Накрывающие группы знакопеременной и симметричной групп

В математической области теории групп , то покрывающие группы чередующихся и симметричных групп являются группы, которые используются для понимания проективных представлений о чередующихся и симметричных группах . Группы покрытий были классифицированы в ( Schur 1911 ): для n ≥ 4 группы покрытий являются двумерными покрытиями, за исключением альтернированных групп степени 6 и 7, где покрытия являются шестикратными.

Например, бинарная группа икосаэдра покрывает группу икосаэдра , альтернированную группу степени 5, а бинарная группа тетраэдра охватывает группу тетраэдра , альтернированную группу степени 4.

Определение и классификация [ править ]

Групповой гомоморфизм из D в G называется накрытием Шура конечной группы G, если:

1. ядро содержится как в центре, так и в коммутаторе группы D , и
2. среди всех таких гомоморфизмов этот D имеет максимальный размер.

Щур множитель из G является ядром любого покрытия Шур и имеет множество интерпретаций. Когда гомоморфизм понят, группу D часто называют покрытием Шура или Darstellungsgruppe.

Накрытия Шура симметрической и знакопеременной групп классифицированы в ( Schur 1911 ). Симметрическая группа степени n ≥ 4 имеет два класса изоморфизма покрытий Шура, оба порядка 2⋅ n !, А знакопеременная группа степени n имеет один класс изоморфизма накрытий Шура, который имеет порядок n ! кроме случаев, когда n равно 6 или 7, и в этом случае покрытие Шура имеет порядок 3⋅ n !.

Конечные представления [ править ]

Покрытия Шура можно описать с помощью конечных представлений . Симметрическая группа S _n имеет представление на n - 1 образующих t _i для i = 1, 2, ..., n - 1 и соотношениях

t _i t _i = 1, для 1 ≤ i ≤ n −1

t _{i +1} t _i t _{i +1} = t _i t _{i +1} t _i , для 1 ≤ i ≤ n −2

t _j t _i = t _i t _j , если 1 ≤ i < i +2 ≤ j ≤ n −1.

Эти соотношения можно использовать для описания двух неизоморфных накрытий симметрической группы. Одна накрывающая группа имеет образующие z , t ₁ , ..., t _{n −1} и соотношения:${\ Displaystyle 2 \ cdot S_ {п} ^ {-}}$

zz = 1

t _i t _i = z , для 1 ≤ i ≤ n −1

t _{i +1} t _i t _{i +1} = t _i t _{i +1} t _i , для 1 ≤ i ≤ n −2

t _j t _i = t _i t _j z , если 1 ≤ i < i +2 ≤ j ≤ n −1.

Этой же группе можно дать следующее представление с использованием генераторов z и s _i, задаваемых t _i или t _i z в зависимости от того, является ли i нечетным или четным:${\ Displaystyle 2 \ cdot S_ {п} ^ {-}}$

zz = 1

s _i s _i = z , для 1 ≤ i ≤ n −1

s _{i +1} s _i s _{i +1} = s _i s _{i +1} s _i z , для 1 ≤ i ≤ n −2

s _j s _i = s _i s _j z , для 1 ≤ i < i +2 ≤ j ≤ n −1.

Другая группа покрытий имеет образующие z , t ₁ , ..., t _{n −1} и соотношения:${\ Displaystyle 2 \ cdot S_ {п} ^ {+}}$

zz = 1, zt _i = t _i z , для 1 ≤ i ≤ n −1

t _i t _i = 1, для 1 ≤ i ≤ n −1

t _{i +1} t _i t _{i +1} = t _i t _{i +1} t _i z , для 1 ≤ i ≤ n −2

t _j t _i = t _i t _j z , если 1 ≤ i < i +2 ≤ j ≤ n −1.

Этой же группе можно дать следующее представление с использованием генераторов z и s _i, задаваемых t _i или t _i z в зависимости от того, является ли i нечетным или четным:${\ Displaystyle 2 \ cdot S_ {п} ^ {+}}$

zz = 1, zs _i = s _i z , для 1 ≤ i ≤ n −1

s _i s _i = 1, для 1 ≤ i ≤ n −1

s _{i +1} s _i s _{i +1} = s _i s _{i +1} s _i , для 1 ≤ i ≤ n −2

s _j s _i = s _i s _j z , для 1 ≤ i < i +2 ≤ j ≤ n −1.

Иногда все отношения симметрической группы выражаются как ( t _i t _j ) ^{m _ij} = 1, где m _ij - неотрицательные целые числа, а именно m _ii = 1, m _{i , i +1} = 3 и m _ij = 2, если 1 ≤ i < i +2 ≤ j ≤ n −1. Представление становится особенно простым в такой форме: ( t _i t _j ) ^{m _ij} = z , а zz${\ Displaystyle 2 \ cdot S_ {п} ^ {-}}$= 1. Группа обладает тем замечательным свойством, что все ее генераторы имеют порядок 2.${\ Displaystyle 2 \ cdot S_ {п} ^ {+}}$

Проективные представления [ править ]

Накрывающие группы были введены Иссаи Шуром для классификации проективных представлений групп. (Комплексное) линейное представление группы G - это гомоморфизм группы G → GL ( n , C ) из группы G в общую линейную группу , а проективное представление - это гомоморфизм G → PGL ( n , C ) из G в проективная линейная группа . Проективные представления группы Gестественно соответствует линейным представлениям накрывающей группы G .

Проективные представления знакопеременных и симметричных групп являются предметом книги ( Hoffman & Humphreys, 1992 ).

Интегральные гомологии [ править ]

Накрывающие группы соответствуют второй группе гомологий группы, H ₂ ( G , Z ), также известной как множитель Шура . Множители Шура знакопеременных групп A _n (в случае, когда n не меньше 4) являются циклическими группами порядка 2, за исключением случая, когда n равно 6 или 7, и в этом случае также имеется тройное покрытие. В этих случаях множитель Шура - это циклическая группа порядка 6, а покрывающая группа - это 6-кратное покрытие.

H ₂ ( A _n , Z ) = 0 для n ≤ 3

H ₂ ( A _n , Z ) = Z / 2 Z для n = 4, 5

H ₂ ( A _n , Z ) = Z / 6 Z для n = 6, 7

H ₂ ( A _n , Z ) = Z / 2 Z для n ≥ 8

Для симметрической группы множитель Шура обращается в нуль при n ≤ 3 и является циклической группой порядка 2 при n ≥ 4:

H ₂ ( S _n , Z ) = 0 для n ≤ 3

H ₂ ( S _n , Z ) = Z / 2 Z для n ≥ 4

Строительство двойных крышек [ править ]

Двойное покрытие знакопеременной группы может быть построено с помощью спинового представления, которое покрывает обычное линейное представление знакопеременной группы.

Двойные покрытия могут быть построены как спиновые (соответственно пин-накрытия) точных неприводимых линейных представлений A _n и S _n . Эти спиновые представления существуют для всех n, но являются покрывающими группами только для n≥4 (n ≠ 6,7 для A _n ). При n ≤3 S _n и A _n являются собственными покрытиями Шура.

Чередующаяся группа, симметричная группа и их двойные покрытия связаны таким образом и имеют ортогональные представления и покрывающие представления спина / штифта на соответствующей диаграмме ортогональных групп и групп спина / штифта .

Явно S _n действует в n -мерном пространстве R ⁿ путем перестановки координат (в матрицах, как перестановочные матрицы ). Это имеет одномерное тривиальное подпредставление, соответствующее векторам со всеми равными координатами, а дополнительное ( n −1) -мерное подпредставление (векторов, сумма координат которых равна 0) неприводимо для n≥4. Геометрически это симметрии ( n −1) - симплекса , а алгебраически это дает карты и выражает их как дискретные подгруппы ( точечные группы ). Специальная ортогональная группа имеет 2-кратное покрытие${\ displaystyle A_ {n} \ hookrightarrow \ operatorname {SO} (n-1)}$${\ displaystyle S_ {n} \ hookrightarrow \ operatorname {O} (n-1)}$вращение группы и ограничение этого покрытия и взятие прообраза дает 2-кратное покрытие . Аналогичная конструкция с группой контактов дает 2-кратное покрытие симметричной группы: поскольку есть две группы контактов, есть две отдельные 2-кратные крышки симметрической группы 2⋅ S _n ^± , также называемой и .${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (n) \ to \ operatorname {SO} (n),}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle 2 \ cdot A_ {n} \ to A_ {n}.}$${\ displaystyle \ operatorname {Pin} _ {\ pm} (n) \ to \ operatorname {O} (n).}$${\ displaystyle {\ tilde {S}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {n}}$

Построение тройного покрытия для n  = 6, 7 [ править ]

Тройное покрытие обозначенного и соответствующее тройное покрытие обозначенного могут быть построены как симметрии некоторого множества векторов в комплексном 6-пространстве. В то время как исключительные тройные крышки A ₆ и A ₇ распространяются на расширения из S ₆ и S ₇ , эти расширения не являются центральными и поэтому не образуют Шура крышки.${\ displaystyle A_ {6},}$${\ displaystyle 3 \ cdot A_ {6},}$${\ displaystyle S_ {6},}$${\ displaystyle 3 \ cdot S_ {6},}$

Эта конструкция важна при изучении спорадических групп и во многих случаях исключительного поведения малых классических и исключительных групп, включая: построение группы Матье M ₂₄ , исключительных покрытий проективной унитарной группы и проективной специальной линейной группы. и исключительное двойное накрытие группы лиева типа${\ displaystyle U_ {4} (3)}$ ${\displaystyle L_{3}(4),}$ ${\displaystyle G_{2}(4).}$

Исключительные изоморфизмы [ править ]

Для малых размерностей существуют исключительные изоморфизмы с отображением специальной линейной группы над конечным полем в проективную специальную линейную группу .

При n = 3 симметрическая группа SL (2,2) ≅ PSL (2,2) является своим собственным покрытием Шура.

При n = 4 покрытие Шура знакопеременной группы задается формулой SL (2,3) → PSL (2,3) ≅ A ₄ , которую также можно рассматривать как бинарную группу тетраэдров, покрывающую группу тетраэдров . Аналогично, GL (2,3) → PGL (2,3) ≅ S ₄ является покрытием Шура, но существует второе неизоморфное покрытие Шура S _4, содержащееся в GL (2,9) - обратите внимание, что 9 = 3 ^2, так что это расширение скаляров GL (2,3). С точки зрения изложенного выше, GL (2,3) ≅ Ŝ ₄ .

Для n = 5 покрытие Шура знакопеременной группы задается выражением SL (2,5) → PSL (2,5) ≅ A ₅ , которое также можно рассматривать как бинарную группу икосаэдра, покрывающую группу икосаэдра . Хотя PGL (2,5) ≅ S ₅ , GL (2,5) → PGL (2,5) не является покрытием Шура, поскольку ядро ​​не содержится в производной подгруппе GL (2,5). Покрытие Шура PGL (2,5) содержится в GL (2,25) - как и раньше, 25 = 5 ² , так что это расширяет скаляры.

При n = 6 двойное покрытие знакопеременной группы задается формулой SL (2,9) → PSL (2,9) ≅ A ₆ . Хотя PGL (2,9) содержится в группе автоморфизмов PΓL (2,9) группы PSL (2,9) ≅ A ₆ , PGL (2,9) не изоморфен S ₆ , и его накрытия Шура (которые являются двойные покрытия) не содержатся ни в частном GL (2,9). Обратите внимание, что почти во всех случаях, за исключением A ₆ , из- за исключительного внешнего автоморфизма A 6 . Другой подгруппой группы автоморфизмов A ₆ является M ₁₀ , группа Матье${\displaystyle S_{n}\cong \operatorname {Aut} (A_{n}),}$степени 10, покрытие Шура которой является тройным покрытием. Накрытия Шура самой симметрической группы S ₆ не имеют точных представлений как подгруппа в GL ( d , 9) при d ≤ 3. Четыре накрытия Шура группы автоморфизмов PΓL (2,9) алгебры A ₆ являются двойными накрытиями .

При n = 8 знакопеременная группа A ₈ изоморфна SL (4,2) = PSL (4,2), и поэтому SL (4,2) → PSL (4,2), что соответствует 1-к-1. , а не 2-к-1, это не прикрытие Шура.

Свойства [ править ]

Шура покровы конечных совершенных групп являются superperfect , то есть как их первый и второй интеграл гомологии равны нулю. В частности, двойные покрытия A _n для n ≥ 4 суперсовершенные, за исключением n = 6, 7, а шестикратные покрытия A _n суперсовершенные для n = 6, 7.

Как стержневые расширения простой группы накрывающие группы A _n являются квазипростыми группами при n ≥ 5.

Ссылки [ править ]