В математике , то классификация конечных простых групп состояний , что каждая конечная простая группа является циклической , или переменным , или в один из 16 семейств групп типа Ли , или один из 26 спорадических групп .
В приведенном ниже списке приведены все конечные простые группы вместе с их порядком , размером множителя Шура , размером внешней группы автоморфизмов , обычно некоторыми небольшими представлениями , и списками всех дубликатов.
Резюме
В следующей таблице представлен полный список 18 семейств конечных простых групп и 26 спорадических простых групп, а также их порядки. Перечисляются все непростые члены каждой семьи, а также любые члены, дублированные внутри семьи или между семьями. (При удалении дубликатов полезно отметить, что никакие две конечные простые группы не имеют одинаковый порядок, за исключением того, что группы A 8 = A 3 (2) и A 2 (4) имеют порядок 20160, а группа B n ( q ) имеет тот же порядок, что и C n ( q ) для q нечетного, n > 2. Самыми маленькими из последних пар групп являются B 3 (3) и C 3 (3), которые имеют порядок 4585351680.)
Существует досадный конфликт между обозначениями знакопеременных групп A n и групп лиева типа A n ( q ). Некоторые авторы используют разные шрифты для AN, чтобы различать их. В частности, в этой статье мы проводим различие, выделяя знакопеременные группы A n римским шрифтом, а группы лиева типа A n ( q ) курсивом.
В дальнейшем n - положительное целое число, а q - положительная степень простого числа p с указанными ограничениями. Обозначение ( a , b ) представляет собой наибольший общий делитель целых чисел a и b .
Класс | Семья | Заказ | Исключения | Дубликаты | |
---|---|---|---|---|---|
Циклические группы | Z p | п | Никто | Никто | |
Чередующиеся группы | A n n > 4 | Никто |
| ||
Классические группы Шевалле | А п ( д ) | А 1 (2), А 1 (3) |
| ||
B n ( q ) n > 1 | В 2 (2) |
| |||
C n ( q ) n > 2 | Никто | C n (2 м ) ≃ B n (2 м ) | |||
D n ( q ) n > 3 | Никто | Никто | |||
Исключительные группы Chevalley | E 6 ( q ) | Никто | Никто | ||
E 7 ( q ) | Никто | Никто | |||
E 8 ( q ) | Никто | Никто | |||
F 4 ( q ) | Никто | Никто | |||
G 2 ( q ) | G 2 (2) | Никто | |||
Классические группы Штейнберга | 2 A n ( q 2 ) n > 1 | 2 А 2 (2 2 ) | 2 А 3 (2 2 ) ≃ В 2 (3) | ||
2 D n ( q 2 ) n > 3 | Никто | Никто | |||
Исключительные группы Штейнберга | 2 E 6 ( q 2 ) | Никто | Никто | ||
3 Д 4 ( квартал 3 ) | Никто | Никто | |||
Группы Сузуки | 2 В 2 ( q ) q = 2 2 n +1 n ≥ 1 | Никто | Никто | ||
Ри группы + синицы группа | 2 F 4 ( q ) q = 2 2 n +1 n ≥ 1 | Никто | Никто | ||
2 Ж 4 (2) ′ | 2 12 (2 6 + 1) (2 4 - 1) (2 3 + 1) (2 - 1) / 2 =17 971 200 | ||||
2 G 2 ( q ) q = 3 2 n +1 n ≥ 1 | Никто | Никто | |||
Матье группы | П 11 | 7920 | |||
M 12 | 95 040 | ||||
П 22 | 443 520 | ||||
П 23 | 10 200 960 | ||||
M 24 | 244 823 040 | ||||
Янко группы | J 1 | 175 560 | |||
J 2 | 604 800 | ||||
J 3 | 50 232 960 | ||||
J 4 | 86 775 571 046 077 562 880 | ||||
Конвей группы | Co 3 | 495 766 656 000 | |||
Co 2 | 42 305 421 312 000 | ||||
Co 1 | 4 157 776 806 543 360 000 | ||||
Группы Фишера | Fi 22 | 64 561 751 654 400 | |||
Fi 23 | 4 089 470 473 293 004 800 | ||||
Fi 24 ' | 1 255 205 709 190 661 721 292 800 | ||||
Группа Хигмана – Симса | HS | 44 352 000 | |||
Группа Маклафлина | McL | 898 128 000 | |||
Проведенная группа | Он | 4 030 387 200 | |||
Группа Рудвалис | RU | 145 926 144 000 | |||
Suzuki спорадическая группа | Suz | 448 345 497 600 | |||
О'Нан группа | НА | 460 815 505 920 | |||
Группа Харада – Нортон | HN | 273 030 912 000 000 | |||
Лионская группа | Ly | 51 765 179 004 000 000 | |||
Группа Томпсона | Чт | 90 745 943 887 872 000 | |||
Группа Baby Monster | B | 4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000 | |||
Группа монстров | M | 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 |
Циклические группы , Z p
Простота: просто для простого числа p .
Заказ: p
Множитель Шура: Тривиально.
Группа внешних автоморфизмов: Циклические порядка p - 1.
Другие названия: Z / p Z, C p
Примечания: Это единственные простые группы, которые не идеальны .
Чередующиеся группы , A n , n > 4
Простота: разрешима для n <5, в остальном просто.
Порядок: n ! / 2, если n > 1.
Множитель Шура: 2 для n = 5 или n > 7, 6 для n = 6 или 7; см. Накрывающие группы знакопеременной и симметрической групп
Группа внешних автоморфизмов: Общие 2. Исключения: при n = 1, n = 2 она тривиальна, а при n = 6 имеет порядок 4 (элементарный абелев).
Другие названия: Alt n .
Изоморфизмы: A 1 и A 2 тривиальны. A 3 циклично порядка 3. A 4 изоморфно A 1 (3) (разрешимо). A 5 изоморфен A 1 (4) и A 1 (5). A 6 изоморфна A 1 (9) и производной группе B 2 (2) ′. A 8 изоморфен A 3 (2).
Примечание: индекс 2 подгруппы симметрической группы перестановок из п точек при п > 1.
Группы лиева типа
Обозначения: n - положительное целое число, q > 1 - степень простого числа p и порядок некоторого лежащего в основе конечного поля . Порядок группы внешних автоморфизмов записывается как d ⋅ f ⋅ g , где d - порядок группы «диагональных автоморфизмов», f - порядок (циклической) группы «полевых автоморфизмов» (порожденных группой Фробениуса автоморфизм ), а g - порядок группы «автоморфизмов графа» (происходящих из автоморфизмов диаграммы Дынкина ). Группа внешних автоморфизмов изоморфна полупрямому произведению где все эти группы циклические соответствующих порядков d, f, g , кроме типа, нечетное, где группа порядка является , и (только когда ) , симметрическая группа на трех элементах. Обозначение ( a , b ) представляет собой наибольший общий делитель целых чисел a и b .
Группы Шевалле , A n ( q ), B n ( q ) n > 1, C n ( q ) n > 2, D n ( q ) n > 3
Группы Шевалле , линейные группы A n ( q ) | Группы Шевалле , B n ( q ) n > 1 ортогональных групп | Группы Шевалле , C n ( q ) n > 2 симплектических групп | Группы Шевалле , D n ( q ) n > 3 ортогональных групп | |
---|---|---|---|---|
Простота | A 1 (2) и A 1 (3) разрешимы, остальные простые. | B 2 (2) не простая, но ее производная группа B 2 (2) ′ является простой подгруппой индекса 2; остальные просты. | Все просто | Все просто |
Заказ | ||||
Множитель Шура | Для простых групп он является циклическим порядка ( n +1, q −1), за исключением A 1 (4) (порядок 2), A 1 (9) (порядок 6), A 2 (2) (порядок 2), A 2 (4) (порядок 48, произведение циклических групп порядков 3, 4, 4), A 3 (2) (порядок 2). | (2, q −1) за исключением B 2 (2) = S 6 (порядок 2 для B 2 (2), порядок 6 для B 2 (2) ′) и B 3 (2) (порядок 2) и B 3 (3) (заказ 6). | (2, q −1) за исключением C 3 (2) (порядок 2). | Порядок равен (4, q n −1) (циклический для нечетных n , элементарный абелев для n четных) за исключением D 4 (2) (порядок 4, элементарный абелев). |
Группа внешних автоморфизмов | (2, q −1) ⋅ f ⋅1 для n = 1; ( n +1, q −1) ⋅ f ⋅2 для n > 1, где q = p f | (2, q −1) ⋅ f ⋅1 для нечетных q или n > 2; (2, q −1) ⋅ f ⋅2 для четных q и n = 2, где q = p f | (2, q −1) ⋅ f ⋅1, где q = p f | (2, q −1) 2 ⋅ f ⋅ S 3 для n = 4, (2, q −1) 2 ⋅ f ⋅2 для n > 4 четных, (4, q n −1) ⋅ f ⋅2 для n odd, где q = p f , а S 3 - симметрическая группа порядка 3! на 3 балла. |
Другие названия | Проективные специальные линейные группы , PSL n +1 ( q ), L n +1 ( q ), PSL ( n + 1, q ) | O 2 n +1 ( q ), Ω 2 n +1 ( q ) (для нечетного q ). | Проективная симплектическая группа, PSp 2 n ( q ), PSp n ( q ) (не рекомендуется), S 2 n ( q ), абелева группа (архаическая). | O 2 n + ( q ), PΩ 2 n + ( q ). « Гипоабелева группа » - архаичное название этой группы в характеристике 2. |
Изоморфизмы | A 1 (2) изоморфна симметрической группе в 3 точках порядка 6. A 1 (3) изоморфна знакопеременной группе A 4 (разрешимая). A 1 (4) и A 1 (5) изоморфны знакопеременной группе A 5 . A 1 (7) и A 2 (2) изоморфны. A 1 (8) изоморфна производной группе 2 G 2 (3) ′. A 1 (9) изоморфна A 6 и производной группе B 2 (2) ′. A 3 (2) изоморфен A 8 . | B n (2 m ) изоморфен C n (2 m ). B 2 (2) изоморфна симметрической группе в 6 точках, а производная группа B 2 (2) ′ изоморфна A 1 (9) и A 6 . B 2 (3) изоморфен 2 A 3 (2 2 ). | C n (2 m ) изоморфен B n (2 m ) | |
Замечания | Эти группы получаются из общих линейных групп GL n +1 ( q ) взятием элементов определителя 1 (что дает специальные линейные группы SL n +1 ( q )) и последующим факторизацией по центру. | Это группа, полученная из ортогональной группы в размерности 2 n + 1 путем взятия ядра детерминанта и отображения спинорной нормы . B 1 ( q ) также существует, но совпадает с A 1 ( q ). B 2 ( q ) имеет нетривиальный графовый автоморфизм, когда q является степенью двойки. | Эта группа получается из симплектической группы в 2 n измерениях путем факторизации центра. C 1 ( q ) также существует, но совпадает с A 1 ( q ). C 2 ( q ) также существует, но совпадает с B 2 ( q ). | Это группа, полученная из расщепленной ортогональной группы в размерности 2 n путем взятия ядра определителя (или инварианта Диксона в характеристике 2) и отображения спинорной нормы с последующим уничтожением центра. Группы типа D 4 имеют необычно большую группу диаграммных автоморфизмов порядка 6, содержащую тройственный автоморфизм. D 2 ( q ) также существует, но это то же самое, что A 1 ( q ) × A 1 ( q ). D 3 ( q ) также существует, но совпадает с A 3 ( q ). |
Группы Шевалле , E 6 ( q ), E 7 ( q ), E 8 ( q ), F 4 ( q ), G 2 ( q )
Группы Шевалле , E 6 ( q ) | Группы Шевалле , E 7 ( q ) | Группы Шевалле , E 8 ( q ) | Группы Шевалле , F 4 ( q ) | Группы Шевалле , G 2 ( q ) | |
---|---|---|---|---|---|
Простота | Все просто | Все просто | Все просто | Все просто | G 2 (2) не простая, но ее производная группа G 2 (2) ′ является простой подгруппой индекса 2; остальные просты. |
Заказ | q 36 ( q 12 -1) ( q 9 -1) ( q 8 -1) ( q 6 -1) ( q 5 -1) ( q 2 -1) / (3, q -1) | q 63 ( q 18 −1) ( q 14 −1) ( q 12 −1) ( q 10 −1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 2 −1) / (2, q - 1) | q 120 ( q 30 -1) ( q 24 -1) ( q 20 -1) ( q 18 -1) ( q 14 -1) ( q 12 -1) ( q 8 -1) ( q 2 -1) | q 24 ( q 12 -1) ( q 8 -1) ( q 6 -1) ( q 2 -1) | q 6 ( q 6 −1) ( q 2 −1) |
Множитель Шура | (3, q −1) | (2, q −1) | Банальный | Тривиально, за исключением F 4 (2) (порядок 2) | Тривиально для простых групп, за исключением G 2 (3) (порядок 3) и G 2 (4) (порядок 2). |
Группа внешних автоморфизмов | (3, q −1) ⋅ f ⋅2, где q = p f | (2, q −1) ⋅ f ⋅1, где q = p f | 1⋅ f ⋅1, где q = p f | 1⋅ f ⋅1 для нечетных q , 1⋅ f ⋅2 для четных q , где q = p f | 1⋅ f ⋅1, если q не является степенью 3, 1⋅ f ⋅2, если q степенью 3, где q = p f |
Другие названия | Исключительная группа Chevalley | Исключительная группа Chevalley | Исключительная группа Chevalley | Исключительная группа Chevalley | Исключительная группа Chevalley |
Изоморфизмы | Производная группа G 2 (2) ′ изоморфна 2 A 2 (3 2 ). | ||||
Замечания | Имеет два представления размерности 27 и действует в алгебре Ли размерности 78. | Имеет представления размерности 56 и действует на соответствующей алгебре Ли размерности 133. | Он действует на соответствующей алгебре Ли размерности 248. E 8 (3) содержит простую группу Томпсона. | Эти группы действуют на 27-мерных исключительных йордановых алгебрах , что дает им 26-мерные представления. Они также действуют на соответствующие алгебры Ли размерности 52. F 4 ( q ) имеет нетривиальный графовый автоморфизм, когда q является степенью двойки. | Эти группы являются группами автоморфизмов 8-мерных алгебр Кэли над конечными полями, что дает им 7-мерные представления. Они также действуют на соответствующие алгебры Ли размерности 14. G 2 ( q ) имеет нетривиальный графовый автоморфизм, когда q является степенью 3. Более того, они появляются как группы автоморфизмов некоторых геометрий точечных линий, называемых расщепленными обобщенными шестиугольниками Кэли. . |
Группы Стейнберга , 2 A n ( q 2 ) n > 1, 2 D n ( q 2 ) n > 3, 2 E 6 ( q 2 ), 3 D 4 ( q 3 )
Группы Стейнберга , 2 A n ( q 2 ) n > 1 унитарные группы | Группы Стейнберга , 2 D n ( q 2 ) n > 3 ортогональных группы | Группы Стейнберга , 2 E 6 ( q 2 ) | Группы Стейнберга , 3 D 4 ( q 3 ) | |
---|---|---|---|---|
Простота | 2 A 2 (2 2 ) разрешима, остальные простые. | Все просто | Все просто | Все просто |
Заказ | q 36 ( q 12 −1) ( q 9 +1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 5 +1) ( q 2 −1) / (3, q +1) | q 12 ( q 8 + q 4 +1) ( q 6 −1) ( q 2 −1) | ||
Множитель Шура | Циклический порядок ( n +1, q +1) для простых групп, за исключением 2 A 3 (2 2 ) (порядок 2), 2 A 3 (3 2 ) (порядок 36, произведение циклических групп порядков 3, 3,4), 2 A 5 (2 2 ) (порядок 12, произведение циклических групп порядков 2,2,3) | Цикл порядка (4, q n +1) | (3, q +1) за исключением 2 E 6 (2 2 ) (порядок 12, произведение циклических групп порядков 2,2,3). | Банальный |
Группа внешних автоморфизмов | ( n +1, q +1) ⋅ f ⋅1, где q 2 = p f | (4, q n +1) ⋅ f ⋅1, где q 2 = p f | (3, q +1) ⋅ f ⋅1, где q 2 = p f | 1⋅ f ⋅1, где q 3 = p f |
Другие названия | Скрученная группа Шевалле, проективная специальная унитарная группа, PSU n +1 ( q ), PSU ( n + 1, q ), U n +1 ( q ), 2 A n ( q ), 2 A n ( q , q 2 ) | 2 D n ( q ), O 2 n - ( q ), PΩ 2 n - ( q ), скрученная группа Шевалле. «Гипоабелева группа» - архаичное название этой группы в характеристике 2. | 2 E 6 ( q ), скрученная группа Шевалле | 3 D 4 ( q ), D 4 2 ( q 3 ), скрученные группы Шевалле |
Изоморфизмы | Разрешимая группа 2 A 2 (2 2 ) изоморфна расширению группы кватернионов порядка 8 с помощью элементарной абелевой группы порядка 9. 2 A 2 (3 2 ) изоморфна производной группе G 2 (2) ′. 2 A 3 (2 2 ) изоморфен B 2 (3). | |||
Замечания | Это получается из унитарной группы в п + 1 измерениях, принимая подгруппу элементов определителем 1 , а затем Факторизуя из по центру. | Это группа, полученная из нерасщепленной ортогональной группы в размерности 2 n путем взятия ядра определителя (или инварианта Диксона в характеристике 2) и отображения спинорной нормы с последующим уничтожением центра. 2 D 2 ( q 2 ) также существует, но совпадает с A 1 ( q 2 ). 2 D 3 ( q 2 ) также существует, но совпадает с 2 A 3 ( q 2 ). | Одно из исключительных двойных покрытий 2 E 6 (2 2 ) является подгруппой группы маленьких монстров, а исключительное центральное расширение элементарной абелевой группой порядка 4 является подгруппой группы монстров. | 3 D 4 (2 3 ) действует на единственной четной 26-мерной решетке определителя 3 без корней. |
Группы Сузуки , 2 B 2 (2 2 n +1 )
Простота: просто при n ≥ 1. Группа 2 B 2 (2) разрешима.
Порядок: q 2 ( q 2 + 1) ( q - 1), где q = 2 2 n +1 .
Множитель Шура: тривиальный для n 1, элементарный абелев порядка 4 для 2 B 2 (8).
Группа внешних автоморфизмов:
- 1⋅ f ⋅1,
где f = 2 n + 1.
Другие названия: Сузь (2 2 n +1 ), Сз (2 2 n +1 ).
Изоморфизмы: 2 B 2 (2) - группа Фробениуса порядка 20.
Замечания: Группа Сузуки - это группы Цассенхауза, действующие на множествах размера (2 2 n +1 ) 2 + 1 и имеющие 4-мерные представления над полем с 2 2 n +1 элементами. Это единственные нециклические простые группы, порядок которых не делится на 3. Они не связаны со спорадической группой Судзуки.
Группы Ри и Группа Титсов , 2 Ж 4 (2 2 n +1 )
Простота: просто для n ≥ 1. Производная группа 2 F 4 (2) ′ проста индекса 2 в 2 F 4 (2) и называется группой Титса в честь бельгийского математика Жака Титса .
Порядок: q 12 ( q 6 + 1) ( q 4 - 1) ( q 3 + 1) ( q - 1), где q = 2 2 n +1 .
Группа Титсов имеет порядок 17971200 = 2 11 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13.
Множитель Шура: тривиален для n ≥ 1 и для группы Титса.
Группа внешних автоморфизмов:
- 1⋅ f ⋅1,
где f = 2 n + 1. Порядок 2 для группы Титса.
Замечания: В отличие от других простых групп лиева типа, группа Титса не имеет пары BN , хотя ее группа автоморфизмов имеет, поэтому большинство авторов считает ее своего рода почетной группой лиева типа.
Группы Ри , 2 G 2 (3 2 n +1 )
Простота: проста при n ≥ 1. Группа 2 G 2 (3) не проста, но ее производная группа 2 G 2 (3) ′ является простой подгруппой индекса 3.
Порядок: q 3 ( q 3 + 1) ( q - 1), где q = 3 2 n +1
Множитель Шура: тривиален для n ≥ 1 и для 2 G 2 (3) ′.
Группа внешних автоморфизмов:
- 1⋅ f ⋅1,
где f = 2 n + 1.
Другие имена: Ри (3 2 n +1 ), R (3 2 n +1 ), E 2 ∗ (3 2 n +1 ).
Изоморфизмы: производная группа 2 G 2 (3) ′ изоморфна A 1 (8).
Замечания: 2 G 2 (3 2 n +1 ) имеет дважды транзитивное перестановочное представление на 3 3 (2 n +1) + 1 точках и действует в 7-мерном векторном пространстве над полем с 3 2 n +1 элементами.
Спорадические группы
Группы Матье , М 11 , М 12 , М 22 , М 23 , М 24
Группа Матье, М 11 | Группа Матье, М 12 | Группа Матье, М 22 | Группа Матье, М 23 | Группа Матье, М 24 | |
---|---|---|---|---|---|
Заказ | 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11 = 7920 | 2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 95040 | 2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 443520 | 2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 10200960 | 2 10 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 244823040 |
Множитель Шура | Банальный | Заказ 2 | Цикл порядка 12 [а] | Банальный | Банальный |
Группа внешних автоморфизмов | Банальный | Заказ 2 | Заказ 2 | Банальный | Банальный |
Замечания | 4-транзитивная группа перестановок на 11 точках, которая является точечным стабилизатором M 12 (в 5-транзитивном 12-точечном представлении перестановок M 12 ). Группа M 11 также содержится в M 23 . Подгруппа M 11, фиксирующая точку в 4-транзитивном 11-точечном представлении перестановки, иногда называется M 10 , и имеет подгруппу индекса 2, изоморфную альтернированной группе A 6 . | 5-транзитивная группа перестановок на 12 точках, содержащаяся в M 24 . | 3-транзитивная группа перестановок на 22 точках и является точечным стабилизатором M 23 (в представлении 4-транзитивных 23-точечных перестановок M 23 ). Подгруппа группы M 22, фиксирующая точку в 3-транзитивном представлении перестановки с 22 точками, иногда называется M 21 , и она изоморфна PSL (3,4) (т. Е. Изоморфна A 2 (4)). | 4-транзитивная группа перестановок на 23 точках и является точечным стабилизатором M 24 (в 5-транзитивном 24-точечном представлении перестановок M 24 ). | 5-транзитивная группа перестановок по 24 точкам. |
Группы Янко , J 1 , J 2 , J 3 , J 4
Янко группа, J 1 | Янко группа, J 2 | Группа Янко, J 3 | Группа Янко, J 4 | |
---|---|---|---|---|
Заказ | 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 175560 | 2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 = 604800 | 2 7 ⋅ 3 5 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 19 = 50232960 | 2 21 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 3 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 43 = 86775571046077562880 |
Множитель Шура | Банальный | Заказ 2 | Заказ 3 | Банальный |
Группа внешних автоморфизмов | Банальный | Заказ 2 | Заказ 2 | Банальный |
Другие названия | Дж (1), Дж (11) | Холл – Янко группа, HJ | Группа Хигмана – Янко – Маккея, HJM | |
Замечания | Это подгруппа группы G 2 (11), поэтому она имеет 7-мерное представление над полем с 11 элементами. | Группа автоморфизмов J 2 : 2 группы J 2 является группой автоморфизмов графа ранга 3 на 100 точках, называемого графом Холла-Янко . Это также группа автоморфизмов правильного около восьмиугольника, называемого около восьмиугольника Холла-Янко. Группа J 2 содержится в G 2 (4). | J 3 не имеет отношения ни к каким другим спорадическим группам (или к чему-либо еще). Его тройное покрытие имеет 9-мерное унитарное представление над полем из 4 элементов. | Имеет 112-мерное представление над полем с 2 элементами. |
Группы Конвея , Co 1 , Co 2 , Co 3
Конвей группа, Co 1 | Конвей группа, Co 2 | Конвей группа, компания 3 | |
---|---|---|---|
Заказ | 2 21 ⋅ 3 9 ⋅ 5 4 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 23 = 4157776806543360000 | 2 18 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 42305421312000 | 2 10 ⋅ 3 7 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 495766656000 |
Множитель Шура | Заказ 2 | Банальный | Банальный |
Группа внешних автоморфизмов | Банальный | Банальный | Банальный |
Другие названия | · 1 | · 2 | · 3, С 3 |
Замечания | Совершенное двойное покрытие Co 0 группы Co 1 является группой автоморфизмов решетки Лича и иногда обозначается через · 0. | Подгруппа Co 0 ; фиксирует вектор нормы 4 в решетке Лича . | Подгруппа Co 0 ; фиксирует вектор нормы 6 в решетке Пиявки . Он имеет дважды транзитивное перестановочное представление на 276 точках. |
Группы Фишера , Fi 22 , Fi 23 , Fi 24 ′
Группа Фишера, Fi 22 | Группа Фишера, Fi 23 | Группа Фишера, Fi 24 ′ | |
---|---|---|---|
Заказ | 2 17 ⋅ 3 9 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 64561751654400 | 2 18 ⋅ 3 13 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 = 4089470473293004800 | 2 21 ⋅ 3 16 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 ⋅ 29 = 1255205709190661721292800 |
Множитель Шура | Заказ 6 | Банальный | Заказ 3 |
Группа внешних автоморфизмов | Заказ 2 | Банальный | Заказ 2 |
Другие названия | M (22) | M (23) | М (24) ′, Ж 3+ |
Замечания | Группа с 3 транспозициями, двойное покрытие которой содержится в Fi 23 . | Группа с 3 транспозициями, содержащаяся в Fi 24 '. | Тройная обложка содержится в группе монстров. |
Группа Хигмана – Симса , HS
Порядок: 2 9 ⋅ 3 2 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000
Множитель Шура: Заказ 2.
Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.
Примечания: он действует как группа перестановок ранга 3 на графе Хигмана Симса со 100 точками и содержится в Co 2 и в Co 3 .
Группа Маклафлина , McL
Порядок: 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000
Множитель Шура: Порядок 3.
Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.
Примечания: действует как группа перестановок ранга 3 на графе Маклафлина с 275 точками и содержится в Co 2 и в Co 3 .
Проведенная группа , Он
Порядок: 2 10 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 ⋅ 17 = 4030387200
Множитель Шура: Тривиально.
Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.
Другие названия: Held – Higman – McKay group, HHM, F 7 , HTH.
Примечания: Централизует элемент порядка 7 в группе монстров.
Группа Рудвалис , Ру
Порядок: 2 14 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000
Множитель Шура: Заказ 2.
Группа внешних автоморфизмов: тривиально.
Замечания: двойное покрытие действует на 28-мерную решетку над целыми гауссовскими числами .
Suzuki спорадическая группа , Suz
Порядок: 2 13 ⋅ 3 7 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600
Множитель Шура: Порядок 6.
Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.
Другие названия: Sz
Примечания: 6-кратное покрытие действует на 12-мерную решетку над целыми числами Эйзенштейна . Это не связано с группами Сузуки лиева типа.
Группа О'Нан, О'Н
Порядок: 2 9 ⋅ 3 4 ⋅ 5 ⋅ 7 3 ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920
Множитель Шура: Порядок 3.
Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.
Другие названия: O'Nan – Sims group, O'NS, O – S.
Замечания: тройное покрытие имеет два 45-мерных представления над полем из 7 элементов, замененных внешним автоморфизмом.
Группа Харада – Нортон , HN
Порядок: 2 14 ⋅ 3 6 ⋅ 5 6 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000
Множитель Шура: Тривиально.
Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.
Другие названия: F 5 , D
Примечания: Централизует элемент 5-го порядка в группе монстров.
Лионская группа , Ly
Порядок: 2 8 ⋅ 3 7 ⋅ 5 6 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000
Множитель Шура: Тривиально.
Группа внешних автоморфизмов: тривиально.
Другие названия: Lyons – Sims group, LyS.
Примечания: Имеет 111-мерное представление над полем с 5 элементами.
Группа Томпсона , Th
Порядок: 2 15 ⋅ 3 10 ⋅ 5 3 ⋅ 7 2 ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000
Множитель Шура: Тривиально.
Группа внешних автоморфизмов: тривиально.
Другие названия: F 3 , E
Примечания: Централизует элемент 3-го порядка в монстре и содержится в E 8 (3), поэтому имеет 248-мерное представление над полем с 3 элементами.
Группа Baby Monster , B
Заказ:
- 2 41 ⋅ 3 13 ⋅ 5 6 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47
- = 4154781481226426191177580544000000
Множитель Шура: Заказ 2.
Группа внешних автоморфизмов: тривиально.
Другие названия: F 2
Примечания: Двойная крышка содержится в группе монстров. Он имеет представление размерности 4371 над комплексными числами (без нетривиального инвариантного произведения) и представление размерности 4370 над полем с 2 элементами, сохраняющими коммутативный, но неассоциативный продукт.
Группа монстров Фишера – Грисса , M
Заказ:
- 2 46 ⋅ 3 20 ⋅ 5 9 ⋅ 7 6 ⋅ 11 2 ⋅ 13 3 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71
- = 808017424794512875886459904961710757005754368000000000
Множитель Шура: Тривиально.
Группа внешних автоморфизмов: тривиально.
Другие названия: F 1 , M 1 , Группа монстров, Дружелюбный великан, чудовище Фишера.
Примечания. Содержит все остальные спорадические группы, кроме 6, в качестве подфакторов. Относится к чудовищному самогону . Монстр является группой автоморфизмов 196 883-мерной алгебры Грисса и бесконечномерной алгебры вершинных операторов монстра и естественным образом действует на алгебре Ли монстров .
Нециклические простые группы малого порядка
Заказ | Заказ с факторингом | Группа | Множитель Шура | Группа внешних автоморфизмов |
---|---|---|---|---|
60 | 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 | А 5 = А 1 (4) = А 1 (5) | 2 | 2 |
168 | 2 3 ⋅ 3 ⋅ 7 | А 1 (7) = А 2 (2) | 2 | 2 |
360 | 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 | А 6 = А 1 (9) = В 2 (2) ′ | 6 | 2 × 2 |
504 | 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 7 | А 1 (8) = 2 G 2 (3) ′ | 1 | 3 |
660 | 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 | А 1 (11) | 2 | 2 |
1092 | 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13 | А 1 (13) | 2 | 2 |
2448 | 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 17 | А 1 (17) | 2 | 2 |
2520 | 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 | А 7 | 6 | 2 |
3420 | 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 19 | А 1 (19) | 2 | 2 |
4080 | 2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 17 | А 1 (16) | 1 | 4 |
5616 | 2 4 ⋅ 3 3 ⋅ 13 | А 2 (3) | 1 | 2 |
6048 | 2 5 ⋅ 3 3 ⋅ 7 | 2 A 2 (9) = G 2 (2) ′ | 1 | 2 |
6072 | 2 3 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 23 | А 1 (23) | 2 | 2 |
7800 | 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13 | А 1 (25) | 2 | 2 × 2 |
7920 | 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11 | П 11 | 1 | 1 |
9828 | 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 7 ⋅ 13 | А 1 (27) | 2 | 6 |
12180 | 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 29 | А 1 (29) | 2 | 2 |
14880 | 2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 31 | А 1 (31) | 2 | 2 |
20160 | 2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 | А 3 (2) = А 8 | 2 | 2 |
20160 | 2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 | А 2 (4) | 3 × 4 2 | D 12 |
25308 | 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 19 ⋅ 37 | А 1 (37) | 2 | 2 |
25920 | 2 6 ⋅ 3 4 ⋅ 5 | 2 А 3 (4) = В 2 (3) | 2 | 2 |
29120 | 2 6 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13 | 2 В 2 (8) | 2 2 | 3 |
32736 | 2 5 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 31 | А 1 (32) | 1 | 5 |
34440 | 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 41 | А 1 (41) | 2 | 2 |
39732 | 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 43 | А 1 (43) | 2 | 2 |
51888 | 2 4 ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 47 | А 1 (47) | 2 | 2 |
58800 | 2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2 | А 1 (49) | 2 | 2 2 |
62400 | 2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13 | 2 А 2 (16) | 1 | 4 |
74412 | 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 13 ⋅ 53 | А 1 (53) | 2 | 2 |
95040 | 2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11 | M 12 | 2 | 2 |
(Выполнено для заказов менее 100000)
Холл (1972) перечисляет 56 нециклических простых групп порядка меньше миллиона.
Смотрите также
- Список малых групп
Заметки
- ^ При начальных расчетах множителя Шура было допущено несколько ошибок, поэтому в некоторых старых книгах и статьях указаны неверные значения. (Это вызвало ошибку в названии оригинальной статьи Янко 1976 года [1], свидетельствующей о существовании группы J 4. В то время считалось, что группа полного покрытия M 22 составляла 6⋅M 22. Фактически J 4 не имеет подгруппы 12⋅M 22. )
Рекомендации
- ↑ З. Янко (1976). «Новая конечная простая группа порядка 86,775,571,046,077,562,880, которая обладает M 24 и полной накрывающей группой M 22 в качестве подгрупп» . J. Алгебра . 42 : 564–596. DOI : 10.1016 / 0021-8693 (76) 90115-0 .
дальнейшее чтение
- Простые группы типа Ли по Роджеру У. Картер , ISBN 0-471-50683-4
- Конвей, Дж. Х .; Кертис, RT; Нортон, ИП ; Паркер, РА; и Уилсон, Р.А .: " Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп". Оксфорд, Англия, 1985.
- Дэниел Горенштейн , Ричард Лайонс, Рональд Соломон Классификация конечных простых групп (том 1) , AMS, 1994 (том 3) , AMS, 1998
- Холл, Маршалл-младший (1972), «Простые группы порядка менее одного миллиона», Journal of Algebra , 20 : 98–102, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (72) 90090-7 , ISSN 0021-8693 , MR 0285603
- Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для выпускников по математике 251, 251 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012
- Атлас представлений конечных групп : содержит представления и другие данные для многих конечных простых групп, включая спорадические группы.
- Порядки неабелевых простых групп до 10 10 и до 10 48 с ограничениями по рангу.
Внешние ссылки
- Порядки неабелевых простых групп до 10 000 000 000.