Множитель Шура

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Кляйн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Бесплатная группа Модульные группы PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математической теории групп , то мультипликатор Шура или Щур мультипликатор является второй группой гомологии группы G . Он был введен Иссаи Шуром  ( 1904 ) в его работе по проективным представлениям .${\ displaystyle H_ {2} (G, \ mathbb {Z})}$

Примеры и свойства

Мультипликатор Шура конечной группы G является конечной абелевой группой , чей показатель делит порядок G . Если силовская p -подгруппа группы G циклическая для некоторого p , то порядок группы не делится на p . В частности, если все силовские p -подгруппы группы G циклические, то это тривиально.${\ Displaystyle \ OperatorName {M} (G)}$${\ Displaystyle \ OperatorName {M} (G)}$${\ Displaystyle \ OperatorName {M} (G)}$

Например, множитель Шура неабелевой группы порядка 6 является тривиальной группой, поскольку каждая силовская подгруппа циклическая. Множитель Шура элементарной абелевой группы порядка 16 является элементарной абелевой группой порядка 64, показывая, что множитель может быть строго больше, чем сама группа. Множитель Шура группы кватернионов тривиален, но множитель Шура диэдральных 2-групп имеет порядок 2.

Мультипликаторы Шура конечных простых групп указаны в списке конечных простых групп . В покрывающих группах переменного и симметрических группы представляют значительный интерес недавно.

Отношение к проективным представлениям

Первоначальной мотивацией Шура к изучению множителя была классификация проективных представлений группы, и современная формулировка его определения - вторая группа когомологий . Проективное представление во многом похоже на представление группы, за исключением того, что вместо гомоморфизма в общую линейную группу берется гомоморфизм в проективную общую линейную группу . Другими словами, проективное представление - это представление по модулю центра .${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,\mathbb {C} )}$

Шура  ( 1904 , 1907 ) показал , что каждая конечная группу G имеет связанную с ним по меньшей мере , одну конечной группой C , называемой крышкой Шуру , со свойством , что каждое проективное представление G может быть поднято до обычного представления C . Обложка Шура также известна как группа покрытия или Darstellungsgruppe . Накрытия Шура конечных простых групп известны, и каждое из них является примером квазипростой группы . Обложка Шура идеальной группыоднозначно определено с точностью до изоморфизма, но накрытие Шура общей конечной группы определено только с точностью до изоклинизма .

Отношение к центральным пристройкам

Изучение таких накрывающих групп естественным образом привело к изучению центральных и стволовых расширений .

Центральное расширение группы G является расширением

${\displaystyle 1\to K\to C\to G\to 1}$

где является подгруппой из центра в C .${\displaystyle K\leq Z(C)}$

Стволовых расширение группы G является расширением

${\displaystyle 1\to K\to C\to G\to 1}$

где является подгруппой пересечения центра C и коммутанте из C ; это более строгие ограничения, чем центральные. ^[1]${\displaystyle K\leq Z(C)\cap C'}$

Если группа G конечна и рассматриваются только стволовые расширения, то есть максимальный размер для такой группы С , и для каждого C такого размера подгруппа K изоморфна мультипликатора Шура G . Если конечная группа G к тому же совершенна , то C единственна с точностью до изоморфизма и сама совершенна. Такие C часто называют универсальными совершенными центральными расширениями группы G или накрывающей группой (поскольку это дискретный аналог универсального накрывающего пространства в топологии). Если конечная группа Gне совершенен, то его накрывающие группы Шура (все такие C максимального порядка) только изоклинически .

Это также называется более кратко универсальным центральным расширением , но обратите внимание, что не существует наибольшего центрального расширения, поскольку прямое произведение группы G и абелевой группы образует центральное расширение группы G произвольного размера.

Стволовые расширения имеют свойство приятно , что любой подъем порождающего множества G является порождающим множеством C . Если группа G будет представлена в терминах свободной группы F на множестве генераторов и нормальной подгруппы R , порожденного множеством отношений на образующих, так что , то само покрытие группа может быть представлена в терминах F , но с меньшей нормальной подгруппой S , т . е.. Поскольку отношения G определяют элементы K, когда они рассматриваются как часть C , необходимо иметь .${\displaystyle G\cong F/R}$${\displaystyle C\cong F/S}$${\displaystyle S\leq [F,R]}$

Фактически, если G совершенен, это все, что нужно: C ≅ [ F , F ] / [ F , R ] и M ( G ) ≅ K ≅ R / [ F , R ]. Из-за этой простоты такие описания , как ( Aschbacher 2000 , §33), в первую очередь рассматривают идеальный случай. Общий случай для множителя Шура аналогичен, но гарантирует, что расширение является основным расширением, ограничивая производную подгруппу F : M ( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ]) / [ F , R]. Все это несколько более поздние результаты Шура, который также дал ряд полезных критериев для их более точного вычисления.

Отношение к эффективным презентациям

В комбинаторной теории групп группа часто возникает из представления . Одной из важных тем в этой области математики является изучение презентаций с минимально возможным количеством отношений, таких как группы с одним соотношением, такие как группы Баумслага – Солитэра . Эти группы являются бесконечными группами с двумя образующими и одним отношением, и старый результат Шрайера показывает, что в любом представлении с большим количеством образующих, чем отношений, результирующая группа бесконечна. Таким образом, пограничный случай весьма интересен: говорят, что конечные группы с тем же числом образующих, что и отношения, имеют дефектнуль. Чтобы группа имела нулевой дефицит, группа должна иметь тривиальный множитель Шура, потому что минимальное количество образующих множителя Шура всегда меньше или равно разнице между количеством отношений и количеством образующих, что является отрицательным дефицит. Эффективная группа является одним где множитель Щур требует такого количества генераторов. ^[2]

Сравнительно недавняя тема исследований - найти эффективные представления для всех конечных простых групп с тривиальными множителями Шура. Такие презентации в некотором смысле хороши, потому что они обычно короткие, но их трудно найти и с ними работать, потому что они плохо подходят для стандартных методов, таких как перечисление смежных классов .

Отношение к топологии

В топологии группы часто можно описать как конечно определенные группы, и фундаментальный вопрос состоит в том, чтобы вычислить их интегральные гомологии . В частности, вторая гомология играет особую роль, и это привело Хайнца Хопфа к поиску эффективного метода ее вычисления. Метод из ( Hopf 1942 ) также известен как формула интегральной гомологии Хопфа и идентичен формуле Шура для множителя Шура конечной группы:${\displaystyle H_{n}(G,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]}$

где и F - свободная группа. Та же формула верна, когда G - совершенная группа. ^[3]${\displaystyle G\cong F/R}$

Признание того, что эти формулы совпадают, привело Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Мак-Лейна к созданию когомологий групп . В основном,

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}}$

где звездочка обозначает алгебраическую двойственную группу. Более того, когда G конечна, существует неестественный изоморфизм

${\displaystyle {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}\cong H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }).}$

Формула Хопфа для была обобщена на более высокие измерения. Для получения информации об одном подходе и справочных материалах см. Статью Эверарта, Гран и Ван дер Линден, указанную ниже.${\displaystyle H_{2}(G)}$

Совершенной группой является один, первый интеграл гомологии равен нулю. Группа superperfect является тот , чьи первые две интегральные группы гомологии равны нулю. Накрытия Шура конечных совершенных групп суперсовершенные. Ациклическая группа представляет собой группу , у которой вся приведенная целочисленной гомология обращается в нуле.

Приложения

Вторая алгебраические К-группа К ₂ ( R ) коммутативного кольцо R может быть идентифицирована со второй гомологией группы Н ₂ ( Е ( R ), Z ) групп E ( R ) от (бесконечного) элементарных матриц с элементами в R . ^[4]

Смотрите также

• Квазипростая группа

Ссылки Клера Миллера дают другой взгляд на множитель Шура как на ядро ​​морфизма κ: G ∧ G → G, индуцированного коммутаторным отображением.

Примечания

использованная литература