Дерево потомков (теория групп)

В математике, в частности в теории групп , дерево потомков представляет собой иерархическую структуру, которая визуализирует отношения родитель-потомок между классами изоморфизма конечных групп с порядком мощности простых чисел для фиксированного простого числа и различных целочисленных показателей . Такие группы кратко называются конечными p-группами . В вершинах из более потомка дерев являются классами изоморфизма конечных р - групп.${\ displaystyle p ^ {n}}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle п \ geq 0}$

В дополнение к своему порядку конечные p -группы имеют еще два связанных инварианта: класс нильпотентности и кокласс . Оказалось, что деревья-потомки определенного вида, так называемые обрезанные коклассовые деревья , бесконечное множество вершин которых имеют общий кокласс , обнаруживают повторяющийся конечный образец. Эти два важнейших свойства конечности и периодичности допускают характеризацию всех членов дерева конечным числом параметризованных представлений . Следовательно, деревья-потомки играют фундаментальную роль в классификации конечных p -групп. С помощью ядер и мишеней${\ displaystyle p ^ {n}}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle r = nc}$${\ displaystyle r}$Гомоморфизмы переноса Артина , деревья-потомки могут быть наделены дополнительной структурой.

Важный вопрос заключается в том, как на самом деле можно построить дерево потомков для назначенной начальной группы, которая берется в качестве корня дерева. В P -группы алгоритм генерации рекурсивный процесс для построения потомка дерева заданного конечного р -группа играет роль корня дерева. Этот алгоритм реализован в системах вычислительной алгебры GAP и Magma .${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (R)}$ ${\ displaystyle R}$

Определения и терминология [ править ]

Согласно М. Ф. Ньюману ^[1] существует несколько различных определений родителя конечной p -группы . Общий принцип заключается в формировании частного от подходящей нормальной подгруппы , которые могут быть либо${\ Displaystyle \ pi (G)}$${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ pi (G) = G / N}$${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle N \ треугольникleft G}$

п

1. центр из , откуда называется центральным фактором из , или${\ Displaystyle N = \ zeta _ {1} (G)}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ pi (G) = G / \ zeta _ {1} (G)}$${\ displaystyle G}$
2. последний ненулевой член из нижнего центрального ряда из , где обозначает класс нильпотентности , или${\ Displaystyle N = \ гамма _ {с} (G)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle G}$
3. последний ненулевой член из нижней exponent- р центрального ряда из , где обозначает exponent- р класс , или${\ Displaystyle N = P_ {c-1} (G)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle G}$
4. последний ненулевой член из производных серии из , где обозначает производную длину .${\ Displaystyle N = G ^ {(d-1)}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle G}$

В каждом случае называется непосредственным потомком из и направленное ребро дерева определяется либо в направлении канонической проекции на фактор , или в направлении , противоположном, которая является более обычным для потомков деревьев. Первая конвенция принята CR Leedham-Green и MF Newman ^[2] M. du Sautoy и D. Segal ^[3] CR Leedham-Green и S. McKay, ^[4] и B. Eick, CR Лидхэм-Грин, М. Ф. Ньюман и Е. А. О'Брайен. ^[5] Последнее определение используется MF Newman, ^[1] MF Newman и EA O'Brien,${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ pi (G)}$${\ Displaystyle G \ к \ pi (G)}$ ${\ displaystyle \ pi: G \ to \ pi (G)}$${\ Displaystyle \ pi (G) = G / N}$${\displaystyle \pi (G)\to G}$^[6] M. du Sautoy, ^[7] и B. Eick и CR Leedham-Green. ^[8]

Далее направление канонических проекций выбирается для всех ребер. Затем, в более общем случае , вершина является потомком вершины , и является предком из , если либо равно или есть путь${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle (1)\qquad R=Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{m-1}\to Q_{m}=P}$, с ,${\displaystyle m\geq 1}$

направленных краев от до . Вершины , образующие путь обязательно совпадает с итерировать родителями в , с :${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q_{j}=\pi ^{j}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle 0\leq j\leq m}$

${\displaystyle (2)\qquad R=\pi ^{0}(R)\to \pi ^{1}(R)\to \cdots \to \pi ^{m-1}(R)\to \pi ^{m}(R)=P}$, с ,${\displaystyle m\geq 1}$

В наиболее важном частном случае (P2) родители определяются как последние нетривиальными нижние центральные дроби, их также можно рассматривать как последовательные дроби класса из когда нильпотентности дается :${\displaystyle R/\gamma _{c+1-j}(R)}$ ${\displaystyle c-j}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle c\geq m}$

${\displaystyle (3)\qquad R\simeq R/\gamma _{c+1}(R)\to R/\gamma _{c}(R)\to \cdots \to R/\gamma _{c+2-m}(R)\to R/\gamma _{c+1-m}(R)\simeq P}$, с .${\displaystyle c\geq m\geq 1}$

Обычно дерево потомков вершины является поддеревом всех потомков вершины , начиная с корня . Максимально возможное дерево потомков тривиальной группы содержит все конечные p -группы и является в некоторой степени исключительным, поскольку для любого родительского определения (P1 – P4) тривиальная группа имеет бесконечно много абелевых p -групп в качестве своих непосредственных потомков. Родительские определения (P2 – P3) имеют то преимущество, что любая нетривиальная конечная p -группа (порядка, делимого на ) имеет только конечное число непосредственных потомков.${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$

Про- р группы и CoClass деревья [ править ]

Для правильного понимания CoClass дерев как конкретный экземпляр потомка дерев, необходимо суммировать некоторые факты , касающиеся бесконечных топологической про- р группы . Члены , с , нижнего центрального ряд про- р групп закрыты (и открытая) подгруппы конечного индекса, и , следовательно , соответствующие факторы являются конечным р -группой. Про- р группа называется из компонентного класса , когда предел от компонентного класса последовательных дробей существует и конечно. Бесконечная про- р группа из компонентного класса является${\displaystyle \gamma _{j}(S)}$${\displaystyle j\geq 1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S/\gamma _{j}(S)}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {cc} (S)=r}$${\displaystyle r=\lim _{j\to \infty }\,\mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r}$р -адическая предварительно пространственная группа , ^[5] , так как он имеет нормальную подгруппу , в группу перевода , которая является свободным модулем над кольцом из р -адических целых чисел однозначно определяются ранг , в размерности , такие , что фактор является конечным p -группа, точечная группа , действующая однорядно . Размер определяется как${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle P=S/T}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle (4)\qquad d=(p-1)p^{s}}$, с некоторыми .${\displaystyle 0\leq s<r}$

Центральная конечность результат для бесконечных про- р групп компонентного класса обеспечивается с помощью так называемой теоремы D , который является одним из пяти CoClass теорем , доказанных в 1994 году независимо друг от друга А. Шалев ^[9] и CR-Leedham Green, ^{[10 ]} и предположили еще в 1980 г. Ч. Р. Лидхэм-Грин и М. Ф. Ньюман. ^[2] теорема D утверждает , что существует лишь конечное число классов изоморфизма бесконечных про- р групп компонентного класса , для любого фиксированного простого и любого фиксированного целого неотрицательного . Как следствие, если бесконечная про- р группа компонентного класса${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r}$, то существует минимальное целое число такое, что для любого целого выполняются следующие три условия .${\displaystyle i\geq 1}$${\displaystyle j\geq i}$

S

1. ${\displaystyle \mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))=r}$,
2. ${\displaystyle S/\gamma _{j}(S)}$это не нижний центральный фактор любого бесконечного про- р группы компонентного класса , которая не изоморфна ,${\displaystyle r}$${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \gamma _{j}/\gamma _{j+1}(S)}$цикличен по порядку .${\displaystyle p}$

Потомок дерево , по отношению к родительскому определению (P2), корень с минимальным называется CoClass деревом из и его единственных максимальных бесконечных (обращенно-направленного) пути${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$${\displaystyle R=S/\gamma _{i}(S)}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(S)}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle (5)\qquad R=S/\gamma _{i}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+1}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+2}(S)\leftarrow \cdots }$

называется основной веткой (или стволом ) дерева.

Древовидная диаграмма [ править ]

Дополнительная терминология, используемая в диаграммах, визуализирующих конечные части дочерних деревьев, поясняется на рисунке 1 с помощью искусственного абстрактного дерева. Слева уровень указывает на базовый нисходящий дизайн дочернего дерева. Для бетонных деревьев, таких как изображенные на рис. 2, соотв. На рисунке 3 и т. Д. Уровень обычно заменяется шкалой заказов, возрастающей сверху вниз. Вершина является способной (или расширяемой ), если у нее есть хотя бы один непосредственный потомок, в противном случае она является конечной (или листовой ). Вершины, имеющие общего родителя, называются братьями и сестрами .

Если дерево-потомок является коклассовым деревом с корнем и вершинами основной линии, помеченными в соответствии с уровнем , то конечное поддерево, определенное как разностное множество${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$${\displaystyle R=R_{0}}$${\displaystyle (R_{n})_{n\geq 0}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle (6)\qquad {\mathcal {B}}(n)={\mathcal {T}}(R_{n})\setminus {\mathcal {T}}(R_{n+1})}$

называется п - й ветви (или ветка ) дерева или же на ветви с корнем , для любого . Глубина филиала является максимальной длиной путей , соединяющих его вершину с корнем. На рисунке 1 показан искусственный абстрактные CoClass дерево, ветви которого и оба имеют глубину , а ветви и попарно изоморфны в виде графиков. Если все вершины с глубиной больше заданного целого числа удалены из ветви , то мы получим ветвь с сокращенной глубиной . Соответственно, коклассовое дерево с обрезкой по глубине , соотв. все коклассовое дерево${\displaystyle {\mathcal {B}}(R_{n})}$ ${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(2)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(4)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(5)\simeq {\mathcal {B}}(7)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(6)\simeq {\mathcal {B}}(8)}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(n)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{k}(n)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{k}(R)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$, состоит из бесконечной последовательности его обрезанных ветвей , соответственно. ветви , соединенные основной линией, вершины которых называются бесконечно способными .${\displaystyle ({\mathcal {B}}_{k}(n))_{n\geq 0}}$${\displaystyle ({\mathcal {B}}(n))_{n\geq 0}}$${\displaystyle R_{n}}$

Виртуальная периодичность [ править ]

Периодичность ветвей коклассовых деревьев с усеченной глубиной была доказана аналитическими методами с использованием дзета-функций ^[3] групп М. дю Сотуа ^[7] и алгебраическими методами с использованием групп когомологий Б. Эйка и К. Р. Лидхэма-Грина. ^[8] Первые методы допускают качественное понимание предельной виртуальной периодичности , вторые методы определяют количественную структуру.

Теорема. Для любого бесконечного про- р группы из компонентного класса и размера , а также для любой заданной глубины , существует эффективный минимальный нижняя граница , где периодичность длиной в обрезке ветвей деревьев CoClass множеств, то есть существуют изоморфизмы графов${\displaystyle S}$${\displaystyle r\geq 1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle f(k)\geq 1}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(S)}$

${\displaystyle (7)\qquad {\mathcal {B}}_{k}(n+d)\simeq {\mathcal {B}}_{k}(n)}$для всех .${\displaystyle n\geq f(k)}$

Для доказательства нажмите « Показать» справа.

Эти центральные результаты могут быть выражены наглядно: если мы смотрим на коклассовое дерево через пару шор и игнорируем конечное число предпериодических ветвей наверху, то мы увидим повторяющийся конечный паттерн ( предельная периодичность). Однако, если мы возьмем более широкие шоры, предпериодический начальный участок может стать длиннее ( виртуальная периодичность).

Вершина называется периодическим корнем сокращенного коклассового дерева для фиксированного значения глубины . См. Рисунок 1.${\displaystyle P=R_{f(k)}}$${\displaystyle k}$

Мультифуркационные и коклассовые графы [ править ]

Предположим, что родители конечных p -групп определены как последние нетривиальные нижние центральные факторы (P2). Для p -группы кокласса мы можем выделить ее (все) дерево потомков и его кокласс - дерево потомков , то есть поддерево, состоящее только из потомков кокласса . Группа называется коклассовой, если , т. Е. Не существует потомков с большим коклассом, чем .${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {cc} (G)=r}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r}(G)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}^{r}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r}$

Ядерная ранг из теории в р -группа алгоритма генерации М.Ф. Ньюмен ^[11] и Е. А. О'Брайен ^[12] обеспечивает следующие критерии.${\displaystyle \nu (G)}$${\displaystyle G}$

N

1. ${\displaystyle G}$является терминальным и, таким образом, тривиально определенным в коклассе тогда и только тогда, когда .${\displaystyle \nu (G)=0}$
2. Если , то возможно, но остается неизвестным, установлен ли кокласс.${\displaystyle \nu (G)=1}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$
3. Если , то можно и определенно не по классу.${\displaystyle \nu (G)=m\geq 2}$${\displaystyle G}$

В последнем случае, более точное утверждение можно: Если есть компонентный класс и ядерный ранг , то это приводит к появлению м кратного multifurcation в регулярный coclass- г потомка дерево и нерегулярные потомки граф из компонентного класса , для . Следовательно, дерево-потомок является несвязным объединением${\displaystyle G}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \nu (G)=m\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r}(G)}$${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r+j}(G)}$${\displaystyle r+j}$${\displaystyle 1\leq j\leq m-1}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle (8)\qquad {\mathcal {T}}(G)={\dot {\cup }}_{j=0}^{m-1}\,{\mathcal {T}}^{r+j}(G)}$.

Мультифуркация коррелирует с разными порядками последнего нетривиального нижнего центра прямых потомков. Поскольку класс нильпотентности увеличивается ровно на единицу от родителя до любого непосредственного потомка , кокласс остается устойчивым, если последний нетривиальный нижний центр является циклическим порядка , так как тогда показатель порядка также увеличивается точно на блок, . В этом случае, является регулярным непосредственным потомком с направленными краями от размера шага , как обычно. Однако кокласс увеличивается на , если с . Тогда называется неправильным прямым потомком${\displaystyle c=\mathrm {cl} (Q)=\mathrm {cl} (P)+1}$${\displaystyle P=Q/\gamma _{c}(Q)=\pi (Q)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle r=\mathrm {cc} (Q)=\mathrm {cc} (P)}$${\displaystyle \vert \gamma _{c}(Q)\vert =p}$${\displaystyle \vert Q\vert =p\cdot \vert P\vert }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P\leftarrow Q}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle m-1}$${\displaystyle \vert \gamma _{c}(Q)\vert =p^{m}}$${\displaystyle m\geq 2}$${\displaystyle Q}$с направленными краями от размера шага .${\displaystyle P\leftarrow Q}$ ${\displaystyle m}$

Если на все ориентированные ребра накладывается условие размера шага , то максимальное дерево потомков тривиальной группы распадается на счетное бесконечное несвязное объединение${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle (9)\qquad {\mathcal {T}}(1)={\dot {\cup }}_{r=0}^{\infty }\,{\mathcal {G}}(p,r)}$

ориентированных коклассовых графов , которые являются скорее лесами, чем деревьями. Точнее, из упомянутых выше теорем кокласса следует, что${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$

${\displaystyle (10)\qquad {\mathcal {G}}(p,r)=\left({\dot {\cup }}_{i}\,{\mathcal {T}}(S_{i})\right){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$

является несвязным объединением конечного числа CoClass деревьев попарно неизоморфных бесконечных про- р групп из компонентного класса (теорема D) и конечного подграфа из спорадических групп , лежащих вне любого CoClass дерева.${\displaystyle {\mathcal {T}}(S_{i})}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$

Идентификаторы [ править ]

В SmallGroups Библиотека идентификаторы конечных групп, в частности конечных р -групп, приведенной в виде

${\displaystyle \langle \ {\text{order}},\ {\text{counting number}}\ \rangle }$

в следующих конкретных примерах деревьев-потомков принадлежат HU Besche, B. Eick и EA O'Brien. ^{[13] [14]} Когда групповые порядки даны в шкале слева, как на Рисунке 2 и Рисунке 3, идентификаторы кратко обозначаются как

${\displaystyle \langle \ {\text{counting number}}\ \rangle }$.

В зависимости от простого числа существует верхняя граница порядка групп, для которых существует идентификатор SmallGroup, например для и для . Для групп более крупных порядков используется нотация с обобщенными идентификаторами, напоминающими структуру потомков. Обычный непосредственный потомок, соединенный ребром размера шага со своим родителем , обозначается как${\displaystyle p}$${\displaystyle 512=2^{9}}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle 6561=3^{8}}$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P-\#1;{\text{counting number}}}$,

а нерегулярный непосредственный потомок, связанный ребром размера шага со своим родителем , обозначается как${\displaystyle s\geq 2}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P-\#s;{\text{counting number}}}$.

Реализации алгоритма генерации p- групп в системах вычислительной алгебры GAP и Magma используют эти обобщенные идентификаторы, которые восходят к JA Ascione в 1979 году. ^[15]

Конкретные примеры деревьев [ править ]

Во всех примерах базовое родительское определение (P2) соответствует обычному нижнему центральному ряду. Отмечены случайные отличия от исходного определения (P3) в отношении нижнего показателя степени - p центрального ряда.

Coclass 0 [ править ]

Коклассовый граф

${\displaystyle (11)\qquad {\mathcal {G}}(p,0)={\mathcal {G}}_{0}(p,0)}$

конечных p -групп кокласса не содержит коклассового дерева и, таким образом, состоит исключительно из спорадических групп, а именно тривиальной группы и циклической группы порядка , которая является листом (однако она способна относительно нижнего показателя степени - p центральная серия). Для получения в идентификатор SmallGroup из IS , для это .${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle \langle 2,1\rangle }$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle \langle 3,1\rangle }$

Класс 1 [ править ]

Коклассовый граф

${\displaystyle (12)\qquad {\mathcal {G}}(p,1)={\mathcal {T}}^{1}(R){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,1)}$

конечных p -групп кокласса , также называемого максимальным классом , состоит из единственного коклассового дерева с корнем , элементарной абелевой p -группы ранга и единственной изолированной вершины (терминальной сироты без собственного родителя в том же графе кокласса, поскольку направленное ребро тривиальной группы имеет размер шага ), циклическая группа порядка в спорадической части (однако эта группа способна по отношению к центральному ряду с нижним показателем - p ). Дерево является CoClass дерева уникального бесконечной про- р${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)}$${\displaystyle R=C_{p}\times C_{p}}$ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle C_{p^{2}}}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,1)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)={\mathcal {T}}^{1}(S_{1})}$группа кокласса .${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle 1}$

Для соотв. , идентификатор корня SmallGroup равен , соответственно. , а древовидная диаграмма графа кокласса от ветви вниз к ветви ( считая по p -логарифму порядка корня ветви) изображена на рис. 2, соответственно. Рисунок 3, где все группы порядка по крайней мере являются метабелевыми , то есть неабелевыми с производной длиной (вершины представлены черными дисками в отличие от контурных квадратов, указывающих абелевы группы). На рисунке 3 черные диски меньшего размера обозначают метабелевы 3-группы, в которых даже максимальные подгруппы неабелевы, что отсутствует у метабелевых 2-групп на рисунке 2, поскольку все они обладают абелевой подгруппой индекса${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \langle 4,2\rangle }$${\displaystyle \langle 9,2\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {B}}(2)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(7)}$${\displaystyle p^{3}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle p}$(обычно ровно один). Коклассовое дерево соотв. , имеет периодический корень и периодичность длины, начиная с ветви , соответственно. периодический корень и периодичность установки длины с переходом . Оба дерева имеют ветви ограниченной глубины , поэтому их виртуальная периодичность фактически является строгой периодичностью .${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,1)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1)}$${\displaystyle \langle 8,3\rangle }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(3)}$${\displaystyle \langle 81,9\rangle }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(4)}$${\displaystyle 1}$

Однако коклассовое дерево with имеет неограниченную глубину и содержит неметабелевы группы, а коклассовое дерево with имеет даже неограниченную ширину , то есть число потомков фиксированного порядка неограниченно увеличивается с ростом порядка. ^[16]${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$${\displaystyle p\geq 5}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$${\displaystyle p\geq 7}$

С помощью ядер и целей передачи Artin диаграммы на рисунках 2 и 3 могут быть снабжены дополнительной информацией и перерисованы в виде структурированных дочерних деревьев .

Примеры конкретные и из CoClass графиков дают возможность дать параметризованную полициклические питания коммутатора презентацию ^[17] для полного CoClass дерева , , о которой говорились в главной секции в пользу потомка концепции дерева и , как следствие периодичности все коклассовое дерево. В обоих случаях, группа порождается двумя элементами , но презентация содержит серию высших коммутаторов , начиная с главного коллектора . Нильпотентность формально выражается отношением , когда группа имеет порядок .${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,1)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)\subset {\mathcal {G}}(p,1)}$${\displaystyle p\in \lbrace 2,3\rbrace }$${\displaystyle G\in {\mathcal {T}}^{1}(R)}$${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack }$${\displaystyle 3\leq j\leq n-1=\mathrm {cl} (G)}$ ${\displaystyle s_{2}=\lbrack y,x\rbrack }$${\displaystyle s_{n}=1}$${\displaystyle \vert G\vert =p^{n}}$

Для , есть два параметра, и компьютерная презентация задается следующим образом:${\displaystyle p=2}$${\displaystyle 0\leq w,z\leq 1}$

(13)${\displaystyle {\begin{aligned}G^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{2}=s_{n-1}^{w},\ y^{2}=s_{2}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack s_{2},y\rbrack =1,\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}}$

2-группы максимального класса, то есть кокласса , образуют три периодические бесконечные последовательности :${\displaystyle 1}$

• в двугранных группах, , , образуя магистраль (с бесконечно способными вершинами),${\displaystyle D(2^{n})=G^{n}(0,0)}$${\displaystyle n\geq 3}$
• обобщенные кватернионов группы, , , которые все концевые вершины,${\displaystyle Q(2^{n})=G^{n}(0,1)}$${\displaystyle n\geq 3}$
• в полудиэдральной группе, , , которые также являются листами.${\displaystyle S(2^{n})=G^{n}(1,0)}$${\displaystyle n\geq 4}$

Для , есть три параметра, и компьютерное представление задается следующим образом:${\displaystyle p=3}$${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$${\displaystyle -1\leq w,z\leq 1}$

(14)${\displaystyle {\begin{aligned}G_{a}^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{3}=s_{n-1}^{w},\ y^{3}=s_{2}^{-3}s_{3}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack y,s_{2}\rbrack =s_{n-1}^{a},\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}}$

3-группы с параметром обладают абелевой максимальной подгруппой, группы с параметром - нет. Точнее, существующая абелева максимальная подгруппа уникальна, за исключением двух дополнительных специальных групп и , где все четыре максимальные подгруппы абелевы.${\displaystyle a=0}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$${\displaystyle G_{0}^{3}(0,1)}$

В отличие от любого более крупного кокласса , граф кокласса содержит исключительно p -группы с абелианизацией типа , за исключением его единственной изолированной вершины . Случай отличается истинностью обратного утверждения: любая 2-группа с абелианизацией типа является коклассом (теорема О. Таусского ^[18] ).${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G^{\prime }}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle C_{p^{2}}}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle (2,2)}$${\displaystyle 1}$

Coclass 2 [ править ]

Генезис коклассового графа с неоднороден.p -группы с несколькими различными абелианизациями вносят вклад в его состав. Для компонентного класса , есть существенные вклады от групп с abelianizations из типов , , , и изолированный вклад циклической группы порядка :${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle r=2}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G^{\prime }}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle (p^{2},p)}$${\displaystyle (p,p,p)}$${\displaystyle C_{p^{3}}}$${\displaystyle p^{3}}$

${\displaystyle (15)\qquad {\mathcal {G}}(p,2)={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{2},p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p,p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{3})}(p,2)}$.

Абелианизация типа ( p , p ) [ править ]

В отличие от p -групп кокласса с абелианизацией типа или , которые возникают как регулярные потомки абелевых p -групп того же типа, p -группы кокласса с абелианизацией типа возникают из неправильных потомков неабелевой p -группы кокласса, который не оседает на коклассе.${\displaystyle 2}$${\displaystyle (p^{2},p)}$${\displaystyle (p,p,p)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle 1}$

Для простого числа таких групп вообще не существует, поскольку 2-группа является коклассовой, что является более глубокой причиной теоремы Таусского. Этот замечательный факт наблюдал еще в 1898 г. Г. Багнера ^[19] .${\displaystyle p=2}$${\displaystyle \langle 8,3\rangle }$

Для нечетных простых чисел существование p -групп кокласса с абелианизацией типа связано с тем, что группа не является коклассовой. Его ядерный ранг равен , что приводит к бифуркации дерева-потомка на два графа кокласса. Регулярный компонент - это поддерево единственного дерева в графе кокласса . Неправильный компонент становится подграфом графа кокласса, когда удаляются соединительные ребра размера шага нерегулярных непосредственных потомков .${\displaystyle p\geq 3}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(G_{0}^{3}(0,0))}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(G_{0}^{3}(0,0))}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(C_{p}\times C_{p})}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(G_{0}^{3}(0,0))}$${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,2)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$

Для этого подграф изображен на рисунке 4, который показывает интерфейс между конечными 3-группами с коклассом и типом . имеет семь вершин верхнего уровня трех важных типов, все из которых имеют порядок , которые были обнаружены Дж. Багнерой. ^[19]${\displaystyle p=3}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle (3,3)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle 243=3^{5}}$

• Во-первых, есть две терминальные σ-группы Шура и в спорадической части коклассового графа .${\displaystyle \langle 243,5\rangle }$${\displaystyle \langle 243,7\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$
• Во-вторых, две группы и являются корнями конечных деревьев в спорадической части . Однако, поскольку они не являются кластерами, полные деревья бесконечны.${\displaystyle G=\langle 243,4\rangle }$${\displaystyle G=\langle 243,9\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(G)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$
• И, наконец, три группы , и дают начало (бесконечной) CoClass деревьев, например, , , , каждый из которых имеет метабелеву магистраль, в CoClass графике . Ни одна из этих трех групп не заселена по коклассу.${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$${\displaystyle \langle 243,6\rangle }$${\displaystyle \langle 243,8\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,40\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$

Отображая дополнительную информацию о ядрах и целях передачи Artin, мы можем нарисовать эти деревья как структурированные деревья-потомки .

Определение. Как правило, группа Щур (называется замкнутой группой И. Шур, который придумал концепцию) является про- р группа , отношение которого ранг совпадает с его генераторной ранга . Σ-группа является про- р группы , которая обладает автоморфизмом индуцирующего инверсии на его абелианизации . А Шура а-группа представляет собой группа , Шура , которая также является σ-группа и имеет конечную абелианизацию .${\displaystyle G}$${\displaystyle d_{2}(G)=\mathrm {dim} _{\mathbb {F} _{p}}(\mathrm {H} ^{2}(G,\mathbb {F} _{p}))}$${\displaystyle d_{1}(G)=\mathrm {dim} _{\mathbb {F} _{p}}(\mathrm {H} ^{1}(G,\mathbb {F} _{p}))}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Aut} (G)}$${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$${\displaystyle G/G^{\prime }}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G^{\prime }}$

${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$ не является корнем коклассового дерева,

так как его непосредственный потомок , который является корнем коклассового дерева с метабелевыми вершинами главной линии, имеет двух братьев и сестер , соответственно. , которые дают начало одиночному, соотв. в-третьих, коклассовое дерево (я) с неметабелевыми вершинами главной линии, имеющими циклические центры порядка и ветви значительной сложности, но, тем не менее, ограниченной глубины .${\displaystyle \langle 729,40\rangle }$${\displaystyle \langle 729,35\rangle }$${\displaystyle \langle 729,34\rangle }$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 5}$

Таблица 1: Факторы групп G = G (f, g, h) ^[5]

Параметры ${\displaystyle (f,g,h)}$	Абелианизация ${\displaystyle G/G^{\prime }}$	Коэффициент 2-го класса ${\displaystyle G/\gamma _{3}(G)}$	Коэффициент 3-го класса ${\displaystyle G/\gamma _{4}(G)}$	Коэффициент 4-го класса ${\displaystyle G/\gamma _{5}(G)}$
${\displaystyle (0,1,0)}$	${\displaystyle (3,3)}$	${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,40\rangle }$
${\displaystyle (0,1,2)}$	${\displaystyle (3,3)}$	${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,6\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,49\rangle }$
${\displaystyle (1,1,2)}$	${\displaystyle (3,3)}$	${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,8\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,54\rangle }$
${\displaystyle (1,0,0)}$	${\displaystyle (9,3)}$	${\displaystyle \langle 81,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,15\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,79\rangle }$
${\displaystyle (0,0,1)}$	${\displaystyle (9,3)}$	${\displaystyle \langle 81,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,17\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,84\rangle }$
${\displaystyle (0,0,0)}$	${\displaystyle (3,3,3)}$	${\displaystyle \langle 81,12\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,53\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,395\rangle }$

Группы Pro-3 кокласса 2 с нетривиальным центром [ править ]

Б. Эйк, С. Р. Лидхэм-Грин, М. Ф. Ньюман и Е. А. О'Брайен ^[5] построили семейство бесконечных про-3 групп с коклассом, имеющим нетривиальный центр порядка . Члены семьи характеризуются тремя параметрами . Их конечные факторы порождают все вершины главной линии с бициклическими центрами типа шести коклассовых деревьев в графе кокласса . Связь параметров с корнями этих шести деревьев приведена в таблице 1, диаграммы деревьев, за исключением абелианизации , показаны на рисунках 4 и 5, а параметризованное представление pro-3 дано как${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle (f,g,h)}$${\displaystyle (3,3)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$${\displaystyle (3,3,3)}$

(16)${\displaystyle {\begin{aligned}G(f,g,h)=&\langle a,t,z\mid \\&a^{3}=z^{f},\ \lbrack t,t^{a}\rbrack =z^{g},\ t^{1+a+a^{2}}=z^{h},\\&z^{3}=1,\ \lbrack z,a\rbrack =1,\ \lbrack z,t\rbrack =1\rangle \end{aligned}}}$

Абелианизация типа ( р ², р ) [ править ]

Для верхних уровней поддерева коклассового графа показаны на рисунке 5. Самыми важными вершинами этого дерева являются восемь братьев и сестер , имеющих общий родительский элемент , которые бывают трех важных типов.${\displaystyle p=3}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 27,2\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$${\displaystyle \langle 81,3\rangle }$

• Во - первых, есть три листья , , имеющие циклический центр порядка , и один лист с бициклической центром типа .${\displaystyle \langle 243,20\rangle }$${\displaystyle \langle 243,19\rangle }$${\displaystyle \langle 243,16\rangle }$${\displaystyle 9}$${\displaystyle \langle 243,18\rangle }$${\displaystyle (3,3)}$
• Во-вторых, группа является корнем конечного дерева .${\displaystyle G=\langle 243,14\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}^{2}(G)}$
• И, наконец, три группы , и приводят к бесконечным CoClass деревьев, например, , , , каждый из которых имеет метабелеву магистраль, первый с циклическими центрами порядка , второй и третий с бициклических центрами типа .${\displaystyle \langle 243,13\rangle }$${\displaystyle \langle 243,15\rangle }$${\displaystyle \langle 243,17\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 2187,319\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,15\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,17\rangle )}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle (3,3)}$

Здесь не является корнем коклассового дерева, поскольку помимо его потомка , который является корнем коклассового дерева с метабелевыми вершинами основной линии, у него есть еще пять потомков, которые дают начало коклассовым деревьям с неметабелевыми главными вершинами, имеющими циклические центры порядка и ветви чрезвычайной сложности, здесь частично даже безграничной глубины . ^[5]${\displaystyle \langle 243,13\rangle }$${\displaystyle \langle 2187,319\rangle }$${\displaystyle 3}$

Абелианизация типа ( p , p , p ) [ править ]

Для соотв. существует единственное коклассовое дерево с p -группами типа в графе кокласса . Его корнем является элементарная абелева p -группа типа , т. Е. Соотв. . Это единственное дерево соответствует про-2 группе семейства М. Ф. Ньюмана и Е. А. О'Брайена, ^[6] соотв. в группу pro-3, задаваемую параметрами в таблице 1. Для дерево показано на рисунке 6, где показаны некоторые конечные 2-группы с коклассом типа .${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle (p,p,p)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,2)}$${\displaystyle (p,p,p)}$${\displaystyle \langle 8,5\rangle }$${\displaystyle \langle 27,5\rangle }$${\displaystyle \#59}$${\displaystyle (f,g,h)=(0,0,0)}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle 2,3,4}$${\displaystyle (2,2,2)}$

Coclass 3 [ править ]

Здесь снова p -группы с несколькими различными абелианизациями вносят вклад в построение коклассового графа . Есть обычные, соотв. нерегулярные, существенные вклады от групп с abelianizations из типов , , , , соответственно. , , , И изолированный вклад циклической группы порядка .${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,3)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G^{\prime }}$${\displaystyle (p^{3},p)}$${\displaystyle (p^{2},p^{2})}$${\displaystyle (p^{2},p,p)}$${\displaystyle (p,p,p,p)}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle (p^{2},p)}$${\displaystyle (p,p,p)}$${\displaystyle C_{p^{4}}}$${\displaystyle p^{4}}$

Абелианизация типа ( p , p , p ) [ править ]

Поскольку элементарная абелева p -группа ранга , т. Е. Соотв. , для , соотв. , не является коклассовым, а порождает многофуркацию. Обычный компонент описан в разделе о коклассе . Неправильный компонент становится подграфом графа кокласса, когда удаляются соединительные ребра размера шага нерегулярных непосредственных потомков .${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \langle 8,5\rangle }$${\displaystyle \langle 27,5\rangle }$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(C_{p}\times C_{p}\times C_{p})}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(C_{p}\times C_{p}\times C_{p})}$${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{(p,p,p)}(p,3)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,3)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}$

Для этот подграф содержится на рисунке 6. Он имеет девять вершин верхнего уровня порядка, которые можно разделить на конечные и способные вершины.${\displaystyle p=2}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle 32=2^{5}}$

• Две группы и являются листьями.${\displaystyle \langle 32,32\rangle }$${\displaystyle \langle 32,33\rangle }$
• Пять групп и две группы бесконечно способны.${\displaystyle \langle 32,27..31\rangle }$${\displaystyle \langle 32,34..35\rangle }$

Деревья, возникающие из способных вершин, ассоциированы с бесконечными про-2 группами М. Ф. Ньюманом и Е. А. О'Брайеном ^[6] следующим образом.

${\displaystyle \langle 32,28\rangle }$ рождает два дерева,

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,140\rangle )}$связаны с семьей , и${\displaystyle \#73}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,147\rangle )}$связаны с семьей .${\displaystyle \#74}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,29\rangle )}$связан с семьей .${\displaystyle \#75}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,30\rangle )}$связан с семьей .${\displaystyle \#76}$