| Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
|---|
 |
В области современной алгебры , известная как теория групп , то группа Янко J 1 является спорадической простой группой из порядка
- 2 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 = 175560
- ≈ 2 × 10 5 .
История [ править ]
J 1 является одной из 26 спорадических групп и первоначально была описана Звонимиром Янко в 1965 году. Это единственная группа Янко, существование которой было доказано самим Янко, и была первой спорадической группой, обнаруженной с момента открытия групп Матье в 19 век. Его открытие положило начало современной теории спорадических групп .
В 1986 году Роберт А. Уилсон показал, что J 1 не может быть подгруппой группы монстров . [1] Таким образом, это одна из 6 спорадических групп, называемых париями .
J 1 не имеет внешних автоморфизмов, и его множитель Шура тривиален.
Свойства [ править ]
J 1 можно абстрактно охарактеризовать как единственную простую группу с абелевыми 2-силовскими подгруппами и с инволюцией , централизатор которой изоморфен прямому произведению группы второго порядка и знакопеременной группы A 5 порядка 60, т. Е. вращения икосаэдрических групп . Такова была первоначальная концепция группы Янко. Фактически, Янко и Томпсон исследовали группы, подобные группам Ри 2 G 2 (3 2 n +1 ), и показали, что если простая группаG имеет абелевы силовские 2-подгруппы и централизатор инволюции вида Z / 2 Z × PSL 2 ( q ) для q степень простого числа не менее 3, то либо q является степенью 3 и G имеет тот же порядок, что и группа Ри (позже было показано, что G в этом случае должна быть группой Ри) или q равно 4 или 5. Обратите внимание, что PSL 2 ( 4 ) = PSL 2 ( 5 ) = A 5 . Этот последний исключительный случай привел к группе Янко J 1 .
J 1 содержится в группе О'Нана как подгруппа элементов, фиксируемых внешним автоморфизмом порядка 2.
Строительство [ править ]
Янко нашел модульное представление в терминах ортогональных матриц 7 × 7 в поле из одиннадцати элементов с образующими, заданными формулой
и
Y имеет порядок 7, а Z - порядок 5. Янко (1966) выразил благодарность В.А. Коппелю за распознавание этого представления как вложения в простую группу Диксона G 2 (11) (которая имеет 7-мерное представление над полем из 11 элементов).
Также существует пара образующих a, b таких, что
- a 2 = b 3 = (ab) 7 = (abab −1 ) 10 = 1
Таким образом, J 1 - группа Гурвица , конечный гомоморфный образ группы треугольников (2,3,7) .
Максимальные подгруппы [ править ]
Янко (1966) нашел 7 классов сопряженности максимальных подгрупп в J 1, показанных в таблице. Максимальные простые подгруппы порядка 660 получения J 1 в перестановке представления о степени 266. Он обнаружил , что есть 2 классов сопряженных подгрупп , изоморфные к знакопеременной группе А 5 , оба найдены в простых подгруппах порядка 660. J 1 имеют неабелево простые собственные подгруппы всего 2-х типов изоморфизма.
| Структура | Заказ | Индекс | Описание |
|---|---|---|---|
| PSL 2 (11) | 660 | 266 | Исправляет точку в наименьшем представлении перестановки |
| 2 3 .7.3 | 168 | 1045 | Нормализатор силовской 2-подгруппы |
| 2 × А 5 | 120 | 1463 | Центратор инволюции |
| 19,6 | 114 | 1540 | Нормализатор силовской 19-подгруппы |
| 11.10 | 110 | 1596 | Нормализатор силовской 11-подгруппы |
| Д 6 × Д 10 | 60 | 2926 | Нормализатор силовской 3-подгруппы и силовской 5-подгруппы |
| 7,6 | 42 | 4180 | Нормализатор силовской 7-подгруппы |
Обозначения . B означает группу с нормальной подгруппой A с фактором B , а D 2 n - группа диэдра порядка 2 n .
Количество элементов каждого заказа [ править ]
Наибольший порядок любого элемента группы равен 19. Порядки и размеры классов сопряженности находятся в ATLAS.
| Заказ | Кол-во элементов | Спряжение |
|---|---|---|
| 1 = 1 | 1 = 1 | 1 класс |
| 2 = 2 | 1463 = 7 · 11 · 19 | 1 класс |
| 3 = 3 | 5852 = 2 2 · 7 · 11 · 19 | 1 класс |
| 5 = 5 | 11704 = 2 3 · 7 · 11 · 19 | 2 класса, эквивалент мощности |
| 6 = 2 · 3 | 29260 = 2 2 · 5 · 7 · 11 · 19 | 1 класс |
| 7 = 7 | 25080 = 2 3 · 3 · 5 · 11 · 19 | 1 класс |
| 10 = 2 · 5 | 35112 = 2 3 · 3 · 7 · 11 · 19 | 2 класса, эквивалент мощности |
| 11 = 11 | 15960 = 2 3 · 3 · 5 · 7 · 19 | 1 класс |
| 15 = 3 · 5 | 23408 = 2 4 · 7 · 11 · 19 | 2 класса, эквивалент мощности |
| 19 = 19 | 27720 = 2 3 · 3 2 · 5 · 7 · 11 | 3 класса, эквивалент мощности |
Ссылки [ править ]
- ^ Уилсон (1986). «Является ли J 1 подгруппой Монстра?». Бюллетень Лондонского математического общества . 18 (4): 349–350. DOI : 10.1112 / БЛМ / 18.4.349 .
- Chevalley, Claude (1995) [1967], "Le groupe de Janko", Séminaire Bourbaki, Vol. 10 , Париж: Société Mathématique de France , стр. 293–307, MR 1610425
- Роберт А. Уилсон (1986). Является ли J 1 подгруппой монстра? , Бык. Лондонская математика. Soc. 18, нет. 4 (1986), 349-350
- Р. Т. Кертис, (1993) Симметричные представления II: группа Янко J1 , J. London Math. Soc., 47 (2), 294-308.
- RT Curtis, (1996) Симметричное представление элементов группы Janko J1 , J. Symbolic Comp., 22, 201-214.
- Звонимир Янко, Новая конечная простая группа с абелевыми силовскими подгруппами , Proc. Natl. Акад. Sci. USA 53 (1965) 657-658.
- Звонимир Янко, Новая конечная простая группа с абелевыми силовскими подгруппами и ее характеристика , Journal of Algebra 3: 147-186, (1966) doi : 10.1016 / 0021-8693 (66) 90010-X
- Звонимир Янко и Джон Г. Томпсон, Об одном классе конечных простых групп Ри , Журнал алгебры, 4 (1966), 274–292.
Внешние ссылки [ править ]
- MathWorld: Группы Янко
- Атлас представлений конечных групп: J 1 версия 2
- Атлас представлений конечных групп: J 1 версия 3
