| Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
|---|
 |
В области современной алгебры, известной как теория групп , группы Фишера - это три спорадические простые группы Fi 22 , Fi 23 и Fi 24, введенные Берндом Фишером ( 1971 , 1976 ).
3-позиционные группы [ править ]
Группы Фишера названы в честь Бернда Фишера, который открыл их при исследовании групп с 3 транспозициями. Это группы G со следующими свойствами:
- G порождается классом сопряженности элементов порядка 2, называемым «транспозициями Фишера» или 3-транспозициями.
- Произведение любых двух различных транспозиций имеет порядок 2 или 3.
Типичным примером группы 3-транспозиций является симметричная группа , в которой транспозиции Фишера являются подлинными транспозициями. Симметрическая группа S n может быть порождена n - 1 транспозициями: (12), (23), ..., ( n - 1, n ) .
Фишер смог классифицировать группы с 3 транспозициями, которые удовлетворяют определенным дополнительным техническим условиям. Обнаруженные им группы распадались в основном на несколько бесконечных классов (помимо симметрических групп: определенные классы симплектических, унитарных и ортогональных групп), но он также обнаружил 3 очень большие новые группы. Эти группы обычно обозначаются как Fi 22 , Fi 23 и Fi 24 . Первые две из них - простые группы, а третья содержит простую группу Fi 24 ' индекса 2.
Отправной точкой для групп Фишера является унитарная группа PSU 6 (2), которую можно представить как группу Fi 21 в серии групп Фишера порядка 9,196,830,720 = 2 15 ⋅3 6 ⋅5⋅7⋅11 . Фактически именно двойная крышка 2.PSU 6 (2) становится подгруппой новой группы. Это стабилизатор одной вершины в графе из 3510 (= 2⋅3 3 ⋅5⋅13). Эти вершины идентифицируются как сопряженные 3-транспозиции в группе симметрии Fi 22 графа.
Группы Фишера названы по аналогии с большими группами Матье . В Fi 22 максимальный набор 3-транспозиций, все коммутирующие друг с другом, имеет размер 22 и называется базовым набором. Существует 1024 3-транспозиций, называемых анабазическими, которые не коммутируют ни с одним из элементов конкретного базового набора. Любой из других 2364, называемый шестнадцатеричным , коммутирует с 6 основными. Наборы из 6 образуют систему Штейнера S (3,6,22) , группа симметрии которой равна M 22 . Базовый набор порождает абелеву группу порядка 2 10 , которая продолжается в Fi 22 до подгруппы 2 10 : M 22 .
Следующая группа Фишера рассматривает 2.Fi 22 как одноточечный стабилизатор для графа из 31671 (= 3 4 ⋅17⋅23) вершин и рассматривает эти вершины как 3-транспозиции в группе Fi 23 . 3-транспозиции входят в базовые наборы по 23, 7 из которых коммутируют с заданной внешней 3-транспозицией.
Затем берется Fi 23 и рассматривается как одноточечный стабилизатор для графа из 306936 (= 2 3 ⋅3 3 ⋅7 2 ⋅29) вершин, составляющих группу Fi 24 . 3-транспозиции входят в базовые наборы по 24, восемь из которых коммутируют с заданной внешней 3-транспозицией. Группа Fi 24 не проста, но ее производная подгруппа имеет индекс 2 и является спорадической простой группой.
Обозначение [ править ]
Для этих групп нет общепринятых обозначений. Некоторые авторы используют F вместо Fi (например, F 22 ). Обозначения Фишера для них были M (22), M (23) и M (24) ′, что подчеркивало их тесную связь с тремя крупнейшими группами Матье , M 22 , M 23 и M 24 .
Одним из источников путаницы является то, что Fi 24 иногда используется для обозначения простой группы Fi 24 ', а иногда и для обозначения полной группы с 3 транспонированием (которая вдвое больше).
Обобщенный чудовищный самогон [ править ]
Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром, но что подобные явления могут быть обнаружены и у других групп. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить разложение многих Hauptmoduln (главных или главных модулей) из простых комбинаций размерностей спорадических групп.
Ссылки [ править ]
- Ашбахер, Майкл (1997), 3-транспозиционные группы , Cambridge Tracts in Mathematics, 124 , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511759413 , ISBN 978-0-521-57196-8, MR 1423599 содержит полное доказательство теоремы Фишера.
- Фишер, Бернд (1971), "Конечные группы , порожденные 3-транспозиций я.", Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232-246, DOI : 10.1007 / BF01404633 , ISSN 0020-9910 , МР 0294487Это первая часть препринта Фишера о построении его групп. Остальная часть статьи не опубликована (по состоянию на 2010 г.).
- Фишер, Бернд (1976), Конечные группы, порожденные 3-транспозициями , Препринт, Математический институт, Уорикский университет
- Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для выпускников по математике 251, 251 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012
- Уилсон, РА "Атлас представления конечных групп"
https://web.archive.org/web/20171204142908/http://for.mat.bham.ac.uk/atlas/html/contents.html#spo
