Центр (теория групп)

Таблица Кэли для D _4, показывающая элементы центра, {e, a ² }, расположенные симметрично относительно главной диагонали (иллюстрируя, что каждый из них коммутирует со всеми другими элементами)
^о	е	б	а	а ²	а ³	ab	а ² б	а ³ б
е	е	б	а	а ²	а ³	ab	а ² б	а ³ б
б	б	е	а ³ б	а ² б	ab	а ³	а ²	а
а	а	ab	а ²	а ³	е	а ² б	а ³ б	б
а ²	а ²	а ² б	а ³	е	а	а ³ б	б	ab
а ³	а ³	а ³ б	е	а	а ²	б	ab	а ² б
ab	ab	а	б	а ³ б	а ² б	е	а ³	а ²
а ² б	а ² б	а ²	ab	б	а ³ б	а	е	а ³
а ³ б	а ³ б	а ³	а ² б	ab	б	а ²	а	е

В абстрактной алгебре , то центр из группы , $G$ , является множество элементов , которые коммутируют с каждым элементом $G$ . Он обозначается $Z (G)$ , от немецкого Zentrum , что означает центр . В набор-строитель нотации ,

Z (G) = {z \in G ∣ \forall g \in G, zg = gz}

.

Центр представляет собой нормальный делитель , $Z (G) ⊲ G$ . Как подгруппа, она всегда характерна , но не обязательно полностью характерна . Фактор - группа , $G / Z (G)$ , является изоморфно к внутренним автоморфизмам группы, $Inn (G)$ .

Группа $G$ абелева тогда и только тогда , когда $Z (G) = G$ . В другом крайнем случае , группа называется бесцентровое , если $Z (G)$ является тривиальным ; т.е. состоит только из тождественного элемента .

Элементы центра иногда называют центральными .

Как подгруппа [ править ]

Центр G всегда подгруппа из $G$ . В частности:

$Z (G)$ содержит единичный элемент из $G$ , так как он коммутирует с каждым элементом $г$ , по определению: $например, = г = г$ , где $е$ является единицей;
Если $х$ и $у$ находятся в $Z (G)$ , то и $ху$ , с помощью ассоциативности: $(ху) г = х (YG) = х (Gy) = (XG) у = (GX) у = г (х)$ для каждого $g \in G$ ; т. е. $Z (G)$ замкнуто;
Если $х$ в $Z (G)$ , то и $х -1$ , как, для всех $г$ в $G$ , $х -1$ коммутирует с $г$ : $(дх = XG) \Rightarrow (х -1 Gxx -1 = х -1 xgx -1) \Rightarrow (x -1 g = gx -1)$ .

Кроме того, центр $G$ всегда нормальная подгруппа из $G$ . Поскольку все элементы $Z (G)$ коммутируют, оно замкнуто относительно сопряжения .

Классы сопряженности и централизаторы [ править ]

По определению, центр - это набор элементов, для которых класс сопряженности каждого элемента является самим элементом; т.е. $Cl (g) = {g$ }.

Центр также является пересечением всех центраторов каждого элемента $G$ . Поскольку централизаторы являются подгруппами, это снова показывает, что центр является подгруппой.

Спряжение [ править ]

Рассмотрим отображение, $ф : G \to Aut (G)$ от $G$ к группе автоморфизмов из $G$ определяется $F (г) = φ г$ , где $φ г$ является автоморфизм $G$ определяется

f (g) (h) = ϕ g (h) = ghg -1

.

Функция, $F$ представляет собой гомоморфизм групп , а его ядро является именно центр $G$ , и его образ называется внутренний автоморфизм группы из $G$ , обозначаемый $Inn (G)$ . По первой теореме об изоморфизме получаем,

G / Z (G) ≃ Inn (G)

.

Коядро этой карты является группа $Out (G)$ из внешних автоморфизмов , и они образуют точную последовательность

1 ⟶ Z (G) ⟶ G ⟶ Aut (G) ⟶ Out (G) ⟶ 1

.

Примеры [ править ]

Центр из абелевой группы , $G$ , все из $G$ .
Центр группы Гейзенберга , $H$ , есть множество матриц вида:
${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & z \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$
Центр неабелевой простой группы тривиален.
Центр диэдра , $D п$ , тривиально при нечетном $п^ 3$ . При четном $n \geq 4$ центр состоит из единичного элемента вместе с поворотом многоугольника на 180 ° .
Центр группы кватернионов , $Q 8 = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}$ , равен ${1, -1}$ .
Центр симметрической группы , $S п$ , тривиально для $п \geq 3$ .
Центр знакопеременной группы , $А п$ , тривиально для $п \geq 4$ .
Центр общей линейной группы над полем $F$ , $GL п (F)$ , представляет собой набор скалярных матриц , ${sì п | S ∈ F \ {0}}$ .
Центр ортогональной группы , $O п (F)$ является ${Я п, -I п}$ .
Центр специальной ортогональной группы , $SO (n)$ - это вся группа, когда $n = 2$ , иначе ${I n, -I n},$ когда n четное, и тривиальное, когда n нечетное.
Центр унитарной группы , является . ${\ Displaystyle U (п)}$ $\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\}$
Центр специальной унитарной группы , является . $SU(n)$ $\left\lbrace e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta ={\frac {2k\pi }{n}},k=0,1,....n-1\right\rbrace$
Центр мультипликативной группы ненулевых кватернионов - мультипликативная группа ненулевых действительных чисел .
Используя уравнение классов , можно доказать, что центр любой нетривиальной конечной p-группы нетривиален.
Если фактор - группа $G / Z (G)$ является циклическим , $G$ является абелевой (и , следовательно , $G = Z (G)$ , так что $G / Z (G)$ тривиально).
Центр группы мегаминкс является циклической группой порядка 2, а центр группы киломинкс тривиален.

Высшие центры [ править ]

Факторизация по центру группы дает последовательность групп, называемую верхним центральным рядом :

(G 0 = G) ⟶ (G 1 = G 0 / Z (G 0)) ⟶ (G 2 = G 1 / Z (G 1)) ⟶ \dots

Ядро отображения $G \to G i$ является $i-$ м центром ^{[ необходима ссылка ]} группы $G$ ( второй центр , третий центр и т. Д.) И обозначается $Z i (G)$ ^{[ необходима ссылка ]} . Конкретно, ( $i + 1$ ) -й центр - это члены, которые коммутируют со всеми элементами до элемента $i-$ го центра. Следуя этому определению, можно определить 0-й центр группы как индивидуальную подгруппу. Это может быть продолжено до трансфинитных ординалов с помощьютрансфинитная индукция ; объединение всех высших центров называется гиперцентром . ^{[примечание 1]}

Возрастающая цепочка подгрупп

1 \leq Z (G) \leq Z 2 (G) \leq \dots

стабилизируется в точке i (эквивалентно $Z i (G) = Z i + 1 (G)$ ) тогда и только тогда, когда $G i не$ имеет центра.

Примеры [ править ]

Для бесцентровой группы все высшие центры равны нулю, что является случаем стабилизации $Z 0 (G) = Z 1 (G)$ .
По лемме Грюна фактор совершенной группы по ее центру не имеет центра, поэтому все высшие центры равны центру. Это случай стабилизации в $Z 1 (G) = Z 2 (G)$ .

См. Также [ править ]

Центр (алгебра)
центр
Центратор и нормализатор
Класс сопряженности

Заметки [ править ]

^ Это объединение будет включать трансфинитные члены, если ПСК не стабилизируется на конечном этапе.

Ссылки [ править ]

Фрали, Джон Б. (2014). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Пирсон. ISBN 978-1-292-02496-7. CS1 maint: discouraged parameter (link)

Внешние ссылки [ править ]

"Центр группы" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Это объединение будет включать трансфинитные члены, если ПСК не стабилизируется на конечном этапе.