Группа Ри

В математике Рэ группа является группой типа Ли над конечным полем , построенным Ree  ( 1960 , 1961 ) с исключительным автоморфизма о наличии диаграммы Дынкина , что изменяет направление кратных связей, обобщающей группа Suzuki , найденной Suzuki с использованием другой метод. Они были последними из бесконечных семейств конечных простых групп, которые были обнаружены.

В отличие от групп Стейнберга, группы Ри не задаются точками связной редуктивной алгебраической группы, определенной над конечным полем; другими словами, не существует «алгебраической группы Ри», связанной с группами Ри так же, как (скажем) унитарные группы связаны с группами Стейнберга. Однако есть некоторые экзотические псевдоредуктивные алгебраические группы над несовершенными полями, конструкция которых связана с построением групп Ри, поскольку они используют те же экзотические автоморфизмы диаграмм Дынкина, которые меняют длину корней.

Титс (1960) определил группы Ри над бесконечными полями характеристик 2 и 3. Титс (1989) и Хи (1990) ввели группы Ри бесконечномерных алгебр Каца – Муди .

Строительство [ править ]

Если Х представляет собой диаграмма Дынкина , Шевалье построены расщепленных алгебраических групп , соответствующие X , в частности , давая группы Х ( F ) со значениями в поле F . Эти группы обладают следующими автоморфизмами:

• Любой эндоморфизм σ поля F индуцирует эндоморфизм α _σ группы X ( F )
• Любой автоморфизм π диаграммы Дынкина индуцирует автоморфизм α _π группы X ( F ) .

Группы Штейнберга и Шевалле могут быть построены как неподвижные точки эндоморфизма X ( F ) для F - алгебраического замыкания поля. Для групп Шевалле автоморфизм - это эндоморфизм Фробениуса группы F , а для групп Стейнберга автоморфизм - это эндоморфизм Фробениуса, умноженный на автоморфизм диаграммы Дынкина.

Над полями характеристики 2 группы B ₂ ( F ) и F ₄ ( F ), а над полями характеристики 3 группы G ₂ ( F ) обладают эндоморфизмом, квадрат которого есть эндоморфизм α _φ, связанный с эндоморфизмом Фробениуса φ поля F . Грубо говоря, этот эндоморфизм α _π происходит от автоморфизма порядка 2 диаграммы Дынкина, где длины корней игнорируются.

Предположим, что поле F имеет эндоморфизм σ , квадрат которого является эндоморфизмом Фробениуса: σ ² = φ . Тогда группа Ри определяется как группа элементов g из X ( F ) таких, что α _π ( g ) = α _σ ( g ) . Если поле F совершенно, то α _π и α _φ - автоморфизмы, а группа Ри - это группа неподвижных точек инволюции α _φ / α _π поляХ ( F ) .

В случае, когда F - конечное поле порядка p ^k (с p = 2 или 3), существует эндоморфизм с квадратом Фробениуса именно тогда, когда k = 2 n + 1 нечетно, и в этом случае он единственен. Таким образом, это дает конечные группы Ри как подгруппы в B ₂ (2 ^{2 n +1} ), F ₄ (2 ^{2 n +1} ) и G ₂ (3 ^{2 n +1} ), фиксированные инволюцией.

Группы Шевалле, группа Стейнберга и группы Ри [ править ]

Связь между группами Шевалле, группой Стейнберга и группами Ри примерно следующая. Для диаграммы Дынкина X Шевалле построил групповую схему над целыми числами Z , значения которых над конечными полями являются группами Шевалле. В общем случае можно взять неподвижные точки эндоморфизма α поля X ( F ), где F - алгебраическое замыкание конечного поля, такие, что некоторая степень α является некоторой степенью эндоморфизма Фробениуса φ. Вот три случая:

• Для групп Шевалле α = φ ⁿ для некоторого натурального числа n . В этом случае группа неподвижных точек также является группой точек X, определенной над конечным полем.
• Для групп Стейнберга α ^m = φ ⁿ для некоторых натуральных чисел m , n с m, делящим n, и m > 1. В этом случае группа неподвижных точек также является группой точек скрученной (квазираздельной) формы X, определенной над конечное поле.
• Для групп Ри α ^m = φ ⁿ для некоторых натуральных чисел m , n, где m не делит n . На практике m = 2 и n нечетно. Группы Ри не задаются как точки некоторой связной алгебраической группы со значениями в поле. они являются неподвижными точками автоморфизма порядка m = 2 группы, определенной над полем порядка p ⁿ с нечетным n , и нет соответствующего поля порядка p ^{n / 2} (хотя некоторые авторы любят притворяться, что в их обозначения групп).

Группы Ри типа ² Б ₂ [ править ]

Группы Ри типа ² B ₂ были впервые обнаружены Сузуки (1960) с использованием другого метода и обычно называются группами Сузуки . Ри заметил, что они могут быть построены из групп типа B _2, используя вариант конструкции Стейнберга (1959) . Ри понял, что аналогичная конструкция может быть применена к диаграммам Дынкина F ₄ и G ₂ , что приведет к двум новым семействам конечных простых групп.

Ree группы типа ² G ₂ [ править ]

Группы Ри типа ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) были введены Ри (1960) , который показал, что все они простые, за исключением первой группы ² G ₂ (3), которая изоморфна группе автоморфизмов группы SL ₂ (8) . Уилсон (2010) дал упрощенную конструкцию групп Ри как автоморфизмы 7-мерного векторного пространства над полем с 3 ^{2 n +1} элементами, сохраняющими билинейную форму, трилинейную форму и билинейное произведение.

Группа Ри имеет порядок q ³ ( q ³ + 1) ( q - 1), где q = 3 ^{2 n +1}

Множитель Шура тривиален при n  ≥ 1 и ² G ₂ (3) ′.

Группа внешних автоморфизмов циклическая порядка 2 n  + 1.

Группа Ри также иногда обозначается Ree ( q ), R ( q ) или E ₂ ^* ( q ).

Группа Ри ² G ₂ ( q ) имеет дважды транзитивное перестановочное представление на q ³ + 1 точках, а точнее действует как автоморфизмы системы Штейнера S (2, q +1, q ³ +1) . Он также действует в 7-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, поскольку является подгруппой G ₂ ( q ).

2-силовские подгруппы групп Ри элементарные абелевы порядка 8. Теорема Уолтера показывает, что единственными другими неабелевыми конечными простыми группами с абелевыми силовскими 2-подгруппами являются проективные специальные линейные группы размерности 2 и группа Янко J1 . Эти группы также сыграли роль в открытии первой современной спорадической группы. У них есть централизаторы инволюции вида Z / 2 Z × PSL ₂ ( q ) , и, исследуя группы с централизатором инволюции аналогичного вида Z / 2 Z × PSL ₂ (5), Янко нашел спорадическую группу  J ₁ .Клейдман (1988) определил их максимальные подгруппы.

Группы Ри типа ² G ₂ исключительно трудно охарактеризовать. Томпсон ( 1967 , 1972 , 1977 ) изучал эту проблему и смог показать, что структура такой группы определяется некоторым автоморфизмом σ конечного поля характеристики 3, и что если квадрат этого автоморфизма равен величине Фробениуса автоморфизма, то группа является группой Ри. Он также дал некоторые сложные условия, которым удовлетворяет автоморфизм σ . Наконец, Бомбьери ( 1980 ) использовал теорию исключения, чтобы показать, что из условий Томпсона следует, что σ ² = 3во всех случаях, кроме 178 мелких, которые были устранены с помощью компьютера Одлыжко и Хантом. Бомбьери узнал об этой проблеме после прочтения статьи о классификации Горенштейна (1979) , который предположил, что кто-то из сторонников теории групп может помочь в ее решении. Энгюхард (1986) дал единый отчет о решении этой проблемы Томпсоном и Бомбьери.

Ри группы типа ² F ₄ [ править ]

Группы Ри типа ² F ₄ (2 ^{2 n +1} ) были введены Ри (1961) . Они просты, за исключением первого ² F ₄ (2) , который, как показал Титс (1964), имеет простую подгруппу индекса 2, теперь известную как группа Титса . Уилсон (2010b) дал упрощенную конструкцию групп Ри как симметрии 26-мерного пространства над полем порядка 2 ^{2 n +1,} сохраняющих квадратичную форму, кубическую форму и частичное умножение.

Группа Ри ² F ₄ (2 ^{2 n +1} ) имеет порядок q ¹² ( q ⁶  + 1) ( q ⁴  - 1) ( q ³  + 1) ( q  - 1), где q = 2 ^{2 n +1} . Мультипликатор Шура тривиально. Группа внешних автоморфизмов циклическая порядка 2 n  + 1.

Эти группы Ри обладают тем необычным свойством, что группа Кокстера их пары BN не является кристаллографической: это группа диэдра порядка 16. Титс (1983) показал, что все восьмиугольники Муфанг происходят из групп Ри типа ² F ₄ .

См. Также [ править ]

• Список конечных простых групп

Ссылки [ править ]

• Картер, Роджер В. (1989) [1972], Простые группы типа Ли , Библиотека классической литературы Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50683-6, Руководство по ремонту  0407163
• Бомбьери, Энрико (1980), добавления Эндрю Odlyzko и Д. Ханта, "Проблема Томпсона (σ² = 3)", Inventiones Mathematicae , 58 (1): 77-100, DOI : 10.1007 / BF01402275 , ISSN  0020-9910 , М.Р.  0570875
• Энгюард, Мишель (1986), "Caractérisation des groupes de Ree", Astérisque (142): 49–139, ISSN  0303-1179 , MR  0873958
• Горенштейн, Д. (1979), "Классификация конечных простых групп. I. Простые группы и локальный анализ", Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 1 (1): 43–199, doi : 10.1090 / S0273- 0979-1979-14551-8 , ISSN  0002-9904 , MR  0513750
• Он, Жан-Ив (1990), «Construction de groupes tordus en théorie de Kac-Moody», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 310 (3): 77–80, ISSN  0764-4442 , MR  1044619
• Клейдман, Питер Б. (1988), "Максимальные подгруппы групп Шевалле G₂ (q) с q нечетным, группы Ри ²G₂ (q) и их группы автоморфизмов", Journal of Algebra , 117 (1): 30– 71, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (88) 90239-6 , ISSN  0021-8693 , MR  0955589
• Ree, Rimhak (1960), "Семейство простых групп , связанных с простой алгеброй Ли типа (G 2 )" , Бюллетень Американского математического общества , 66 (6): 508-510, DOI : 10,1090 / S0002-9904 -1960-10523-X , ISSN  0002-9904 , MR  0125155
• Ри, Римхак (1961), «Семейство простых групп, связанных с простой алгеброй Ли типа (F 4 )» , Бюллетень Американского математического общества , 67 : 115–116, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1961- 10527-2 , ISSN  0002-9904 , MR  0125155
• Steinberg, Роберт (1959), "Вариации на тему Chevalley" , Pacific Journal математики , 9 (3): 875-891, DOI : 10,2140 / pjm.1959.9.875 , ISSN  0030-8730 , MR  0109191
• Стейнберг, Роберт (1968), Лекции о группах Шевалле , Йельский университет, Нью-Хейвен, штат Коннектикут, MR  0466335 , архивировано с оригинала 10 сентября 2012 г.
• Стейнберг, Роберт (1968), Эндоморфизмы линейных алгебраических групп , Мемуары Американского математического общества, № 80, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 9780821812808, Руководство по ремонту  0230728
• Suzuki, Мичио (1960), «Новый тип простых групп конечного порядка», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 46 (6): 868-870, DOI : 10.1073 / pnas.46.6. 868 , ISSN  0027-8424 , JSTOR  70960 , MR  0120283 , PMC  222949 , PMID  16590684
• Томпсон, Джон Г. (1967), "К характеристике Е ₂ * (д)", журнал алгебры , 7 (3): 406-414, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (67) 90080-4 , ISSN  0021-8693 , MR  0223448
• Томпсон, Джон Г. (1972), "К характеристике Е ₂ * (д) II.", Журнал алгебры , 20 (3): 610-621, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (72) 90074-9 , ISSN  0021-8693 , MR  0313377
• Томпсон, Джон Г. (1977), «К характеристике E ₂ * (q). III», Журнал алгебры , 49 (1): 162–166, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (77) 90276-9 , ISSN  0021-8693 , MR  0453858
• Титс, Жак (1960), "Простые группы Сузуки и Ри" , Séminaire Bourbaki, Vol. 6 , Париж: Société Mathématique de France , стр. 65–82, MR  1611778
• Сиськи Жак (1964), "Алгебраические и абстрактные простые группы", Анналы математики , второй серии 80 (2): 313-329, DOI : 10,2307 / 1970394 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970394 , МР  0164968
• Сиськи, Жак (1983), "Муфанг восьмиугольники и РЗЭ группа типа ²F₄", Американский журнал математика , 105 (2): 539-594, DOI : 10,2307 / 2374268 , ISSN  0002-9327 , JSTOR  2374268 , MR  0701569
• Титс, Жак (1989), "Groupes associés aux algèbres de Kac-Moody" , Astérisque , Séminaire Bourbaki (177): 7–31, ISSN  0303-1179 , MR  1040566
• Уилсон, Роберт А. (2010), "Еще один новый подход к малым группам Ри", Archiv дер Mathematik , 94 (6): 501-510, CiteSeerX  10.1.1.156.9909 , DOI : 10.1007 / s00013-010-0130- 4 , ISSN  0003-9268 , MR  2653666
• Уилсон, Роберт А. (2010b), "Простая конструкция РЗЭ групп типа ²F₄", журнал алгебры , 323 (5): 1468-1481, DOI : 10.1016 / j.jalgebra.2009.11.015 , ISSN  0021- 8693 , Руководство MR  2584965

Внешние ссылки [ править ]

• АТЛАС: Ри группа R (27)