В математике псевдоредуктивной группой над полем k (иногда называемой k -редуктивной группой ) называется гладкая связная аффинная алгебраическая группа , определенная над k , чей k -унипотентный радикал (т. е. наибольшая гладкая связная унипотентная нормальная k -подгруппа) тривиален. . Над совершенными полями они такие же, как (связные) редуктивные группы , но над несовершенными полями Жак Титс нашел несколько примеров псевдоредуктивных групп, которые не являются редуктивными. Псевдоредуктивная k -группа не обязана быть редуктивной (поскольку формирование k-унипотентный радикал обычно не коммутирует с несепарабельным скалярным расширением на k , таким как скалярное расширение до алгебраического замыкания k ). Псевдоредуктивные группы естественным образом возникают при изучении алгебраических групп над функциональными полями многообразий положительной размерности в положительной характеристике (даже над совершенным полем констант).
Спрингер (1998) излагает результаты Титса по псевдоредуктивным группам, а Конрад, Габбер и Прасад (2010) опираются на работу Титса по разработке общей теории структуры, включая более сложные темы, такие как методы построения, корневые системы и корневые группы и открытые клетки, теоремы классификации и приложения к теоремам рациональной сопряженности для гладких связных аффинных групп над произвольными полями. Общая теория (с приложениями) по состоянию на 2010 год резюмирована в Rémy (2011) , а более поздняя работа во втором издании Conrad, Gabber & Prasad (2015) и Conrad & Prasad (2016) содержит дальнейшие уточнения.
Предположим, что k — несовершенное поле характеристики 2, а a — элемент поля k , не являющийся квадратом. Пусть G — группа ненулевых элементов x + y √ a в k [ √ a ]. Существует морфизм из G в мультипликативную группу G m , переводящий x + y √ a в его норму x 2 – ay 2, а ядром является подгруппа элементов нормы 1. Лежащая в основе приведенная схема геометрического ядра изоморфна аддитивной группе G a и является унипотентным радикалом геометрического слоя G , но эта приведенная схема подгрупп геометрического слоя не определен над k (т. е. не возникает из замкнутой подсхемы G над основным полем k ), а k -унипотентный радикал G тривиален. Таким образом , G является псевдоредуктивной k -группой, но не является редуктивной k -группой.-группа. Аналогичная конструкция работает с использованием примитивного нетривиального чисто несепарабельного конечного расширения любого несовершенного поля по любой положительной характеристике, с той лишь разницей, что формула для отображения нормы несколько сложнее, чем в предыдущих квадратичных примерах.
В более общем случае, если K — нетривиальное чисто несепарабельное конечное расширение k и G — любая нетривиальная связная редуктивная K -группа, определенная, то ограничение Вейля H = R K / k ( G ) является гладкой связной аффинной k -группой для которого существует (сюръективный) гомоморфизм из HK на G . Ядро этого K -гомоморфизма спускается с унипотентного радикала геометрического слоя H и не определено над k (т. е. не возникает из схемы замкнутых подгрупп H), поэтому R K / k ( G ) является псевдоредуктивным, но не редуктивным. Предыдущий пример — это частный случай использования мультипликативной группы и расширения K = k [ √ a ].