В математике , группа Цассенхауза , названная в честь Ганса Цассенхауза , определенный вид дважды транзитивной группы перестановок очень тесно связан с рангом 1 группу типа Ли .
Определение
Группа Цассенхауза - это группа перестановок G на конечном множестве X со следующими тремя свойствами:
- G дважды транзитивна.
- Нетривиальные элементы группы G фиксируют не более двух точек.
- В G нет регулярной нормальной подгруппы . («Обычный» означает, что нетривиальные элементы не фиксируют никаких точек X ; сравните свободное действие .)
Степень группы Цассенхауза является количество элементов X .
Некоторые авторы опускают третье условие, что G не имеет регулярной нормальной подгруппы. Это условие ставится для исключения некоторых «вырожденных» случаев. Дополнительные примеры, которые можно получить, опуская его, - это либо группы Фробениуса, либо некоторые группы степени 2 p и порядка 2 p (2 p - 1) p для простого числа p , которые порождаются всеми полулинейными отображениями и автоморфизмами Галуа поля порядка 2 шт .
Примеры
Пусть q = p f - степень простого числа p , а через F q - конечное поле порядка q . Судзуки доказал, что любая группа Цассенхауза относится к одному из следующих четырех типов:
- Проективное специальной линейной группы PSL 2 ( Р д ) для д > 3 нечетном, действующей на д + 1 точек проективной прямой. Он имеет порядок ( q + 1) q ( q - 1) / 2.
- Проективная общая линейная группа PGL 2 ( Р д ) при д > 3. Он имеет порядок ( д + 1) , д ( д - 1).
- Некоторая группа, содержащая PSL 2 ( F q ) с индексом 2, для q нечетный квадрат. Он имеет порядок ( q + 1) q ( q - 1).
- Группа Сузуки Suz ( F q ) для q, равного степени 2, которая не меньше 8, а не квадрата. Порядок ( q 2 + 1) q 2 ( q - 1)
Степень этих групп равна q + 1 в первых трех случаях, q 2 + 1 в последнем случае.
дальнейшее чтение
- Конечные группы III (серия Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften, том 243) Б. Хупперт, Н. Блэкберн, ISBN 0-387-10633-2