В математике , то внешний автоморфизм группы из группы , G , является фактор , Aut ( G ) / Inn ( G ) , где Aut ( G ) является группой автоморфизмов из G и Inn ( G ) является подгруппа , состоящая из внутренних автоморфизмов . Группа внешних автоморфизмов обычно обозначается Out ( G ) . Если Out ( G ) тривиален и G имеет тривиальный центр , тоG называется полной .
Автоморфизм группы, не являющейся внутренней, называется внешним автоморфизмом . Тогда смежные классы Inn ( G ) по внешним автоморфизмам являются элементами Out ( G ) ; это пример того факта, что факторы групп, вообще говоря, не являются (изоморфны) подгруппам. Если группа внутренних автоморфизмов тривиальна (когда группа абелева), группа автоморфизмов и группа внешних автоморфизмов естественно отождествляются; то есть группа внешних автоморфизмов действительно действует на группу.
Например, для знакопеременной группы , п , внешний автоморфизм группы, как правило , группа 2 - го порядка, с исключениями , указанными ниже. Рассматривая А п как подгруппа симметрической группы , S п , конъюгации с помощью любого нечетного перестановки является внешним автоморфизмом А н а точнее «представляет класс (нетривиального) внешнего автоморфизм А п », но внешнее автоморфизм не соответствует сопряжению каким-либо конкретным нечетным элементом, и все сопряжения нечетными элементами эквивалентны с точностью до сопряжения четным элементом.
Структура [ править ]
Гипотеза Шрайера утверждает, что Out ( G ) всегда является разрешимой группой, когда G конечная простая группа . Теперь известно, что этот результат является истинным как следствие классификации конечных простых групп , хотя более простого доказательства не известно.
Как двойник центра [ править ]
Группа внешних автоморфизмов двойственна центру в следующем смысле: сопряжение элементом группы G является автоморфизмом, дающим отображение σ : G → Aut ( G ) . Ядро карты сопряжения является центром, в то время как Коядро является внешней группой автоморфизмов (и изображение является внутренний автоморфизм группы). Это можно резюмировать точной последовательностью :
- Z ( G ) ↪ G Aut ( G ) ↠ Out ( G ) .
Приложения [ править ]
Группа внешних автоморфизмов группы действует на классы сопряженности и, соответственно, на таблицу характеров . См. Подробности в таблице символов: внешние автоморфизмы .
Топология поверхностей [ править ]
Внешний автоморфизм группы имеет важное значение в топологии из поверхностей , так как существует связь обеспечивается теоремой Дена-Nielsen : расширенная группа классов отображений поверхности является внешней группой автоморфизмов ее фундаментальной группы .
В конечных группах [ править ]
Для групп внешних автоморфизмов всех конечных простых групп см. Список конечных простых групп . Спорадические простые группы и знакопеременные группы (кроме знакопеременной группы A 6 ; см. Ниже) все имеют группы внешних автоморфизмов порядка 1 или 2. Группа внешних автоморфизмов конечной простой группы лиева типа является расширением группы " диагональных автоморфизмов »(циклических, кроме D n ( q ) , когда он имеет порядок 4), группы« полевых автоморфизмов »(всегда циклических) и группы« графовых автоморфизмов »(порядка 1 или 2, кроме D 4 ( q ), когда это симметричная группа по 3 точкам). Эти расширения не всегда являются полупрямыми продуктами , как показывает случай переменной группы A 6 ; точный критерий того, что это произошло, был дан в 2003 году [1].
| Группа | Параметр | Выход ( G ) | | Вых ( G ) | |
|---|---|---|---|
| Z | C 2 | 2 : тождество и внешний автоморфизм x ↦ - x | |
| C n | п > 2 | (ℤ / n ℤ) × | φ ( n ) =; один, соответствующий умножению на обратимый элемент вкольцеℤ / n ℤ. |
| Z p n | p простое, n > 1 | GL n ( p ) | ( p n - 1) ( p n - p ) ( p n - p 2 ) ... ( p n - p n −1 ) |
| S n | п ≠ 6 | C 1 | 1 |
| S 6 | C 2 (см. Ниже) | 2 | |
| А п | п ≠ 6 | C 2 | 2 |
| А 6 | C 2 × C 2 (см. Ниже) | 4 | |
| PSL 2 ( п ) | p > 3 простое число | C 2 | 2 |
| PSL 2 (2 н. ) | п > 1 | C n | п |
| PSL 3 (4) = M 21 | Dih 6 | 12 | |
| M n | n ∈ {11, 23, 24} | C 1 | 1 |
| M n | n ∈ {12, 22} | C 2 | 2 |
| Co n | n ∈ {1, 2, 3} | C 1 | 1 |
[ необходима цитата ]
В симметричных и чередующихся группах [ править ]
Группа внешних автоморфизмов конечной простой группы в некотором бесконечном семействе конечных простых групп почти всегда может быть задана равномерной формулой, которая работает для всех элементов семейства. Есть только одно исключение из этого: [2] альтернированная группа A 6 имеет группу внешних автоморфизмов порядка 4, а не 2, как и другие простые альтернированные группы (заданные сопряжением нечетной перестановкой ). Эквивалентно симметрическая группа S 6 - единственная симметрическая группа с нетривиальной группой внешних автоморфизмов.
Заметим, что в случае G = A 6 = PSL (2, 9) последовательность 1 ⟶ G ⟶ Aut ( G ) ⟶ Out ( G ) ⟶ 1 не разбивается. Аналогичный результат верен для любого PSL (2, q 2 ) , q нечетное.
В редуктивных алгебраических группах [ править ]
Пусть теперь G - связная редуктивная группа над алгебраически замкнутым полем . Тогда любые две борелевские подгруппы сопряжены внутренним автоморфизмом, поэтому для изучения внешних автоморфизмов достаточно рассмотреть автоморфизмы, фиксирующие данную борелевскую подгруппу. С подгруппой Бореля связан набор простых корней , и внешний автоморфизм может переставлять их, сохраняя при этом структуру связанной диаграммы Дынкина . Таким образом, можно отождествить группу автоморфизмов диаграммы Дынкина группы G с подгруппой Out ( G ) .
D 4 имеет очень симметричную диаграмму Дынкина, которая дает большую группу внешних автоморфизмов Spin (8) , а именно Out (Spin (8)) = S 3 ; это называется тройственностью .
В сложных и реальных простых алгебрах Ли [ править ]
Предшествующая интерпретация внешних автоморфизмов как симметрия диаграммы Дынкина следует из общего факта, что для комплексной или вещественной простой алгебры Ли, 𝔤 , группа автоморфизмов Aut ( 𝔤 ) является полупрямым произведением из Inn ( 𝔤 ) и выход ( 𝔤 ) ; т.е. короткая точная последовательность
- 1 ⟶ Inn ( 𝔤 ) ⟶ Aut ( 𝔤 ) ⟶ Out ( 𝔤 ) ⟶ 1
раскалывается. В сложном простом случае это классический результат [3], тогда как для реальных простых алгебр Ли этот факт был доказан совсем недавно, в 2010 году [4].
Игра слов [ править ]
Термин внешний автоморфизм поддается игре слов : термин внешний морфизм иногда используется для обозначения внешнего автоморфизма , а конкретная геометрия, на которой действует Out ( F n ), называется внешним пространством .
См. Также [ править ]
- Группа классов сопоставления
- Выход ( F n )
Ссылки [ править ]
Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( ноябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
- ^ A. Lucchini, F. Menegazzo, M. Morigi (2003), " О существовании дополнения для конечной простой группы в ее группе автоморфизмов ", Illinois J. Math. 47, 395–418.
- ^ ATLAS стр. xvi
- ^ ( Фултон и Харрис 1991 , Предложение D.40)
- ^ JLT20035
Внешние ссылки [ править ]
- ATLAS представлений конечных групп-V3 , содержит много информации о различных классах конечных групп (в частности, спорадических простых группах), включая порядок Out ( G ) для каждой перечисленной группы.
