Центральная серия

В математике , особенно в области теории групп и теории Ли , центральный ряд является своим родом нормальной серии из подгрупп или подалгебр Ли , выражающей идею о том , что коммутатор является почти тривиальным. Для групп это явное выражение, что группа является нильпотентной группой , а для колец матриц это явное выражение, что в некотором базисе кольцо матриц полностью состоит из верхнетреугольных матриц с постоянной диагональю.

В статье используется язык теории групп; аналогичные термины используются для алгебр Ли.

Нижний центральный ряд и верхний центральный ряд (также называемый нисходящим центральный ряд и возрастание центрального ряда , соответственно), являются, несмотря на «Центральный» в их названиях, центральный рядом , если и только если группа нильпотентна .

Определение [ править ]

Центральный ряд представляет собой последовательность подгрупп

${\ Displaystyle \ {1 \} = A_ {0} \ треугольникleft A_ {1} \ треугольникleft \ точки \ треугольникleft A_ {n} = G}$

такие, что последовательные частные являются центральными ; то есть , где обозначает подгруппу коммутатор , порожденную всеми элементами вида , с г в G и ч в H . Поскольку подгруппа нормальна в G для каждого i . Таким образом, мы можем перефразировать «центральное» условие, приведенное выше, как: нормальное в G и центральное для каждого i . Как следствие, абелев для каждого i .${\ Displaystyle [G, A_ {я + 1}] \ leq A_ {я}}$${\ displaystyle [G, H]}$${\ displaystyle g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}$${\ Displaystyle [G, A_ {я + 1}] \ leq A_ {я} \ leq A_ {я + 1}}$${\ displaystyle A_ {я + 1}}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle A_ {я + 1} / A_ {я}}$${\ displaystyle G / A_ {i}}$${\ Displaystyle A_ {я + 1} / A_ {я}}$

Центральная серия аналогична в теории Ли к флагу , который строго сохраняется при действии присоединенного (более прозаично, базис , в котором каждый элемент представлен строго верхней треугольной матрицы); сравните теорему Энгеля .

Группе не обязательно иметь центральный ряд. Фактически группа имеет центральную серию тогда и только тогда, когда она является нильпотентной группой . Если группа имеет центральную серию, то существуют две центральные серии, члены которых в определенных смыслах экстремальны. Поскольку A ₀ = {1}, центр Z ( G ) удовлетворяет A ₁ ≤ Z ( G ). Следовательно, максимальный выбор для A ₁ - это A ₁ = Z ( G ). Продолжая таким образом, выбрать максимально возможное A _{i + 1 для} данного A _iпроизводит так называемый верхний центральный ряд . Двойственно, поскольку A _n  =  G , коммутатор [ G , G ] удовлетворяет [ G , G ] = [ G , A _n ] ≤ A _{n - 1} . Следовательно, минимальный выбор для A _{n - 1} - [ G , G ]. Продолжая выбирать A _i минимально для данного A _{i + 1,} такого что [ G , A _{i + 1}] ≤ A _i дает так называемый нижний центральный ряд . Эти ряды могут быть построены для любой группы, и если группа имеет центральный ряд (является нильпотентной группой), эти процедуры дадут центральный ряд.

Нижняя центральная серия [ править ]

Нижний центральный ряд (или убыванию центрального ряда ) групп G является нисходящим рядом подгрупп

G = G ₁ ⊵ G ₂ ⊵ ⋯ ⊵ G _n ⊵ ⋯,

где для каждого п ,

${\displaystyle G_{n+1}=[G_{n},G]}$,

подгруппа из G генерируется всеми коммутаторами с и . Таким образом, , то коммутант из G , в то время , и т.д. нижний центральный ряд часто обозначается .${\displaystyle [x,y]}$${\displaystyle x\in G_{n}}$${\displaystyle y\in G}$${\displaystyle G_{2}=[G,G]=G^{(1)}}$${\displaystyle G_{3}=[[G,G],G]}$${\displaystyle \gamma _{n}(G)=G_{n}}$

Его не следует путать с производным рядом , члены которого

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]}$,

нет . Эти две серии связаны между собой . Например, симметрическая группа S ₃ является разрешимым классом 2: производные серии S ₃ ⊵ { е , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ { х }. Но он не нильпотентен: его нижний центральный ряд S ₃ ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ ⋯ не обрывается. Нильпотентная группа - это разрешимая группа , и ее производная длина является логарифмической в ​​ее классе нильпотентности ( Schenkman 1975 , стр. 201, 216).${\displaystyle G_{n}=[G_{n-1},G]}$${\displaystyle G^{(n)}\leq G_{n}}$

Для бесконечных групп можно продолжить нижний центральный ряд до бесконечных порядковых чисел с помощью трансфинитной рекурсии : для предельного ординала λ определим

${\displaystyle G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}}$.

Если для некоторого ординала λ , то G называется гипоцентральной группой . Для каждого ординала λ существует группа G такая, что , но для всех , ( Мальцев, 1949 ).${\displaystyle G_{\lambda }=1}$${\displaystyle G_{\lambda }=1}$${\displaystyle G_{\alpha }\neq 1}$${\displaystyle \alpha <\lambda }$

Если - первый бесконечный ординал, то это наименьшая нормальная подгруппа группы G такая, что фактор аппроксимируемо нильпотентным , то есть такой, что каждый неединичный элемент имеет нетождественный гомоморфный образ в нильпотентной группе ( Schenkman 1975 , с. 175 183). В области комбинаторной теории групп важным и ранним результатом является то, что свободные группы аппроксимируемо нильпотентными. Фактически факторы нижнего центрального ряда являются свободными абелевыми группами с естественным базисом, определяемым основными коммутаторами ( Hall 1959 , Ch. 11).${\displaystyle \omega }$${\displaystyle G_{\omega }}$

Если для некоторого конечного п , то есть наименьшая нормальная подгруппа группы G с нильпотентной фактор, и называется нилъпотентную остаточным из G . Это всегда имеет место для конечной группы, и определяет термин в нижнем ряде Места для G .${\displaystyle G_{\omega }=G_{n}}$${\displaystyle G_{\omega }}$${\displaystyle G_{\omega }}$${\displaystyle F_{1}(G)}$

Если для всех конечных n , то не является нильпотентным, но аппроксимируемо нильпотентным .${\displaystyle G_{\omega }\neq G_{n}}$${\displaystyle G/G_{\omega }}$

Не существует общего члена для пересечения всех членов трансфинитного нижнего центрального ряда, аналогичного гиперцентру (см. Ниже).

Верхний центральный ряд [ править ]

Верхний центральный ряд (или возрастанию центральный ряд ) группы G представляет собой последовательность подгрупп

${\displaystyle 1=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft Z_{i}\triangleleft \cdots ,}$

где каждая последующая группа определяется:

${\displaystyle Z_{i+1}=\{x\in G\mid \forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}}$

и называется я - й центр из G (соответственно, второго центра , третьего центра и т.д.). В этом случае, является центром группы G , и для каждой последующей группы фактор-группа является центром и называется фактором верхнего центрального ряда .${\displaystyle Z_{1}}$ ${\displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}}$${\displaystyle G/Z_{i}}$

Для бесконечных групп можно продолжить верхний центральный ряд до бесконечных порядковых чисел с помощью трансфинитной рекурсии : для предельного ординала λ определим

${\displaystyle Z_{\lambda }(G)=\bigcup _{\alpha <\lambda }Z_{\alpha }(G).}$

Предел этого процесса (объединение высших центров) называется гиперцентром группы.

Если трансфинитный верхний центральный ряд стабилизируется на всей группе, то группа называется гиперцентральной . Гиперцентральные группы обладают многими свойствами нильпотентных групп, такими как условие нормализатора (нормализатор собственной подгруппы должным образом содержит подгруппу), элементы взаимно простого порядка коммутируют, а периодические гиперцентральные группы являются прямой суммой своих силовских p -подгрупп ( Schenkman 1975 , Гл. VI.3). Для каждого порядкового λ существует группа G с Z _Х ( G ) = G , а Z _{& alpha} ; (G ) ≠ G для α < λ , ( Глушков, 1952 ) и ( Маклейн, 1956 ).

Связь между нижним и верхним центральными рядами [ править ]

Существуют различные связи между нижним центральным рядом (LCS) и верхним центральным рядом (UCS) ( Ellis 2001 ), особенно для нильпотентных групп .

Проще говоря, группа является абелевой тогда и только тогда, когда LCS завершается на первом шаге (коммутаторная подгруппа тривиальна) тогда и только тогда, когда UCS стабилизируется на первом шаге (центр - это вся группа). В более общем смысле, для нильпотентной группы длина LCS и длина UCS согласованы (и это называется классом нильпотентности группы). Однако LCS и UCS нильпотентной группы не обязательно могут иметь одинаковые термины. Например, в то время как UCS и LCS согласованы для циклической группы C ₂ и группы кватернионов Q ₈ (которые являются C ₂ ⊵ { e } и Q ₈ ⊵ {1, -1} {1} соответственно), UCS и LCS от ихпрямого произведения C ₂ × Q ₈ нет: его нижний центральный ряд равен C ₂ × Q ₈ ⊵ { e } × {-1, 1} ⊵ { e } × {1}, а верхний центральный ряд равен C ₂ × Q ₈ ⊵ C ₂ × {-1, 1} ⊵ { e } × {1}.

Однако ПСК стабилизируется на нулевом шаге тогда и только тогда, когда он совершенен , тогда как ПСК стабилизируется на нулевом шаге тогда и только тогда, когда он бесцентровый , что является разными концепциями и показывает, что длины ПСК и ПСК (интерпретируются для обозначения длины до стабилизации) не обязательно соглашаться в целом.

Для идеальной группы ПСК всегда стабилизируется первым шагом, этот факт называется леммой Грюна . Однако бесцентровая группа может иметь очень длинный нижний центральный ряд: свободная группа на двух или более образующих не имеет центра, но ее нижний центральный ряд не стабилизируется до первого бесконечного порядкового номера.

Уточненная центральная серия [ править ]

При изучении p -групп часто важно использовать более длинные центральные ряды. Важным классом таких центральных рядов являются центральные ряды экспоненты p ; то есть центральный ряд, факторы которого являются элементарными абелевыми группами или что то же самое, имеют показатель p . Существует единственный наиболее быстро убывающий такой ряд, центральный ряд λ с нижним показателем - p, определяемый следующим образом:

${\displaystyle \lambda _{1}(G)=G}$, и

${\displaystyle \lambda _{n+1}(G)=[G,\lambda _{n}(G)](\lambda _{n}(G))^{p}}$.

Второй член, равен , по подгруппе Фраттини . Центральный ряд с нижним показателем - p иногда просто называют p -центральным рядом.${\displaystyle \lambda _{2}(G)}$${\displaystyle [G,G]G^{p}=\Phi (G)}$

Существует единственный наиболее быстро возрастающий такой ряд, центральный ряд с верхним показателем - p, определяемый следующим образом:

S ₀ ( G ) = 1

S _{n +1} ( G ) / S _n ( G ) = Ω (Z ( G / S _n ( G )))

где Ω ( Z ( H )) обозначает подгруппу, порожденную (и равную) множеству центральных элементов H порядка, делящего p . Первый член, S ₁ ( G ), является подгруппой , порожденной минимальными нормальными подгруппами и так равен цоколем из G . По этой причине центральный ряд с верхним показателем p иногда называют цокольным рядом или даже рядом Леви, хотя последний обычно используется для обозначения нисходящего ряда.

Иногда полезны другие уточнения центрального ряда, например ряд Дженнингса κ, определяемый следующим образом:

κ ₁ ( G ) = G и

κ _{n + 1} ( G ) = [ G , κ _n ( G )] (κ _i ( G )) ^p , где i - наименьшее целое число, большее или равное n / p .

Серии Дженнингса названа в честь Stephen Arthur Дженнингса , который использовал серию , чтобы описать ряд Лоуи модульного групповое кольца из в р -группы.

См. Также [ править ]

• Нильпотентный ряд , аналогичное понятие для разрешимых групп
• Отношения родитель-потомок для конечных p -групп, определяемых различными видами центральных рядов
• Унипотентная группа

Ссылки [ править ]

• Эллис, Graham (октябрь 2001), «О связи между Верхней Центральной дробей и нижнего центрального ряда в группе», Труды Американского математического общества , 353 (10): 4219-4234, DOI : 10,1090 / S0002-9947-01 -02812-4 , JSTOR  2693793
• Глушков В. М. О центральных сериях бесконечных групп (1952), Матем. Сборник Н.С. , 31 : 491–496, MR  0052427
• Холл, Маршалл (1959), Теория групп , Macmillan, MR  0103215
• Мальцев А.И. (1949), "Обобщенные нильпотентные алгебры и их ассоциированные группы", Матем. Сборник Н.С. , 25 (67): 347–366, MR  0032644
• McLain, DH (1956), "Замечания о верхнем центральном ряду группы", Proc. Glasgow Math. Доц. , 3 : 38-44, DOI : 10,1017 / S2040618500033414 , МР  0084498
• Шенкман, Юджин (1975), теория групп , издательство Роберта Кригера, ISBN 978-0-88275-070-5, Руководство по ремонту  0460422, особенно глава VI.