Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья посвящена бесконечному семейству групп лиева типа, найденному Сузуки. Для спорадической простой группы см. Спорадическая группа Сузуки .

В области современной алгебры , известной как теории групп , то группы , Suzuki , обозначаемые Sz (2 2 п +1 ), 2 B 2 (2 2 п + 1 ), Suz (2 2 п +1 ) или G (2 2 n +1 ), образуют бесконечное семейство групп лиева типа, найденных Сузуки  ( 1960 ), простых при n ≥ 1. Эти простые группы - единственные конечные неабелевы группы, порядки которых не делятся на 3.

Конструкции [ править ]

Сузуки [ править ]

Судзуки (1960) первоначально построил группы Судзуки как подгруппы в SL 4 ( F 2 2 n +1 ), порожденные некоторыми явными матрицами.

Ри [ править ]

Ри заметил, что группы Судзуки были неподвижными точками исключительных автоморфизмов некоторых симплектических групп размерности 4, и использовал это для построения двух дополнительных семейств простых групп, названных группами Ри . В низшем случае симплектическая группа B 2 (2) ≈S 6 ; его исключительный автоморфизм фиксирует подгруппу Sz (2) или 2 B 2 (2) порядка 20. Оно ( 1962 ) дал подробное изложение наблюдения Ри.

Сиськи [ править ]

Титс ( 1962 ) построил группы Судзуки как симметрии некоторого овоида в трехмерном проективном пространстве над полем характеристики 2.

Уилсон [ править ]

Уилсон ( 2010 ) построил группы Судзуки как подгруппу симплектической группы в четырех измерениях, сохраняющую некоторое произведение на парах ортогональных векторов.

Свойства [ править ]

Пусть q = 2 2n + 1 , r = 2 n , n неотрицательное целое число.

Группы Сузуки Sz (q) или 2 B 2 (q) просты при n ≥1. Группа Sz (2) разрешима и является группой Фробениуса порядка 20.

Группы Судзуки Sz (q) имеют порядки q 2 ( q 2 +1) ( q −1). Эти группы имеют порядки, кратные 5, а не 3.

Мультипликатор Шура тривиально для п > 1, Клейн 4-группа для п = 1, т.е. Sz (8).

Группа внешних автоморфизмов - это циклическая группа порядка 2 n +1, заданная автоморфизмами поля порядка q .

Группа Сузуки - это группы Цассенхауза, действующие на множествах размера (2 2 n +1 ) 2 +1 и имеющие 4-мерные представления над полем с 2 2 n +1 элементами.

Группы Судзуки являются CN-группами : централизатор любого нетривиального элемента нильпотентен .

Подгруппы [ править ]

Когда n - положительное целое число. Sz (q) имеет не менее 4 типов максимальных подгрупп.

Диагональная подгруппа циклическая, порядка q - 1.

  • Нижнетреугольная (борелевская) подгруппа и сопряженные с ней подгруппы порядка q 2 · (q-1). Они являются одноточечными стабилизаторами в дважды транзитивном перестановочном представлении Sz (q).
  • Группа диэдра D q-1 , нормализатор диагональной подгруппы, и сопряжена.
  • С д + 2р + 1 : 4
  • С q-2r + 1 : 4
  • Меньшие группы Сузуки, когда 2n + 1 составное.

Либо q + 2r + 1, либо q-2r + 1 делится на 5, так что Sz (q) содержит группу Фробениуса C 5 : 4.

Классы сопряженности [ править ]

Судзуки ( 1960 ) показал, что группа Сузуки имеет q +3 классов сопряженности. Из них q +1 сильно вещественны, а два других являются классами элементов порядка 4.

  • q 2 +1 силовские 2-подгруппы порядка q 2 индекса q –1 в их нормализаторах. 1 класс элементов порядка 2, 2 класса элементов порядка 4.
  • q 2 ( q 2 +1) / 2 циклических подгрупп порядка q –1 индекса 2 в их нормализаторах. Они учитывают ( q –2) / 2 классов сопряженности нетривиальных элементов.
  • Циклические подгруппы порядка q +2 r +1 индекса 4 в их нормализаторах. Они учитывают ( q +2 r ) / 4 классов сопряженности нетривиальных элементов.
  • Циклические подгруппы порядка q –2 r +1, индекса 4 в своих нормализаторах. Они учитывают ( q –2 r ) / 4 классов сопряженности нетривиальных элементов.

Нормализаторы всех этих подгрупп являются группами Фробениуса.

Персонажи [ править ]

Судзуки (1960) показал, что группа Сузуки имеет q +3 неприводимых представлений над комплексными числами, 2 из которых являются комплексными, а остальные действительными. Они даются следующим образом:

  • Тривиальный характер степени 1.
  • Представление Стейнберга степени q 2 , происходящее из дважды транзитивного перестановочного представления.
  • ( q –2) / 2 символа степени q 2 +1
  • Два комплексных характера степени r ( q –1), где r = 2 n
  • ( q +2 r ) / 4 символа степени ( q –2 r +1) ( q –1)
  • ( q –2 r ) / 4 символа степени ( q +2 r +1) ( q –1).

Ссылки [ править ]

  • Нуасер, Зиани (1982), "Caractères et sous-groupes des groupes de Suzuki" , Diagrammes , 8 : ZN1 – ZN29, ISSN  0224-3911 , MR  0780446
  • Оно, Такаси (1962), "выявление Suzuki групп с группами обобщенного типа Ли.", Анналы математики , второй серии 75 (2): 251-259, DOI : 10,2307 / 1970173 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970173 , Руководство по ремонту  0132780
  • Suzuki, Мичио (1960), «Новый тип простых групп конечного порядка», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 46 (6): 868-870, DOI : 10.1073 / pnas.46.6. 868 , ISSN  0027-8424 , JSTOR  70960 , MR  0120283 , PMC  222949 , PMID  16590684
  • Сузуки, Мичио (1962), "Об одном классе дважды транзитивных групп", Анналы математики , второй серии 75 (1): 105-145, DOI : 10,2307 / 1970423 , ЛВП : 2027 / mdp.39015095249804 , ISSN  0003- 486X , JSTOR  1970423 , Руководство по ремонту  0136646
  • Сиськи Жак (1962), "Ovoïdes и др Groupes де Сузуки", Archiv дер Mathematik , 13 : 187-198, DOI : 10.1007 / BF01650065 , ISSN  0003-9268 , МР  0140572
  • Уилсон, Роберт А. (2010), "Новый подход к группам Сузуки", Математическая Труды Кембриджского философского общества , 148 (3): 425-428, DOI : 10,1017 / S0305004109990399 , ISSN  0305-0041 , MR  2609300

Внешние ссылки [ править ]

  • http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/exc/Sz8/
  • http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/exc/Sz32/