слоями [ править ]

Передача артинов является композицией из индуцированной передачи от до и передачи артиновской $T_{2,i}:G\to U_{i}/U_{i}'$ $T_{2,i}={\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}\circ T_{1,j}$ ${\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}:H_{j}/H_{j}'\to U_{i}/U_{i}'$ $H_{j}$ $U_{i}$ $T_{1,j}:G\to H_{j}/H_{j}'.$

Есть два варианта относительно промежуточных подгрупп.

Для подгрупп только выделенная максимальная подгруппа является промежуточной подгруппой. $U_{1},\ldots ,U_{p}$ $H_{p+1}$
Для подгруппы Фраттини все максимальные подгруппы являются промежуточными подгруппами. $U_{p+1}=\Phi (G)$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$

Это вызывает ограничения для типа ядра передачи второго уровня, поскольку

\varkappa _{2}(G)

\ker(T_{2,i})=\ker({\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}\circ T_{1,j})\supset \ker(T_{1,j}),

и поэтому

\forall i\in \{1,\ldots ,p\}:\qquad \ker(T_{2,i})\supset \ker(T_{1,p+1}).

Но даже

\ker(T_{2,p+1})\supset \left\langle \bigcup _{j=1}^{p+1}\ker(T_{1,j})\right\rangle .

Кроме того, когда с элементом порядка по отношению к , может принадлежать только в том случае, если его степень th содержится в , для всех промежуточных подгрупп , и, таким образом:, наверняка , обеспечивает синглет TKT первого уровня , но для некоторых даже определяет полный мультиплет ТКТ первого слоя , то есть для всех .

G=\langle x,y\rangle

x^{p}\notin G',y^{p}\in G',

xy^{k-1}(1\leq k\leq p)

p^{2}

G'

\ker(T_{2,i})

p

\ker(T_{1,j})

U_{i}<H_{j}<G

xy^{k-1}\in \ker(T_{2,i})

1\leq i,k\leq p

\varkappa _{1}(p+1)=p+1

xy^{k-1}\in \ker(T_{2,p+1})

1\leq k\leq p

\varkappa _{1}=((p+1)^{p+1})

\varkappa _{1}(j)=p+1

1\leq j\leq p+1

Рисунок 1: Факторинг через абелианизацию.

Наследование от частных [ править ]

Общей чертой всех отношений родитель-потомок между конечными p -группами является то, что родитель является фактором потомка по подходящей нормальной подгруппе. Таким образом, можно дать эквивалентное определение, выбрав эпиморфизм с. Тогда группу можно рассматривать как родитель потомка . $\pi (G)$ $G/N$ $G$ $N.$ $\phi :G\to {\tilde {G}}$ $\ker(\phi )=N.$ ${\tilde {G}}=\phi (G)$ $G$

В следующих разделах мы будем придерживаться этой точки зрения, как правило, для произвольных групп, а не только для конечных p -групп.

Прохождение абелианизации [ править ]

Предложение. Предположим, что это абелева группа и является гомоморфизмом. Обозначим через каноническое проекционное отображение. Тогда существует единственный гомоморфизм такой, что и (см. Рисунок 1).

A

\phi :G\to A

\omega :G\to G/G'

{\tilde {\phi }}:G/G'\to A

\phi ={\tilde {\phi }}\circ \omega

\ker({\tilde {\phi }})=\ker(\phi )/G'

Доказательство. Это утверждение является следствием второго следствия статьи о индуцированном гомоморфизме . Тем не менее, мы даем независимое доказательство для данной ситуации: уникальность является следствием условия, которое для любого из нас означает : ${\tilde {\phi }}$ $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \omega ,$ $x\in G$

{\tilde {\phi }}(xG')={\tilde {\phi }}(\omega (x))=({\tilde {\phi }}\circ \omega )(x)=\phi (x),

${\tilde {\phi }}$ является гомоморфизмом, пусть произвольно, тогда: $x,y\in G$

{\begin{aligned}{\tilde {\phi }}\left(xG'\cdot yG'\right)&={\tilde {\phi }}((xy)G')=\phi (xy)=\phi (x)\cdot \phi (y)={\tilde {\phi }}(xG')\cdot {\tilde {\phi }}(xG')\\\phi ([x,y])&=\phi \left(x^{-1}y^{-1}xy\right)=\phi (x^{-1})\phi (y^{-1})\phi (x)\phi (y)=[\phi (x),\phi (y)]=1&&A{\text{ is abelian.}}\end{aligned}}

Таким образом, коммутаторная подгруппа , и это, наконец, показывает, что определение не зависит от представителя смежного класса, $G'\subset \ker(\phi )$ ${\tilde {\phi }}$

{\begin{aligned}xG'=yG'&\Longrightarrow y^{-1}x\in G'\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow 1=\phi (y^{-1}x)={\tilde {\phi }}(y^{-1}xG')={\tilde {\phi }}(yG')^{-1}\cdot {\tilde {\phi }}(xG')\\&\Longrightarrow {\tilde {\phi }}(xG')={\tilde {\phi }}(yG')\end{aligned}}

Рисунок 2: Эпиморфизмы и производные факторы.

Синглеты ТТТ [ править ]

Предложение. Предположим, что они такие же, как указано выше, и является образом подгруппы . Коммутаторная подгруппа в является образом коммутативной подгруппы в Следовательно, индуцирует уникальный эпиморфизм и, таким образом, является частным от Кроме того, если , то отображение является изоморфизмом (см. Рис. ).

G,{\tilde {G}},\phi

{\tilde {H}}=\phi (H)

H.

{\tilde {H}}

H.

\phi

{\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'

{\tilde {H}}/{\tilde {H}}'

H/H'.

\ker(\phi )\leq H'

{\tilde {\phi }}

Доказательство. Это утверждение является следствием основной теоремы из статьи о индуцированном гомоморфизме . Тем не менее, независимое доказательство дается следующим образом: во-первых, образ коммутаторной подгруппы есть

\phi (H')=\phi ([H,H])=\phi (\langle [u,v]|u,v\in H\rangle )=\langle [\phi (u),\phi (v)]\mid u,v\in H\rangle =[\phi (H),\phi (H)]=\phi (H)'={\tilde {H}}'.

Во-вторых, эпиморфизм можно ограничить до эпиморфизма . Согласно предыдущему разделу, составной эпиморфизм подвергается влиянию посредством однозначно определенного эпиморфизма, такого что . Следовательно, имеем . Кроме того, ядро явно задается . $\phi$ $\phi |_{H}:H\to {\tilde {H}}$ $(\omega _{\tilde {H}}\circ \phi |_{H}):H\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ $H/H'$ ${\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$ ${\tilde {\phi }}\circ \omega _{H}=\omega _{\tilde {H}}\circ \phi |_{H}$ ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq (H/H')/\ker({\tilde {\phi }})$ ${\tilde {\phi }}$ $\ker({\tilde {\phi }})=(H'\cdot \ker(\phi ))/H'$

Наконец, если , то это изоморфизм, поскольку . $\ker(\phi )\leq H'$ ${\tilde {\phi }}$ $\ker({\tilde {\phi }})=H'/H'=1$

Определение. ^[15] В связи с результатами, приведенными в данном разделе, имеет смысл определить частичный порядок на множестве инвариантов абелевых типов, задав , when и when . ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\preceq H/H'$ ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq (H/H')/\ker({\tilde {\phi }})$ ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'=H/H'$ ${\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq H/H'$

Рисунок 3: Эпиморфизмы и переносы Артина.

Сингулеты ТКТ [ править ]

Предложение. Предположим , как указано выше, и является образом подгруппы конечного индекса. Позвольте и быть переносами Артина. Если , то образ левой трансверсали in - это левая трансверсаль in , и, кроме того, если then (см. Рисунок 3).

G,{\tilde {G}},\phi

{\tilde {H}}=\phi (H)

n.

T_{G,H}:G\to H/H'

T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}:{\tilde {G}}\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'

\ker(\phi )\leq H

H

G

{\tilde {H}}

{\tilde {G}}

\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).

\ker(\phi )\leq H'

\phi (\ker(T_{G,H}))=\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})

Доказательство. Позвольте быть левую трансверсаль в . Тогда у нас есть несвязное объединение: $(g_{1},\ldots ,g_{n})$ $H$ $G$

G=\bigsqcup _{i=1}^{n}g_{i}H.

Рассмотрим образ этого непересекающегося объединения, который не обязательно не пересекается,

\phi (G)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\phi (H),

и пусть у нас будет: $j,k\in \{1,\ldots ,n\}.$

{\begin{aligned}\phi (g_{j})\phi (H)=\phi (g_{k})\phi (H)&\Longleftrightarrow \phi (H)=\phi (g_{j})^{-1}\phi (g_{k})\phi (H)=\phi (g_{j}^{-1}g_{k})\phi (H)\\&\Longleftrightarrow \phi (g_{j}^{-1}g_{k})=\phi (h)&&{\text{for some }}h\in H\\&\Longleftrightarrow \phi (h^{-1}g_{j}^{-1}g_{k})=1\\&\Longleftrightarrow h^{-1}g_{j}^{-1}g_{k}\in \ker(\phi )\subset H\\&\Longleftrightarrow g_{j}^{-1}g_{k}\in H\\&\Longleftrightarrow j=k\\\end{aligned}}

Позвольте быть эпиморфизм из предыдущего предложения. У нас есть: ${\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'$

{\tilde {\phi }}(T_{G,H}(x))={\tilde {\phi }}\left(\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'\right)=\prod _{i=1}^{n}\phi \left(g_{\pi _{x}(i)}\right)^{-1}\phi (x)\phi (g_{i})\cdot \phi (H').

Поскольку правая часть равна , если - левая трансверсаль к in , что верно, когда Следовательно, Следовательно, влечет включение $\phi (H')=\phi (H)'={\tilde {H}}'$ $T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}(\phi (x))$ $(\phi (g_{1}),\ldots ,\phi (g_{n}))$ ${\tilde {H}}$ ${\tilde {G}}$ $\ker(\phi )\subset H.$ ${\tilde {\phi }}\circ T_{G,H}=T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}\circ \phi .$ $\ker(\phi )\subset H$

\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).

Наконец, если , то по предыдущему предложению является изоморфизмом. Используя обратное, получаем , что доказывает $\ker(\phi )\subset H'$ ${\tilde {\phi }}$ $T_{G,H}={\tilde {\phi }}^{-1}\circ T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}\circ \phi$

\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\subset \ker(T_{G,H}).

Объединяя включения, мы получаем:

{\begin{aligned}{\begin{cases}\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\subset \ker(T_{G,H})\end{cases}}&\Longrightarrow {\begin{cases}\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\\phi \left(\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\right)\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\end{cases}}\\[8pt]&\Longrightarrow \phi \left(\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\right)\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\[8pt]&\Longrightarrow \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\[8pt]&\Longrightarrow \phi (\ker(T_{G,H}))=\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\end{aligned}}

Определение. ^[15] Принимая во внимание результаты в настоящем разделе, мы можем определить частичный порядок ядер передачи, установив , когда $\ker(T_{G,H})\preceq \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})$ $\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).$

Мультиплеты ТТТ и ТКТ [ править ]

Предположим, что они такие же, как указано выше, и изоморфны и конечны. Обозначим через семейство всех содержащихся подгрупп (что делает его конечным семейством нормальных подгрупп). Для каждого выпуска: $G,{\tilde {G}},\phi$ $G/G'$ ${\tilde {G}}/{\tilde {G}}'$ $(H_{i})_{i\in I}$ $G'$ $i\in I$

{\begin{aligned}{\tilde {H_{i}}}&:=\phi (H_{i})\\T_{i}&:=T_{G,H_{i}}:G\to H_{i}/H_{i}'\\{\tilde {T_{i}}}&:=T_{{\tilde {G}},{\tilde {H_{i}}}}:{\tilde {G}}\to {\tilde {H_{i}}}/{\tilde {H_{i}}}'\end{aligned}}

Возьмем любое непустое подмножество . Затем удобно определить , называемый (частичным) типом ядра передачи (TKT) по отношению к , и называемый (частичным) целевым типом передачи (TTT) по отношению к . $J$ $I$ $\varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{j}))_{j\in J}$ $G$ $(H_{j})_{j\in J}$ $\tau _{H}(G)=(H_{j}/H_{j}')_{j\in J},$ $G$ $(H_{j})_{j\in J}$

Из-за правил для синглетов, установленных в двух предыдущих разделах, эти мультиплеты TTT и TKT подчиняются следующим фундаментальным законам наследования:

Закон наследования I. Если , то в том смысле, что для каждого , и в том смысле, что для каждого .

\ker(\phi )\leq \cap _{j\in J}H_{j}

\tau _{\tilde {H}}({\tilde {G}})\preceq \tau _{H}(G)

{\tilde {H_{j}}}/{\tilde {H_{j}}}'\preceq H_{j}/H_{j}'

j\in J

\varkappa _{H}(G)\preceq \varkappa _{\tilde {H}}({\tilde {G}})

\ker(T_{j})\preceq \ker({\tilde {T_{j}}})

j\in J

Закон о наследстве II. Если , то в том смысле, что для каждого , и в том смысле, что для каждого .

\ker(\phi )\leq \cap _{j\in J}H_{j}'

\tau _{\tilde {H}}({\tilde {G}})=\tau _{H}(G)

{\tilde {H_{j}}}/{\tilde {H_{j}}}'=H_{j}/H_{j}'

j\in J

\varkappa _{H}(G)=\varkappa _{\tilde {H}}({\tilde {G}})

\ker(T_{j})=\ker({\tilde {T_{j}}})

j\in J

Унаследованные автоморфизмы [ править ]

Еще одно свойство наследования не касается непосредственно передачи Артина, но окажется полезным в приложениях к дочерним деревьям.

Закон о наследстве III. Предположим , как указано выше , и если тогда существует единственный эпиморфизм такой , что . Если тогда

G,{\tilde {G}},\phi

\sigma \in \mathrm {Aut} (G).

\sigma (\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )

{\tilde {\sigma }}:{\tilde {G}}\to {\tilde {G}}

\phi \circ \sigma ={\tilde {\sigma }}\circ \phi

\sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi ),

{\tilde {\sigma }}\in \mathrm {Aut} ({\tilde {G}}).

Доказательство. Используя изоморфизм, мы определяем: ${\tilde {G}}=\phi (G)\simeq G/\ker(\phi )$

{\begin{cases}{\tilde {\sigma }}:{\tilde {G}}\to {\tilde {G}}\\{\tilde {\sigma }}(g\ker(\phi )):=\sigma (g)\ker(\phi )\end{cases}}

Сначала покажем, что эта карта четко определена:

{\begin{aligned}g\ker(\phi )=h\ker(\phi )&\Longrightarrow h^{-1}g\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1}g)\in \sigma (\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1}g)\in \ker(\phi )&&\sigma (\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1})\sigma (g)\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (g)\ker(\phi )=\sigma (h)\ker(\phi )\end{aligned}}

Тот факт, что сюръективен, гомоморфизм и удовлетворяет , легко проверяется. ${\tilde {\sigma }}$ $\phi \circ \sigma ={\tilde {\sigma }}\circ \phi$

А если , то инъективность является следствием $\sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi )$ ${\tilde {\sigma }}$

{\begin{aligned}{\tilde {\sigma }}(g\ker(\phi ))=\ker(\phi )&\Longrightarrow \sigma (g)\ker(\phi )=\ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (g)\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma ^{-1}(\sigma (g))\in \sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow g\in \sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow g\in \ker(\phi )&&\sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow g\ker(\phi )=\ker(\phi )\end{aligned}}

Пусть - каноническая проекция, тогда существует единственный индуцированный автоморфизм такой, что , то есть $\omega :G\to G/G'$ ${\bar {\sigma }}\in \mathrm {Aut} (G/G')$ $\omega \circ \sigma ={\bar {\sigma }}\circ \omega$

\forall g\in G:\qquad {\bar {\sigma }}(gG')={\bar {\sigma }}(\omega (g))=\omega (\sigma (g))=\sigma (g)G',

Причина инъективности в том, что ${\bar {\sigma }}$

\sigma (g)G'={\bar {\sigma }}(gG')=G'\Rightarrow \sigma (g)\in G'\Rightarrow g=\sigma ^{-1}(\sigma (g))\in G',

так как является характеристической подгруппой группы . $G'$ $G$

Определение. называется σ −группой , если существует такая, что индуцированный автоморфизм действует как инверсия на , т.е. для всех $G$ $\sigma \in \mathrm {Aut} (G)$ $G/G'$

g\in G:\qquad \sigma (g)G'={\bar {\sigma }}(gG')=g^{-1}G'\Longleftrightarrow \sigma (g)g\in G'.

Закон о наследовании III утверждает, что если является σ − группой и , то также является σ − группой, причем требуемый автоморфизм является . Это можно увидеть, применив эпиморфизм к уравнению, которое дает $G$ $\sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi )$ ${\tilde {G}}$ ${\tilde {\sigma }}$ $\phi$ $\sigma (g)G'={\bar {\sigma }}(gG')=g^{-1}G'$

\forall x=\phi (g)\in \phi (G)={\tilde {G}}:\qquad {\tilde {\sigma }}(x){\tilde {G}}'={\tilde {\sigma }}(\phi (g)){\tilde {G}}'=\phi (\sigma (g))\phi (G')=\phi (g^{-1})\phi (G')=\phi (g)^{-1}{\tilde {G}}'=x^{-1}{\tilde {G}}'.

Критерии стабилизации [ править ]

В этом разделе результаты, касающиеся наследования TTT и TKT от частных из предыдущего раздела, применяются к простейшему случаю, который характеризуется следующим:

Предположение. Родитель группы является фактором из последнего нетривиального срока нижнего центрального ряда , где обозначает класс нильпотентности . Соответствующий эпиморфизм из в является канонической проекцией, ядро которой задается выражением . $\pi (G)$ $G$ $\pi (G)=G/N$ $G$ $N=\gamma _{c}(G)\triangleleft G$ $G$ $c$ $G$ $\pi$ $G$ $\pi (G)=G/\gamma _{c}(G)$ $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)$

При этом предположении ядра и цели переносов Артина оказываются совместимыми с отношениями родитель-потомок между конечными p -группами.

Критерий совместимости. Позвольте быть простым числом. Предположим, что это неабелева конечная p -группа класса нильпотентности . Тогда ТТТ и ТКТ из и его родителя являются сопоставимыми в том смысле , что и . $p$ $G$ $c=\mathrm {cl} (G)\geq 2$ $G$ $\pi (G)$ $\tau (\pi (G))\preceq \tau (G)$ $\varkappa (G)\preceq \varkappa (\pi (G))$

Простая причина этого состоит в том, что для любой подгруппы мы имеем , поскольку . $G'\leq H\leq G$ $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{2}(G)=G'\leq H$ $c\geq 2$

В оставшейся части этого раздела исследуемые группы предполагаются конечными метабелевыми p -группами с элементарной абелианизацией ранга , то есть типа . $G$ $G/G'$ $2$ $(p,p)$

Частичная стабилизация для максимального класса. Метабелева p -группа кокласса и класса нильпотентности разделяет последние компоненты TTT и TKT со своим родительским . Более точно, для нечетных простых чисел есть и для .^[16] $G$ $\mathrm {cc} (G)=1$ $c=\mathrm {cl} (G)\geq 3$ $p$ $\tau (G)$ $\varkappa (G)$ $\pi (G)$ $p\geq 3$ $\tau (G)_{i}=(p,p)$ $\varkappa (G)_{i}=0$ $2\leq i\leq p+1$

Этот критерий обусловлен тем фактом, что влечет , ^[17] для последних максимальных подгрупп группы . $c\geq 3$ $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{3}(G)=H_{i}'$ $p$ $H_{2},\ldots ,H_{p+1}$ $G$

Условие действительно необходимо для критерия частичной стабилизации. Для нечетных простых чисел дополнительная специальная -группа порядка и экспоненты имеет только класс нильпотентности , а последние компоненты ее TKT строго меньше, чем соответствующие компоненты TKT ее родительского элемента, который является элементарной абелевой -группой типа . ^[16] В самом деле , обе дополнительные специальные -группы кокласса и класса , группа обычных кватернионов с TKT и группа диэдра с TKT $c\geq 3$ $p\geq 3$ $p$ $G=G_{0}^{3}(0,1)$ $p^{3}$ $p^{2}$ $c=2$ $p$ $\varkappa =(1^{p+1})$ $\varkappa =(0^{p+1})$ $\pi (G)$ $p$ $(p,p)$ $p=2$ $2$ $1$ $c=2$ $G=G_{0}^{3}(0,1)$ $\varkappa =(123)$ $G=G_{0}^{3}(0,0)$ $\varkappa =(023)$ , имеют два последних компонента своих TKT строго меньшего размера, чем их общий родительский элемент с TKT . $\pi (G)=C_{2}\times C_{2}$ $\varkappa =(000)$

Полная стабилизация для максимального класса и положительного дефекта.

Метабелева p -группа кокласса и класса нильпотентности , то есть с индексом нильпотентности , делит все компоненты TTT и TKT со своим родительским , при условии, что у нее есть положительный дефект коммутативности .^[11] Обратите внимание, что подразумевается , и у нас есть для всех .^[16] $G$ $\mathrm {cc} (G)=1$ $c=m-1=\mathrm {cl} (G)\geq 4$ $m\geq 5$ $p+1$ $\tau (G)$ $\varkappa (G)$ $\pi (G)$ $k=k(G)\geq 1$ $k\geq 1$ $p\geq 3$ $\varkappa (G)_{i}=0$ $1\leq i\leq p+1$

Это утверждение можно увидеть, заметив, что из условий и следует , ^[17] для всех максимальных подгрупп группы . $m\geq 5$ $k\geq 1$ $\ker(\pi )=\gamma _{m-1}(G)\leq \gamma _{m-k}(G)\leq H_{i}'$ $p+1$ $H_{1},\ldots ,H_{p+1}$ $G$

Это условие действительно необходимо для полной стабилизации. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть только первую составляющую ТКТ. Для каждого класса нильпотентности существует (как минимум) две группы с TKT и с TKT , обе с дефектом , где первый компонент их TKT строго меньше первого компонента TKT их общего родителя . $k\geq 1$ $c\geq 4$ $G=G_{0}^{c+1}(0,1)$ $\varkappa =(10^{p})$ $G=G_{0}^{c+1}(1,0)$ $\varkappa =(20^{p})$ $k=0$ $\varkappa =(0^{p+1})$ $\pi (G)=G_{0}^{c}(0,0)$

Частичная стабилизация для немаксимального класса.

Пусть будет исправлено. Метабелева 3-группа с абелианизацией , коклассом и классом нильпотентности разделяет последние два (среди четырех) компонентов ТТТ и ТКТ со своим родительским . $p=3$ $G$ $G/G'\simeq (3,3)$ $\mathrm {cc} (G)\geq 2$ $c=\mathrm {cl} (G)\geq 4$ $\tau (G)$ $\varkappa (G)$ $\pi (G)$

Этот критерий оправдан следующим соображением. Если , то ^[17] для последних двух максимальных подгрупп в . $c\geq 4$ $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{4}(G)\leq H_{i}'$ $H_{3},H_{4}$ $G$

Это условие действительно неизбежно для частичной стабилизации, поскольку существует несколько -групп классов , например, с идентификаторами SmallGroups , такие, что два последних компонента их TKT строго меньше двух последних компонентов TKT их общего родителя . $c\geq 4$ $3$ $c=3$ $G\in \{\langle 243,3\rangle ,\langle 243,6\rangle ,\langle 243,8\rangle \}$ $\varkappa \in \{(0043),(0122),(2034)\}$ $\varkappa =(0000)$ $\pi (G)=G_{0}^{3}(0,0)$

Полная стабилизация для немаксимального класса и циклического центра.

Опять же, давайте исправим. Метабелева 3-группа с абелианизацией , коклассом, классом нильпотентности и циклическим центром разделяет все четыре компонента TTT и TKT со своим родительским . $p=3$ $G$ $G/G'\simeq (3,3)$ $\mathrm {cc} (G)\geq 2$ $c=\mathrm {cl} (G)\geq 4$ $\zeta _{1}(G)$ $\tau (G)$ $\varkappa (G)$ $\pi (G)$

Причина в том, что из-за циклического центра мы имеем ^[17] для всех четырех максимальных подгрупп группы . $\ker(\pi )=\gamma _{c}(G)=\zeta _{1}(G)\leq H_{i}'$ $H_{1},\ldots ,H_{4}$ $G$

Условие циклического центра действительно необходимо для полной стабилизации, поскольку для группы с бициклическим центром возможны две возможности. Либо также является бициклическим, поэтому никогда не содержится в , либо является циклическим, но никогда не содержится в . $\gamma _{c}(G)=\zeta _{1}(G)$ $\gamma _{c}(G)$ $H_{2}'$ $\gamma _{c}(G)<\zeta _{1}(G)$ $H_{1}'$

Подводя итог, можно сказать, что последние четыре критерия подтверждают тот факт, что трансферты Артина являются прекрасным инструментом для классификации конечных p -групп.

В следующих разделах будет показано , как эти идеи могут быть применены для наделение нижестоящих деревьев с дополнительной структурой , и для поиска конкретных групп в потомках деревьев поиска шаблонов , определенных ядер и целевых трансфертов Артиновых. Эти стратегии распознавания образов полезны в чистой теории групп и в теории алгебраических чисел .

Рисунок 4: Наделение дерева потомков информацией о передачах Артина.

Структурированные деревья потомков (SDT) [ править ]

В этом разделе используется терминология деревьев-потомков в теории конечных p -групп. На рисунке 4 в качестве примера выбрано дерево-потомок с умеренной сложностью, чтобы продемонстрировать, как передачи Артина обеспечивают дополнительную структуру для каждой вершины дерева. Точнее, лежащее в основе простое число , а выбранное дерево-потомок на самом деле является коклассовым деревом, имеющим уникальную бесконечную основную линию, ветви глубины и строгую периодичность установки длины с ветвью . Первоначальный предварительно период состоит из ветвей и с исключительной структурой. Ветви и формы первобытного периода $p=3$ $3$ $2$ ${\mathcal {B}}(7)$ ${\mathcal {B}}(5)$ ${\mathcal {B}}(6)$ ${\mathcal {B}}(7)$ ${\mathcal {B}}(8)$ такой, что для нечетного и для четного . Корень дерева является метабелево -группа с идентификатором , то есть, группа порядка и подсчета числа . Этот корень не является подклассом , поэтому все его дочернее дерево имеет значительно более высокую сложность, чем кокласс- поддерево , первые шесть ветвей которого показаны на диаграмме на рисунке 4. Дополнительную структуру можно рассматривать как своего рода систему координат, в которой дерево вложено. Горизонтальная абсцисса помечена типом ядра переноса (TKT) , а вертикальная ${\mathcal {B}}(j)\simeq {\mathcal {B}}(7)$ $j\geq 9$ ${\mathcal {B}}(j)\simeq {\mathcal {B}}(8)$ $j\geq 10$ $3$ $R=\langle 243,6\rangle$ $|R|=3^{5}=243$ $6$ ${\mathcal {T}}(R)$ $2$ ${\mathcal {T}}^{2}(R)$ $\varkappa$ ординат обозначена с помощью одного компонента из целевого переноса типа (TTT). Вершины дерева нарисованы таким образом, что элементы периодических бесконечных последовательностей образуют вертикальный столбец с общим TKT . С другой стороны, метабелевы группы фиксированного порядка, представленные вершинами глубины не более , образуют горизонтальный ряд, разделяющий общий первый компонент TTT . (Чтобы предотвратить любые неверные интерпретации, мы явно указываем, что первый компонент TTT немабелевых групп или метабелевых групп, представленный вершинами глубины , обычно меньше, чем ожидалось, из-за явления стабилизации $\tau (1)$ $1$ $2$ !) TTT всех групп в этом дереве, представленном большим полным диском, который указывает на бициклический центр типа , задается с изменяющейся первой компонентой , почти гомоциклической абелевой -группой порядка и фиксированными другими компонентами и , где Инварианты абелевого типа записываются либо в виде порядков циклических компонент, либо в виде их -логарифмов с показателями, указывающими итерацию. (Последнее обозначение используется на рисунке 4.) Поскольку кокласс всех групп в этом дереве равен , связь между порядком и классом нильпотентности задается выражением . $(3,3)$ $\tau =[A(3,c),(3,3,3),(9,3),(9,3)]$ $\tau (1)=A(3,c)$ $3$ $3^{c}$ $\tau (2)=(3,3,3){\hat {=}}(1^{3})$ $\tau (3)=\tau (4)=(9,3){\hat {=}}(21)$ $3$ $2$ $3^{n}$ $c=n-2$

Распознавание образов [ править ]

Для поиска определенной группы в дереве потомков путем поиска шаблонов, определенных ядрами и целями передачи Артина, часто бывает достаточно уменьшить количество вершин в ветвях плотного дерева с высокой сложностью, отсеивая группы с желаемыми специальными свойствами. , Например

фильтрация групп, $\sigma$
исключение набора определенных типов ядра передачи,
отбрасывая все неметабелевы группы (обозначенные маленькими контурными квадратами на рис.4),
удаление метабелевых групп с циклическим центром (обозначенных полными маленькими дисками на рис.4),
отсечение вершин, удаленность которых от основной линии ( глубины ) превышает некоторую нижнюю границу,
сочетание нескольких различных критериев просеивания.

Результат такой процедуры просеивания называется сокращенным деревом потомков по отношению к желаемому набору свойств. Однако в любом случае следует избегать исключения главной линии коклассового дерева, так как результатом будет несвязное бесконечное множество конечных графов вместо дерева. Например, не рекомендуется ни исключать все -группы на Рисунке 4, ни удалять все группы с помощью TKT . На рисунке 4 большой прямоугольник с двойным контуром окружает обрезанное коклассовое дерево , из которого полностью удалены многочисленные вершины с TKT . Это было бы, например, полезно для поиска -группы с TKT и первым компонентом $\sigma$ $\varkappa =(0122)$ ${\mathcal {T}}_{\ast }^{2}(R)$ $\varkappa =(2122)$ $\sigma$ $\varkappa =(1122)$ $\tau (1)=(43)$ ТТТ. В этом случае результатом поиска будет даже уникальная группа. Мы расширим эту идею дальше в следующем подробном обсуждении важного примера.

Исторический пример [ править ]

Самый старый пример поиска конечной p -группы с помощью стратегии распознавания образов с помощью переносов Артина восходит к 1934 году, когда А. Шольц и О. Таусский ^[18] попытались определить группу Галуа в башне поля гильбертова класса, что является максимальным неразветвленным про- расширение , комплексного квадратичного поля алгебраических чисел Они на самом деле удалось найти максимальное метабелеву частное от , то есть группа Галуа второго Гильберта -класса поле из . Однако потребовались годы, прежде чем Буш и Д.К. Майер в 2012 г. представили первое строгое доказательство ^[15] $G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{\infty }(K)|K)$ $3$ $3$ $\mathrm {F} _{3}^{\infty }(K)$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-9748}}).$ $Q=G/G''=\mathrm {G} _{3}^{2}(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{2}(K)|K)$ $G$ $3$ $\mathrm {F} _{3}^{2}(K)$ $K$ $78$ что (потенциально бесконечная) -tower группа совпадает с конечной -группой производной длиной , и , таким образом, -tower из имеет ровно три этапа, остановки на третий Гильберт -class поля из . $3$ $G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)$ $3$ $\mathrm {G} _{3}^{3}(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{3}(K)|K)$ $\mathrm {dl} (G)=3$ $3$ $K$ $3$ $\mathrm {F} _{3}^{3}(K)$ $K$

Таблица 1: Возможные факторы P _c трехбашенной группы G группы K ^[15]
c	порядок P _c	Идентификатор SmallGroups для P _c	ТКТ П _ц $\varkappa$	ТТТ П _ц $\tau$	ν	μ	потомки числа P _c
$1$	$9$	$\langle 9,2\rangle$	$(0000)$	$[(1)(1)(1)(1)]$	$3$	$3$	$3/2;3/3;1/1$
$2$	$27$	$\langle 27,3\rangle$	$(0000)$	$[(1^{2})(1^{2})(1^{2})(1^{2})]$	$2$	$4$	$4/1;7/5$
$3$	$243$	$\langle 243,8\rangle$	$(2034)$	$[(21)(21)(21)(21)]$	$1$	$3$	$4/4$
$4$	$729$	$\langle 729,54\rangle$	$(2034)$	$[(21)(2^{2})(21)(21)]$	$2$	$4$	$8/3;6/3$
$5$	$2187$	$\langle 2187,302\rangle$	$(2334)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$3$	$0/0$
$5$	$2187$	$\langle 2187,306\rangle$	$(2434)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$3$	$0/0$
$5$	$2187$	$\langle 2187,303\rangle$	$(2034)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$1$	$4$	$5/2$
$5$	$6561$	$\langle 729,54\rangle -\#2;2$	$(2334)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$2$	$0/0$
$5$	$6561$	$\langle 729,54\rangle -\#2;6$	$(2434)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$0$	$2$	$0/0$
$5$	$6561$	$\langle 729,54\rangle -\#2;3$	$(2034)$	$[(21)(32)(21)(21)]$	$1$	$3$	$4/4$
$6$	$6561$	$\langle 2187,303\rangle -\#1;1$	$(2034)$	$[(21)(3^{2})(21)(21)]$	$1$	$4$	$7/3$
$6$	$19683$	$\langle 729,54\rangle -\#2;3-\#1;1$	$(2034)$	$[(21)(3^{2})(21)(21)]$	$2$	$4$	$8/3;6/3$

Поиск осуществляется с помощью алгоритма генерации p- групп М. Ф. Ньюмана ^[19] и Е. А. О'Брайена. ^[20] Для инициализации алгоритма необходимо определить два основных инварианта. Во - первых, генератор ранга из р -группах будет построен. Здесь мы имеем и задаются рангом класса квадратичного поля . Во- вторых, абелевы инварианты типа этого -class группы из . Эти два инварианта указывают на корень дерева потомков, которое будет построено последовательно. Хотя р $d$ $p=3$ $d=r_{3}(K)=d(\mathrm {Cl} _{3}(K))$ $3$ $K$ $3$ $\mathrm {Cl} _{3}(K)\simeq (1^{2})$ $K$ Алгоритм генерации группы разработан для использования определения «родитель-потомок» с помощью нижнего центрального ряда- p , он может быть подогнан к определению с помощью обычного нижнего центрального ряда. В случае элементарной абелевой p -группы в качестве корня разница не очень большая. Итак, мы должны начать с элементарной абелевой -группы ранга два, имеющей идентификатор SmallGroups , и построить дерево потомков . Мы делаем это, повторяя алгоритм генерации p- группы, принимая подходящих способных потомков предыдущего корня в качестве следующего корня, всегда выполняя приращение класса нильпотентности на единицу. $3$ $\langle 9,2\rangle$ ${\mathcal {T}}(\langle 9,2\rangle )$

Как объяснялось в начале раздела Распознавание образов , мы должны обрезать дерево потомков относительно инвариантов TKT и TTT группы -tower , которые определяются арифметикой поля как (ровно две фиксированные точки и без транспонирования) и . Кроме того, любой фактор должен быть -группой, что обусловлено требованиями теории чисел для квадратичного поля . $3$ $G$ $K$ $\varkappa \in \{(2334),(2434)\}$ $\tau =[(21)(32)(21)(21)]$ $G$ $\sigma$ $K$

У корня есть только один способный потомок типа . С точки зрения нильпотентности, является class- фактор из и является class- фактор из . Поскольку последняя имеет ядерный ранг два, возникает бифуркация , при которой первая компонента может быть исключена критерием стабилизации ТКТ всех -групп максимального класса. $\langle 9,2\rangle$ $\langle 27,3\rangle$ $(1^{2})$ $\langle 9,2\rangle$ $1$ $G/\gamma _{2}(G)$ $G$ $\langle 27,3\rangle$ $2$ $G/\gamma _{3}(G)$ $G$ ${\mathcal {T}}(\langle 27,3\rangle )={\mathcal {T}}^{1}(\langle 27,3\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{2}(\langle 27,3\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{1}(\langle 27,3\rangle )$ $\varkappa =(\ast 000)$ $3$

Из-за свойства наследования TKT только один способный потомок квалифицируется как фактор класса . Среди потомков есть только одна дееспособная группа . Это class- фактор из и имеет ядерный ранг два. $\langle 243,8\rangle$ $3$ $G/\gamma _{4}(G)$ $G$ $\sigma$ $\langle 729,54\rangle$ $\langle 243,8\rangle$ $4$ $G/\gamma _{5}(G)$ $G$

Это вызывает существенную бифуркацию в двух поддеревьях, принадлежащих разным графам коклассов и . Первый содержит метабелеву фактор из двух возможностей , которые не сбалансированы с отношением рангом большим , чем ранг генератора. Последнее целиком состоит из не-метабелевых групп и дает желаемое -tower группы как один из два Шуры - групп и с . ${\mathcal {T}}(\langle 729,54\rangle )={\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,54\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,54\rangle )$ ${\mathcal {G}}(3,2)$ ${\mathcal {G}}(3,3)$ $Q=G/G''$ $G$ $Q\in \{\langle 2187,302\rangle ,\langle 2187,306\rangle \}$ $r=3>2=d$ $3$ $G$ $\sigma$ $\langle 729,54\rangle -\#2;2$ $\langle 729,54\rangle -\#2;6$ $r=2=d$

Наконец, критерий завершения достигается в подходящих вершинах и , поскольку TTT слишком велик и будет даже увеличиваться, никогда не вернется к нему . Весь процесс поиска визуализируется в таблице 1, где для каждого из возможного последовательного р -quotients в -tower группы из , класс нильпотентности обозначаются , ядерным рангом по , и р -multiplicator ранг по . $\langle 2187,303\rangle -\#1;1\in {\mathcal {G}}(3,2)$ $\langle 729,54\rangle -\#2;3-\#1;1\in {\mathcal {G}}(3,3)$ $\tau =[(21)(3^{2})(21)(21)]>[(21)(32)(21)(21)]$ $[(21)(32)(21)(21)]$ $P_{c}=G/\gamma _{c+1}(G)$ $3$ $G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-9748}})$ $c=\mathrm {cl} (P_{c})$ $\nu =\nu (P_{c})$ $\mu =\mu (P_{c})$

Коммутаторное исчисление [ править ]

В этом разделе в качестве примера показано, как коммутаторное исчисление может использоваться для явного определения ядер и целей передачи Артина. В качестве конкретного примера мы возьмем метабелевы -группы с бициклическим центром, которые представлены большими полными дисками в качестве вершин диаграммы коклассового дерева на рисунке 4. Они образуют десять периодических бесконечных последовательностей , четыре, соответственно. шесть, для четных, соответственно. нечетный, класс нильпотентности и может быть охарактеризован с помощью параметризованного представления полициклического коммутатора мощности : $3$ $c$

1 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где - класс нильпотентности, где - порядок, а - параметры. $c\geq 5$ $3^{n}$ $n=c+2$ $0\leq w\leq 1,-1\leq z\leq 1$

Тип цели передачи (TTT) группы зависит только от класса нильпотентности , не зависит от параметров и равномерно задается . Это явление называется поляризацией , точнее в Uni-поляризации , ^[11] на первом компоненте. $G=G^{c,n}(z,w)$ $c$ $w,z$ $\tau =[A(3,c),(3,3,3),(9,3),(9,3)]$

Тип ядра передачи (TKT) группы не зависит от класса нильпотентности , но зависит от параметров и задается c.18`` для (основной группы), H.4`` для (двух способных групп) , E.6`` для (концевой группы) и E.14`` для (двух концевых групп). Для четного класса нильпотентности две группы типов H.4 и E.14, которые различаются только знаком параметра , изоморфны. $G=G^{c,n}(z,w)$ $c$ $w,z$ $\varkappa =(0122)$ $w=z=0$ $\varkappa =(2122)$ $w=0,z=\pm 1$ $\varkappa =(1122)$ $w=1,z=0$ $\varkappa \in \{(4122),(3122)\}$ $w=1,z=\pm 1$ $z$

Эти утверждения могут быть выведены с помощью следующих соображений.

В качестве подготовки полезно составить список некоторых коммутаторных соотношений, начиная с тех, которые приведены в презентации, для и для , которые показывают, что бициклический центр задается выражением . С помощью правила правого продукта и правил правой мощности , мы получаем , и для . $[a,x]=1$ $a\in \{s_{c},t_{3}\}$ $[a,y]=1$ $a\in \{s_{3},\ldots ,s_{c},t_{3}\}$ $\zeta _{1}(G)=\langle s_{c},t_{3}\rangle$ $[a,xy]=[a,y]\cdot [a,x]\cdot [[a,x],y]$ $[a,y^{2}]=[a,y]^{1+y}$ $[s_{2},xy]=s_{3}t_{3}$ $[s_{2},xy^{2}]=s_{3}t_{3}^{2}$ $[s_{j},xy]=[s_{j},xy^{2}]=[s_{j},x]=s_{j+1}$ $j\geq 3$

Максимальные подгруппы берутся так же, как в разделе о вычислительной реализации , а именно $G$

{\begin{aligned}H_{1}&=\langle y,G'\rangle \\H_{2}&=\langle x,G'\rangle \\H_{3}&=\langle xy,G'\rangle \\H_{4}&=\langle xy^{2},G'\rangle \\\end{aligned}}

Их производные подгруппы имеют решающее значение для поведения переносов Артина. Используя общую формулу , где и где мы знаем, что в данной ситуации, следует, что $H_{i}'=(G')^{h_{i}-1}$ $H_{i}=\langle h_{i},G'\rangle$ $G'=\langle s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\rangle$

{\begin{aligned}H_{1}'&=\left\langle s_{2}^{y-1}\right\rangle =\left\langle t_{3}\right\rangle \\H_{2}'&=\left\langle s_{2}^{x-1},\ldots ,s_{c-1}^{x-1}\right\rangle =\left\langle s_{3},\ldots ,s_{c}\right\rangle \\H_{3}'&=\left\langle s_{2}^{xy-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3},s_{4},\ldots ,s_{c}\right\rangle \\H_{4}'&=\left\langle s_{2}^{xy^{2}-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy^{2}-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3}^{2},s_{4},\ldots ,s_{c}\right\rangle \end{aligned}}

Обратите внимание, что это недалеко от абелева, так как содержится в центре . $H_{1}$ $H_{1}'=\langle t_{3}\rangle$ $\zeta _{1}(G)=\langle s_{c},t_{3}\rangle$

В качестве первого основного результата мы теперь можем определить инварианты абелевых типов производных частных:

H_{1}/H_{1}'=\langle y,s_{2},\ldots ,s_{c}\rangle H_{1}'/H_{1}'\simeq A(3,c),

единственное частное, которое растет с увеличением класса нильпотентности , поскольку для четных и нечетных , $c$ $\mathrm {ord} (y)=\mathrm {ord} (s_{2})=3^{m}$ $c=2m$ $\mathrm {ord} (y)=3^{m+1},\mathrm {ord} (s_{2})=3^{m}$ $c=2m+1$

{\begin{aligned}H_{2}/H_{2}'&=\langle x,s_{2},t_{3}\rangle H_{2}'/H_{2}'\simeq (3,3,3)\\H_{3}/H_{3}'&=\langle xy,s_{2},t_{3}\rangle H_{3}'/H_{3}'\simeq (9,3)\\H_{4}/H_{4}'&=\langle xy^{2},s_{2},t_{3}\rangle H_{4}'/H_{4}'\simeq (9,3)\end{aligned}}

поскольку обычно , но для , тогда как для и . $\mathrm {ord} (s_{2})=\mathrm {ord} (t_{3})=3$ $\mathrm {ord} (x)=3$ $H_{2}$ $\mathrm {ord} (xy)=\mathrm {ord} (xy^{2})=9$ $H_{3}$ $H_{4}$

Теперь мы подошли к ядрам гомоморфизмов переноса Артина . Достаточно исследовать индуцированные переходы и начать с поиска выражений для образов элементов , которые можно выразить в виде $T_{i}:G\to H_{i}/H_{i}'$ ${\tilde {T}}_{i}:G/G'\to H_{i}/H_{i}'$ ${\tilde {T}}_{i}(gG')$ $gG'\in G/G'$

g\equiv x^{j}y^{\ell }{\pmod {G'}},\qquad j,\ell \in \{-1,0,1\}.

Во-первых, мы максимально используем внешние переводы :

{\begin{aligned}x\notin H_{1}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{1}(xG')=x^{3}H_{1}'=s_{c}^{w}H_{1}'\\y\notin H_{2}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{2}(yG')=y^{3}H_{2}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}H_{2}'=1\cdot H_{2}'\\x,y\notin H_{3},H_{4}&\Rightarrow {\begin{cases}{\tilde {T}}_{i}(xG')=x^{3}H_{i}'=s_{c}^{w}H_{i}'=1\cdot H_{i}'\\{\tilde {T}}_{i}(yG')=y^{3}H_{i}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}H_{i}'=s_{3}^{2}H_{i}'\end{cases}}&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}

Далее мы рассматриваем неизбежные внутренние переходы , которые более сложны. Для этого воспользуемся полиномиальным тождеством

X^{2}+X+1=(X-1)^{2}+3(X-1)+3

чтобы получить:

{\begin{aligned}y\in H_{1}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{1}(yG')=y^{1+x+x^{2}}H_{1}'=y^{3+3(x-1)+(x-1)^{2}}H_{1}'=y^{3}\cdot [y,x]^{3}\cdot [[y,x],x]H_{1}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}s_{2}^{3}s_{3}H_{1}'=s_{2}^{3}s_{3}^{3}s_{4}s_{c}^{z}H_{1}'=s_{c}^{z}H_{1}'\\x\in H_{2}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{2}(xG')=x^{1+y+y^{2}}H_{2}'=x^{3+3(y-1)+(y-1)^{2}}H_{2}'=x^{3}\cdot [x,y]^{3}\cdot [[x,y],y]H_{2}'=s_{c}^{w}s_{2}^{-3}t_{3}^{-1}H_{2}'=t_{3}^{-1}H_{2}'\end{aligned}}

Наконец, объединяем результаты: обычно

{\tilde {T}}_{i}(gG')={\tilde {T}}_{i}(xG')^{j}{\tilde {T}}_{i}(yG')^{\ell },

и, в частности,

{\begin{aligned}{\tilde {T}}_{1}(gG')&=s_{c}^{wj+z\ell }H_{1}'\\{\tilde {T}}_{2}(gG')&=t_{3}^{-j}H_{2}'\\{\tilde {T}}_{i}(gG')&=s_{3}^{2\ell }H_{i}'&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}

Для определения ядер осталось решить уравнения:

{\begin{aligned}s_{c}^{wj+z\ell }H_{1}'=H_{1}'&\Rightarrow {\begin{cases}{\text{arbitrary }}j,\ell {\text{ and }}w=z=0\\\ell =0,{\text{arbitrary }}j{\text{ and }}w=0,z=\pm 1\\j=0,{\text{arbitrary }}\ell {\text{ and }}w=1,z=0\\j=\mp \ell ,w=1,z=\pm 1\end{cases}}\\t_{3}^{-j}H_{2}'=H_{2}'&\Rightarrow j=0{\text{ with arbitrary }}\ell \\s_{3}^{2\ell }H_{i}'=H_{i}'&\Rightarrow \ell =0{\text{ with arbitrary }}j&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}

Следующие эквиваленты для любых завершают обоснование утверждений: $1\leq i\leq 4$

$j,\ell$ оба произвольные . $\Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle x,y,G'\rangle =G\Leftrightarrow \varkappa (i)=0$
$j=0$ с произвольным , $\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle y,G'\rangle =H_{1}\Leftrightarrow \varkappa (i)=1$
$\ell =0$ с произвольным , $j\Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle x,G'\rangle =H_{2}\Leftrightarrow \varkappa (i)=2$
$j=\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle xy,G'\rangle =H_{3}\Leftrightarrow \varkappa (i)=3$ ,
$j=-\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle xy^{-1},G'\rangle =H_{4}\Leftrightarrow \varkappa (i)=4$

Следовательно, последние три компонента TKT не зависят от параметров, что означает, что и TTT, и TKT обнаруживают униполяризацию на первом компоненте. $w,z,$

Систематическая библиотека SDT [ править ]

Цель этого раздела - представить набор структурированных коклассовых деревьев (SCT) конечных p -групп с параметризованными представлениями и кратким обзором инвариантов. Базовое простое число ограничено небольшими значениями . Деревья расположены в соответствии с возрастающим коклассом и различными абелианизациями внутри каждого кокласса. Чтобы числа потомков оставались управляемыми, деревья обрезаются , удаляя вершины глубиной больше единицы. Кроме того, мы опускаем деревья, в которых критерии стабилизации обеспечивают общее TKT для всех вершин, поскольку мы больше не считаем такие деревья структурированными. В инварианты перечисленных включают $p$ $p\in \{2,3,5\}$ $r\geq 1$

предпериод и продолжительность периода,
глубина и ширина веток,
униполяризация, ТТТ и ТКТ,
$\sigma$ -группы.

Мы воздерживаемся от обоснования инвариантов, поскольку способ получения инвариантов из представлений был продемонстрирован в качестве примера в разделе о коммутаторном исчислении.

Рисунок 5: Структурированное дерево потомков 2-групп с коклассом 1.

Coclass 1 [ править ]

Для каждого простого числа уникальное дерево p -групп максимального класса снабжено информацией о TTT и TKT, то есть for for и for . В последнем случае дерево ограничивается метабелевыми -группами. $p\in \{2,3,5\}$ ${\mathcal {T}}^{1}(\langle 4,2\rangle )$ $p=2,{\mathcal {T}}^{1}(\langle 9,2\rangle )$ $p=3$ ${\mathcal {T}}^{1}(\langle 25,2\rangle )$ $p=5$ $5$

В -группах компонентного класса на рисунке-можно определить с помощью следующего параметризованных полициклических ПК-презентацию, совершенно отличной от представления Блэкберно. ^[10] $2$ $1$

2 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{2}=s_{c}^{w},\ y^{2}=s_{c}^{z},\ s_{j}^{2}=s_{j+1}s_{j+2}{\text{ for }}2\leq j\leq c-2,\ s_{c-1}^{2}=s_{c},\\&s_{2}=[y,x],\ s_{j}=[s_{j-1},x]=[s_{j-1},y]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где класс нильпотентности , порядок с , и являются параметрами. Ветви строго периодичны с предпериодом и длиной периода , имеют глубину и ширину . Поляризация возникает для третьего компонента, а TTT зависит только от циклического сигнала и с ним . TKT зависит от параметров и предназначен для вершин основной линии диэдра с , для терминальных групп обобщенных кватернионов с и для терминальных групп полудиэдра с . Есть два исключения: абелев корень с и и обычная группа кватернионов с и . $c\geq 3$ $2^{n}$ $n=c+1$ $w,z$ $1$ $1$ $1$ $3$ $\tau =[(1^{2}),(1^{2}),A(2,c)]$ $c$ $A(2,c)$ $\varkappa =(210)$ $w=z=0$ $\varkappa =(213)$ $w=z=1$ $\varkappa =(211)$ $w=1,z=0$ $\tau =[(1),(1),(1)]$ $\varkappa =(000)$ $\tau =[(2),(2),(2)]$ $\varkappa =(123)$

Рисунок 6: Структурированное дерево потомков 3-групп с коклассом 1.

В -групп компонентного класса на рисунке 6 могут быть определены с помощью следующих параметризованных полициклическую PC-презентации, немного отличается от представления Блэкберна. ^[10] $3$ $1$

3 ${\begin{aligned}G_{a}^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где класс нильпотентности , порядок с , и являются параметрами. Ветви строго периодичны с предпериодом и длиной периода , имеют глубину и ширину . Поляризация возникает для первого компонента, а TTT зависит только от и . TKT зависит от параметров и предназначен для вершин главной линии с, для конечных вершин с, для конечных вершин с , и для конечных вершин с . Существуют три исключения: абелев корень с , дополнительная специальная группа экспоненты с и и силовский $c\geq 5$ $3^{n}$ $n=c+1$ $a,w,z$ $2$ $2$ $1$ $7$ $\tau =[A(3,c-a),(1^{2}),(1^{2}),(1^{2})]$ $c$ $a$ $\varkappa =(0000)$ $a=w=z=0,\varkappa =(1000)$ $a=0,w=1,z=0,\varkappa =(2000)$ $a=w=0,z=\pm 1$ $\varkappa =(0000)$ $a=1,w\in \{-1,0,1\},z=0$ $\tau =[(1),(1),(1),(1)]$ $9$ $\tau =[(1^{2}),(2),(2),(2)]$ $\varkappa =(1111)$ $3$ -подгруппа знакопеременной группы с . Вершины основной линии и вершины на нечетных ветвях являются -группами. $A_{9}$ $\tau =[(1^{3}),(1^{2}),(1^{2}),(1^{2})]$ $\sigma$

Рисунок 7: Структурированное дерево потомков метабелевых 5-групп с коклассом 1.

В метабелевы -группах компонентного класса на рисунке 7 могут быть определены с помощью следующего параметризованного полициклической PC-презентацию, немного отличаются от представления Miech в. ^[21] $5$ $1$

4 ${\begin{aligned}G_{a}^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{5}=s_{c}^{w},\ y^{5}=s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где класс нильпотентности , порядок с , и являются параметрами. Ветви (метабелевы!) Строго периодичны с предпериодом и длиной периода , имеют глубину и ширину . (Ветви полного дерева, включая неметабелевы группы, только виртуально периодичны и имеют ограниченную ширину, но неограниченную глубину!) Поляризация происходит для первого компонента, и TTT зависит только от дефекта коммутативности . TKT зависит от параметров и предназначен для вершин основной линии с, для конечных вершин с, для конечных вершин с , и для вершин с $c\geq 3$ $5^{n}$ $n=c+1$ $a,w,z$ $3$ $4$ $3$ $67$ $\tau =[A(5,c-k),(1^{2})^{5}]$ $c$ $k$ $\varkappa =(0^{6})$ $a=w=z=0,\varkappa =(10^{5})$ $a=0,w=1,z=0,\varkappa =(20^{5})$ $a=w=0,z\neq 0$ $\varkappa =(0^{6})$ $a\neq 0$ . Существуют три исключения: абелев корень с , дополнительная специальная группа экспоненты с и и группа с . Вершины основной линии и вершины на нечетных ветвях являются -группами. $\tau =[(1)^{6}]$ $25$ $\tau =[(1^{2}),(2)^{5}]$ $\varkappa =(1^{6})$ $\langle 15625,631\rangle$ $\tau =[(1^{5}),(1^{2})^{5}]$ $\sigma$

Coclass 2 [ править ]

Абелианизация типа ( p , p ) [ править ]

Тройки CoClass деревья, , и для , наделены информацией относительно ТТЦ и ТКЦ. ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,40\rangle )$ $p=3$

Рисунок 8: Первое структурированное дерево потомков 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

На дереве , то -группы компонентного класса с бициклическим центром на рисунке 8 , могут быть определены с помощью следующего параметризованного полициклической PC-презентацию.^[11] ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$ $3$ $2$

5 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где класс нильпотентности , порядок с , и являются параметрами. Ветви строго периодичны с предпериодом и длиной периода , имеют глубину и ширину . Поляризация возникает для первого компонента, а TTT зависит только от . TKT зависит от параметров и предназначен для основных вершин с , для способных вершин с , для конечных вершин с и для конечных вершин с . Вершины главной линии и вершины четных ветвей являются -группами. $c\geq 5$ $3^{n}$ $n=c+2$ $w,z$ $2$ $2$ $3$ $18$ $\tau =[A(3,c),(1^{3}),(21),(21)]$ $c$ $\varkappa =(0122)$ $w=z=0$ $\varkappa =(2122)$ $w=0,z=\pm 1$ $\varkappa =(1122)$ $w=1,z=0$ $\varkappa =(3122)$ $w=1,z=\pm 1$ $\sigma$

Рисунок 9: Второе структурированное дерево потомков 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

На дереве , то -группы компонентного класса с бициклическим центром на рисунке 9 могут быть определены с помощью следующего параметризованного полициклической PC-презентацию.^[11] ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$ $3$ $2$

6 ${\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,t_{2},s_{3},t_{3},\ldots ,t_{c}\mid {}\\&y^{3}=s_{3}t_{c}^{w},\ x^{3}=t_{3}t_{4}^{2}t_{5}t_{c}^{z},\ t_{j}^{3}=t_{j+2}^{2}t_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ t_{c-2}^{3}=t_{c}^{2},\ s_{3}^{3}=1,\\&t_{2}=[y,x],\ s_{3}=[t_{2},x],\ t_{j}=[t_{j-1},y]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}$

где класс нильпотентности , порядок с , и являются параметрами. Ветви строго периодичны с предпериодом и длиной периода , имеют глубину и ширину . Поляризация возникает для второго компонента, и TTT зависит только от . TKT зависит от параметров и предназначен для основных вершин с , для способных вершин с , для конечных вершин с и для конечных вершин с . Вершины главной линии и вершины четных ветвей являются -группами. $c\geq 6$ $3^{n}$ $n=c+2$ $w,z$ $2$ $2$ $3$ $16$ $\tau =[(21),A(3,c),(21),(21)]$ $c$ $\varkappa =(2034)$ $w=z=0$ $\varkappa =(2134)$ $w=0,z=\pm 1$ $\varkappa =(2234)$ $w=1,z=0$ $\varkappa =(2334)$ $w=1,z=\pm 1$ $\sigma$

Абелианизация типа ( p ² , p ) [ править ]

${\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,3\rangle )$ и для , и для . ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,4\rangle )$ $p=2$ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,15\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,17\rangle )$ $p=3$

Абелианизация типа ( p , p , p ) [ править ]

${\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,11\rangle )$ для и для . $p=2$ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 81,12\rangle )$ $p=3$

Coclass 3 [ править ]

Абелианизация типа ( p ² , p ) [ править ]

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,13\rangle )$ , и для . ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,18\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,21\rangle )$ $p=3$

Абелианизация типа ( p , p , p ) [ править ]

${\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,35\rangle )$ и для , и для . ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,181\rangle )$ $p=2$ ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 243,38\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{3}(\langle 243,41\rangle )$ $p=3$

Рисунок 10: Минимальные дискриминанты для первого ASCT 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Арифметические приложения [ править ]

В алгебраической теории чисел и теории полей классов структурированные деревья потомков (SDT) конечных p -групп предоставляют отличный инструмент для

визуализация расположения различных неабелевых p -групп, связанных с полями алгебраических чисел , $G(K)$ $K$
отображение дополнительной информации о группах в метках, прикрепленных к соответствующим вершинам, и $G(K)$
подчеркивая периодичность появления групп на ветвях коклассовых деревьев. $G(K)$

Например, пусть будет простым числом, и предположим, что это обозначает второе гильбертово поле p -класса поля алгебраических чисел , то есть максимальное метабелево неразветвленное расширение степени степени . Затем второго P -class группы из обычно неабелев р -группа , полученная длиной и часто позволяет сделать выводы о всем р -class поля башни из , которая является группой Галуа максимального неразветвленного про- р расширения из . $p$ $F_{p}^{2}(K)$ $K$ $K$ $p$ $G_{p}^{2}(K)=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)|K)$ $K$ $2$ $K$ $G_{p}^{\infty }(K)=\mathrm {Gal} (F_{p}^{\infty }(K)|K)$ $F_{p}^{\infty }(K)$ $K$

Дана последовательность полей алгебраических чисел с фиксированной сигнатурой , упорядоченная по абсолютным значениям их дискриминантов , подходящее структурированное коклассовое дерево (SCT) или также конечная спорадическая часть графа кокласса , вершины которого полностью или частично реализуются вторым p -класс группы полей будет наделен дополнительной арифметической структурой , когда каждый понял вершину , соотв. , отображается в данные, касающиеся полей, таких что . $K$ $(r_{1},r_{2})$ $d=d(K)$ ${\mathcal {T}}$ ${\mathcal {G}}_{0}(p,r)$ ${\mathcal {G}}(p,r)$ $G_{p}^{2}(K)$ $K$ $V\in {\mathcal {T}}$ $V\in {\mathcal {G}}_{0}(p,r)$ $K$ $V=G_{p}^{2}(K)$

Рисунок 11: Минимальные дискриминанты для второго ASCT 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Пример [ править ]

Чтобы быть конкретным, давайте рассмотрим сложные квадратичные поля с фиксированной сигнатурой, имеющие группы классов с инвариантами типов . См. OEIS A242863 [1] . Их группы второго класса были определены Д. К. Майером ^[17] для диапазона и совсем недавно Н. Бостоном, М. Р. Бушем и Ф. Хаджиром ^[22] для расширенного диапазона . $p=3$ $K(d)=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ $(0,1)$ $3$ $(3,3)$ $3$ $G_{3}^{2}(K)$ $-10^{6}<d<0$ $-10^{8}<d<0$

Давайте во - первых , выбрать два структурированные CoClass дерев (SCTS) и , которые , как известны из фиг.8 и 9 уже, и наделяют эти дерева с дополнительной арифметической структурой , окружая реализованную вершину с кругом и прикреплением смежного подчеркнутого целого числа полужирного , который дает минимальный абсолютный дискриминант такой, что реализует группа второго класса . Затем мы получаем арифметически структурированные коклассовые деревья (ASCT) на рисунках 10 и 11, которые, в частности, дают представление о реальном распределении групп второго класса. ^[11] См. OEIS A242878 [2] . ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$ ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$ $V$ $\min\{|d|\mid V=G_{3}^{2}(K(d))\}$ $V$ $3$ $G_{3}^{2}(K(d))$ $3$

Таблица 2: Минимальные абсолютные дискриминанты для состояний шести последовательностей
Состояние $\uparrow ^{n}$	TKT E.14 $\varkappa =(3122)$	TKT E.6 $\varkappa =(1122)$	ТКТ H.4 $\varkappa =(2122)$	TKT E.9 $\varkappa =(2334)$	TKT E.8 $\varkappa =(2234)$	ТКТ G.16 $\varkappa =(2134)$
GS $\uparrow ^{0}$	$16627$	$15544$	$21668$	$9748$	$34867$	$17131$
ES1 $\uparrow ^{1}$	$262744$	$268040$	$446788$	$297079$	$370740$	$819743$
ES2 $\uparrow ^{2}$	$4776071$	$1062708$	$3843907$	$1088808$	$4087295$	$2244399$
ES3 $\uparrow ^{3}$	$40059363$	$27629107$	$52505588$	$11091140$	$19027947$	$30224744$
ES4 $\uparrow ^{4}$				$94880548$

Что касается периодичности появления групп второго класса комплексных квадратичных полей, то было доказано ^[17], что только любая другая ветвь деревьев на рисунках 10 и 11 может быть заселена этими метабелевыми -группами и что распределение устанавливается с основное состояние (GS) на ветви и продолжается более высокими возбужденными состояниями (ES) на ветвях с четным . В основе этого явления периодичности лежат три последовательности с фиксированными TKT ^[16]. $3$ $G_{3}^{2}(K(d))$ $3$ ${\mathcal {B}}(6)$ ${\mathcal {B}}(j)$ $j\geq 8$

E.14 , OEIS A247693 [3] , $\varkappa =(3122)$
E.6 , OEIS A247692 [4] , $\varkappa =(1122)$
H.4 , OEIS A247694 [5] $\varkappa =(2122)$

на ASCT и тремя последовательностями с фиксированными TKT ^[16] ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )$

E.9 , OEIS A247696 [6] , $\varkappa =(2334)$
E.8 , OEIS A247695 [7] , $\varkappa =(2234)$
G.16 , OEIS A247697 [8] $\varkappa =(2134)$

на ASCT . До сих пор ^[22] для каждой из шести последовательностей известны основное состояние и три возбужденных состояния , а для TKT E.9 уже произошло четвертое возбужденное состояние . Минимальные абсолютные дискриминанты различных состояний каждой из шести периодических последовательностей представлены в таблице 2. Данные для основных состояний (GS) и первых возбужденных состояний (ES1) были взяты из DC Mayer, ^[17] самая последняя информация на втором, третьем и четвертом возбужденных состояниях (ES2, ES3, ES4) принадлежит Н. Бостону, М. Р. Бушу и Ф. Хаджиру.^[22] ${\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )$ $\varkappa =(2334)$

Рисунок 12: Частота спорадических 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Таблица 3: Абсолютные и относительные частоты четырех спорадических групп $3$
$\|d\|$ <	Общий $\#$	ТКТ Д.10 $\varkappa =(3144)$ $\tau =[(21)(1^{3})(21)(21)]$ $G=\langle 243,5\rangle$	ТКТ Д.5 $\varkappa =(1133)$ $\tau =[(21)(1^{3})(21)(1^{3})]$ $G=\langle 243,7\rangle$	ТКТ H.4 $\varkappa =(4111)$ $\tau =[(1^{3})(1^{3})(1^{3})(21)]$ $G=\langle 729,45\rangle$	ТКТ G.19 $\varkappa =(2143)$ $\tau =[(21)(21)(21)(21)]$ $G=\langle 729,57\rangle$
$b=10^{6}$	$2020$	$667\ (33.0\%)$	$269\ (13.3\%)$	$297\ (14.7\%)$	$94\ (4.7\%)$
$b=10^{7}$	$24476$	$7622\ (31.14\%)$	$3625\ (14.81\%)$	$3619\ (14.79\%)$	$1019\ (4.163\%)$
$b=10^{8}$	$276375$	$83353\ (30.159\%)$	$41398\ (14.979\%)$	$40968\ (14.823\%)$	$10426\ (3.7724\%)$

Напротив, давайте во-вторых, выберем спорадическую часть коклассового графа, чтобы продемонстрировать, что другой способ присоединения дополнительной арифметической структуры к дочерним деревьям - это отображение счетчика совпадений реализованной вершины группой полей второго класса с абсолютными дискриминантами ниже заданная верхняя граница , например . Относительно общего счетчика всех комплексных квадратичных полей с группой типа и дискриминанта -класса это дает относительную частоту как приближение к асимптотической плотности ${\mathcal {G}}_{0}(3,2)$ ${\mathcal {G}}(3,2)$ $\#\{|d|<b\mid V=G_{3}^{2}(K(d))\}$ $V$ $3$ $G_{3}^{2}(K(d))$ $b$ $b=10^{8}$ $276375$ $3$ $(3,3)$ $-b<d<0$ населения на рисунке 12 и в таблице 3. Ровно через четыре вершины конечной спорадическую части из заполняются вторыми -Class групп : ${\mathcal {G}}_{0}(3,2)$ ${\mathcal {G}}(3,2)$ $3$ $G_{3}^{2}(K(d))$

$\langle 243,5\rangle$ , OEIS A247689 [9] ,
$\langle 243,7\rangle$ , OEIS A247690 [10] ,
$\langle 729,45\rangle$ , OEIS A242873 [11] ,
$\langle 729,57\rangle$ , OEIS A247688 [12] .

Рисунок 13: Минимальные абсолютные дискриминанты спорадических 3-групп с коклассом 2 и абелианизацией (3,3).

Рисунок 14: Минимальные абсолютные дискриминанты спорадических 5-групп с коклассом 2 и абелианизацией (5,5).

Рисунок 15: Минимальные абсолютные дискриминанты спорадических 7-групп с коклассом 2 и абелианизацией (7,7).

Сравнение различных простых чисел [ править ]

Теперь рассмотрим комплексные квадратичные поля с фиксированной сигнатурой и группы типа p -класса . Доминирующая часть второго р -класса групп этих полей населяет верхние вершины порядка спорадических частей из CoClass графа , которые принадлежат к стеблу П. Холла isoclinism семьи , или их непосредственных потомки порядка . Для простых чисел основа состоит из регулярных p -групп и обнаруживает довольно однородное поведение по отношению к TKT и TTT, но семь -групп в основе являются $p\in \{3,5,7\}$ $K(d)=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ $(0,1)$ $(p,p)$ $p^{5}$ ${\mathcal {G}}_{0}(p,2)$ ${\mathcal {G}}(p,2)$ $\Phi _{6}$ $p^{6}$ $p>3$ $\Phi _{6}$ $p+7$ $3$ $\Phi _{6}$ нерегулярный . Подчеркнем, что также существует несколько ( для и для ) бесконечно способных вершин, в стволе которых частично являются корнями коклассовых деревьев. Однако здесь мы сосредотачиваемся на спорадических вершинах, которые являются либо изолированными -группами Шура ( для и для ), либо корнями конечных деревьев внутри ( для каждой ). Действительно , TKT -групп Шура - это перестановка , циклическое разложение которой не содержит транспозиций, тогда как TKT корней конечных деревьев - это композиция непересекающихся транспозиций, имеющих четное число ( $3$ $p=3$ $4$ $p>3$ $\Phi _{6}$ $\sigma$ $2$ $p=3$ $p+1$ $p>3$ ${\mathcal {G}}_{0}(p,2)$ $2$ $p\geq 3$ $p>3$ $\sigma$ $0$ или ) неподвижных точек. $2$

Мы наделяем лес (конечное объединение деревьев-потомков) дополнительной арифметической структурой , прикрепляя минимальный абсолютный дискриминант к каждой реализованной вершине . Результирующий структурированный спорадический коклассовый граф показан на рисунке 13 для , на рисунке 14 для и на рисунке 15 для . ${\mathcal {G}}_{0}(p,2)$ $\min\{|d|\mid V=G_{p}^{2}(K(d))\}$ $V\in {\mathcal {G}}_{0}(p,2)$ $p=3$ $p=5$ $p=7$

Ссылки [ править ]

^ Б с д е е г ч я Юппер, B. (1979). Endliche Gruppen я . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 134, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York.
^ a b c d e Шур, I. (1902). "Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen". Sitzungsb. Preuss. Акад. Wiss. : 1013–1019.
^ a b c d Артин, Э. (1929). «Idealklassen в Оберкёрперн и allgemeines Reziprozitätsgesetz». Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург . 7 : 46–51. DOI : 10.1007 / BF02941159 . S2CID 121475651 .
^ а б в г Айзекс, И. М. (2008). Теория конечных групп . Аспирантура по математике, Vol. 92, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.
^ а б в г Горенштейн, Д. (2012). Конечные группы . AMS Chelsea Publishing, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.
^ Хассе, Х. (1930). "Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper. Teil II: Reziprozitätsgesetz". Яхресбер. Deutsch. Математика. Verein., Ergänzungsband . 6 : 1–204.
^ a b c d Холл М., мл. (1999). Теория групп . AMS Chelsea Publishing, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.
^ a b c Ашбахер, М. (1986). Теория конечных групп . Кембриджские исследования по высшей математике, Vol. 10, Cambridge University Press.
^ a b c Смит, G .; Табачникова, О. (2000). Разделы теории групп . Springer Undergraduate Mathematics Series (SUMS), Springer-Verlag, Лондон.
^ a b c Блэкберн, Н. (1958). «Об особом классе p -групп» . Acta Math . 100 (1–2): 45–92. DOI : 10.1007 / bf02559602 .
^ Б с д е е Mayer, DC (2013). «Распределение групп второго p -класса на коклассовых графах». J. Théor. Nombres Bordeaux . 25 (2): 401–456. arXiv : 1403,3833 . DOI : 10,5802 / jtnb.842 . S2CID 62897311 .
^ Чанг, SM; Фут, Р. (1980). «Капитуляция в расширениях поля класса типа ( p , p )» . Может. J. Math . 32 (5): 1229–1243. DOI : 10,4153 / CJM-1980-091-9 .
^ Besche, HU; Эйк, В .; О'Брайен, EA (2005). Библиотека SmallGroups - это библиотека небольших групп . Принятый и рецензированный пакет GAP 4, доступный также в MAGMA.
^ Besche, HU; Эйк, В .; О'Брайен, EA (2002). «Проект тысячелетия: построение малых групп». Int. J. Algebra Comput . 12 (5): 623–644. DOI : 10.1142 / s0218196702001115 .
^ a b c d Буш, MR; Майер, округ Колумбия (2015). «3-х классные полевые вышки точной длины 3». J. Теория чисел . 147 : 766–777 (препринт: arXiv: 1312.0251 [math.NT], 2013). arXiv : 1312.0251 . DOI : 10.1016 / j.jnt.2014.08.010 . S2CID 119147524 .
^ а б в г д Майер, округ Колумбия (2012). «Переносы метабелевых p -групп». Монатш. Математика . 166 (3–4): 467–495. arXiv : 1403,3896 . DOI : 10.1007 / s00605-010-0277-х . S2CID 119167919 .
^ Б с д е е г Mayer, DC (2012). «Вторая p -классовая группа числового поля». Int. J. Теория чисел . 8 (2): 471–505. arXiv : 1403,3899 . DOI : 10,1142 / s179304211250025x . S2CID 119332361 .
^ Scholz, A .; Таусский, О. (1934). "Die Hautileale der kubischen Klassenkörper imaginär quadratischer Zahlkörper: ihre rechnerische Bestimmung und ihr Einfluß auf den Klassenkörperturm". J. Reine Angew. Математика . 171 : 19–41.
Перейти ↑ Newman, MF (1977). Определение групп степенного порядка простых чисел . С. 73-84, в: Теория групп, Канберра, 1975, Конспект лекций по математике, т. 573, Шпрингер, Берлин.
Перейти ↑ O'Brien, EA (1990). « Алгоритм генерации p- группы». J. Symbolic Comput . 9 (5–6): 677–698. DOI : 10.1016 / s0747-7171 (08) 80082-X .
^ Miech, RJ (1970). «Метабелевы p -группы максимального класса» . Пер. Амер. Математика. Soc . 152 (2): 331–373. DOI : 10.1090 / s0002-9947-1970-0276343-7 .
^ a b c Бостон, штат Нью-Йорк; Буш, MR; Хаджир, Ф. (2015). «Эвристика для башен p- класса мнимых квадратичных полей». Математика. Энн . arXiv : 1111.4679 .

[Hp-1] Б с д е е г ч я Юппер, B. (1979). Endliche Gruppen я . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 134, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York.

[Su-2] Шур, I. (1902). "Neuer Beweis eines Satzes über endliche Gruppen". Sitzungsb. Preuss. Акад. Wiss. : 1013–1019.

[Ar2-3] Артин, Э. (1929). «Idealklassen в Оберкёрперн и allgemeines Reziprozitätsgesetz». Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург . 7 : 46–51. DOI : 10.1007 / BF02941159 . S2CID 121475651 .

[Is-4] а б в г Айзекс, И. М. (2008). Теория конечных групп . Аспирантура по математике, Vol. 92, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.

[Go-5] а б в г Горенштейн, Д. (2012). Конечные группы . AMS Chelsea Publishing, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.

[Ha-6] Хассе, Х. (1930). "Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper. Teil II: Reziprozitätsgesetz". Яхресбер. Deutsch. Математика. Verein., Ergänzungsband . 6 : 1–204.

[Hl-7] Холл М., мл. (1999). Теория групп . AMS Chelsea Publishing, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.

[Ab-8] Ашбахер, М. (1986). Теория конечных групп . Кембриджские исследования по высшей математике, Vol. 10, Cambridge University Press.

[SmTb-9] Смит, G .; Табачникова, О. (2000). Разделы теории групп . Springer Undergraduate Mathematics Series (SUMS), Springer-Verlag, Лондон.

[Bl-10] Блэкберн, Н. (1958). «Об особом классе p -групп» . Acta Math . 100 (1–2): 45–92. DOI : 10.1007 / bf02559602 .

[Ma-11] Б с д е е Mayer, DC (2013). «Распределение групп второго p -класса на коклассовых графах». J. Théor. Nombres Bordeaux . 25 (2): 401–456. arXiv : 1403,3833 . DOI : 10,5802 / jtnb.842 . S2CID 62897311 .

[CgFt-12] Чанг, SM; Фут, Р. (1980). «Капитуляция в расширениях поля класса типа ( p , p )» . Может. J. Math . 32 (5): 1229–1243. DOI : 10,4153 / CJM-1980-091-9 .

[BEO-13] Besche, HU; Эйк, В .; О'Брайен, EA (2005). Библиотека SmallGroups - это библиотека небольших групп . Принятый и рецензированный пакет GAP 4, доступный также в MAGMA.

[BEO2-14] Besche, HU; Эйк, В .; О'Брайен, EA (2002). «Проект тысячелетия: построение малых групп». Int. J. Algebra Comput . 12 (5): 623–644. DOI : 10.1142 / s0218196702001115 .

[BuMa-15] Буш, MR; Майер, округ Колумбия (2015). «3-х классные полевые вышки точной длины 3». J. Теория чисел . 147 : 766–777 (препринт: arXiv: 1312.0251 [math.NT], 2013). arXiv : 1312.0251 . DOI : 10.1016 / j.jnt.2014.08.010 . S2CID 119147524 .

[Ma2-16] а б в г д Майер, округ Колумбия (2012). «Переносы метабелевых p -групп». Монатш. Математика . 166 (3–4): 467–495. arXiv : 1403,3896 . DOI : 10.1007 / s00605-010-0277-х . S2CID 119167919 .

[Ma1-17] Б с д е е г Mayer, DC (2012). «Вторая p -классовая группа числового поля». Int. J. Теория чисел . 8 (2): 471–505. arXiv : 1403,3899 . DOI : 10,1142 / s179304211250025x . S2CID 119332361 .

[SoTa-18] Scholz, A .; Таусский, О. (1934). "Die Hautileale der kubischen Klassenkörper imaginär quadratischer Zahlkörper: ihre rechnerische Bestimmung und ihr Einfluß auf den Klassenkörperturm". J. Reine Angew. Математика . 171 : 19–41.

[Nm2-19] Перейти ↑ Newman, MF (1977). Определение групп степенного порядка простых чисел . С. 73-84, в: Теория групп, Канберра, 1975, Конспект лекций по математике, т. 573, Шпрингер, Берлин.

[Ob-20] Перейти ↑ O'Brien, EA (1990). « Алгоритм генерации p- группы». J. Symbolic Comput . 9 (5–6): 677–698. DOI : 10.1016 / s0747-7171 (08) 80082-X .

[Mi-21] Miech, RJ (1970). «Метабелевы p -группы максимального класса» . Пер. Амер. Математика. Soc . 152 (2): 331–373. DOI : 10.1090 / s0002-9947-1970-0276343-7 .

[BBH-22] Бостон, штат Нью-Йорк; Буш, MR; Хаджир, Ф. (2015). «Эвристика для башен p- класса мнимых квадратичных полей». Математика. Энн . arXiv : 1111.4679 .

Перенос Артина (теория групп)

Трансверсалии подгруппы [ править ]

Представление перестановки [ править ]

Перенос Артина [ править ]

Независимость поперечной [ править ]

Переносы Артина как гомоморфизмы [ править ]

Сплетение H и S ( n ) [ править ]

Состав переводов Артина [ править ]

Сплетение S ( m ) и S ( n ) [ править ]

Разложение цикла [ править ]

Переход в нормальную подгруппу [ править ]

Вычислительная реализация [ править ]

Абелианизация типа ( p , p ) [ править ]

Абелианизация типа ( p 2 , p ) [ править ]

Перенести ядра и цели [ править ]

Абелианизация типа ( p , p ) [ править ]

Абелианизация типа ( p 2 , p ) [ править ]

Первый слой [ править ]

Второй слой [ править ]

Перенести тип ядра [ править ]

Связи между слоями [ править ]

Наследование от частных [ править ]

Прохождение абелианизации [ править ]

Синглеты ТТТ [ править ]

Сингулеты ТКТ [ править ]

Мультиплеты ТТТ и ТКТ [ править ]

Унаследованные автоморфизмы [ править ]

Критерии стабилизации [ править ]

Структурированные деревья потомков (SDT) [ править ]

Распознавание образов [ править ]

Исторический пример [ править ]

Коммутаторное исчисление [ править ]

Систематическая библиотека SDT [ править ]

Coclass 1 [ править ]

Coclass 2 [ править ]

Абелианизация типа ( p , p ) [ править ]

Абелианизация типа ( p 2 , p ) [ править ]

Абелианизация типа ( p , p , p ) [ править ]

Coclass 3 [ править ]

Абелианизация типа ( p 2 , p ) [ править ]

Абелианизация типа ( p , p , p ) [ править ]

Арифметические приложения [ править ]

Пример [ править ]

Сравнение различных простых чисел [ править ]

Ссылки [ править ]

Абелианизация типа ( p ² , p ) [ править ]

Абелианизация типа ( p ² , p ) [ править ]

Абелианизация типа ( p ² , p ) [ править ]

Абелианизация типа ( p ² , p ) [ править ]