В математике , особенно в теории групп , централизатор (также называемый коммутантом [1] [2] ) подмножества S в группе G - это множество элементовгруппы G такая, что каждый член коммутирует с каждым элементом S или, что то же самое, таким, что сопряжение с помощьюоставляет каждый элемент S фиксированным. Нормализатор из S в G представляет собой множество элементовгруппы G , удовлетворяющие более слабому условию выхода из множествафиксируется при спряжении. Центратор и нормализатор S являются подгруппы из G . Многие методы в теории групп основаны на изучении центраторов и normalisers подходящего подмножества S .
Сформулированные соответствующим образом, определения также применимы к моноидам и полугруппам .
В теории колец , то централизатор подмножества кольца определяются по отношению к операции полугруппы (умножение) кольца. Централизатор подмножества кольца R является Подкольцо из R . В этой статье также рассматриваются централизаторы и нормализаторы в алгебре Ли .
Идеализаторная в полугруппе или кольце другой конструкция , которая находится в том же ключе , как центратор и нормализатор.
Определения
Группа и полугруппа
Централизатор подмножества S группы (или полугруппы) G определяется как [3]
где только первое определение применяется к полугруппам. Если в отношении рассматриваемой группы нет двусмысленности, G можно исключить из обозначений. Когда S = { a } - одноэлементный набор, мы пишем C G ( a ) вместо C G ({ a }). Другое менее распространенное обозначение централизатора - Z ( a ), которое соответствует обозначению центра . С этой последней записи, нужно соблюдать осторожность , чтобы избежать путаницы между центром группы G , Z ( G ), и центратор из качестве элемента г в G , Z ( г ).
Нормализатор из S в группе (или полугруппы) G определяется как
где снова только первое определение применимо к полугруппам. Определения похожи, но не идентичны. Если g находится в централизаторе S, а s находится в S , тогда должно быть, что gs = sg , но если g находится в нормализаторе, то gs = tg для некоторого t в S , причем t может отличаться от s . То есть элементы централизатора S должны коммутировать поточечно с S , но элементы нормализатора S должны коммутировать только с S как с множеством . Те же обозначения, упомянутые выше для централизаторов, применимы и к нормализаторам. Нормализатор не следует путать с обычным закрытием .
Четко и оба являются подгруппами .
Кольцо, алгебра над полем, кольцо Ли и алгебра Ли
Если R представляет собой кольцо или алгебра над полем , и S представляет собой подмножество R , то централизатор S точно , как определено для групп с R в месте G .
Если является алгеброй Ли (или кольцом Ли ) с произведением Ли [ x , y ], то централизатор подмножества S вопределяется как [4]
Определение централизаторов колец Ли связано с определением колец следующим образом. Если R - ассоциативное кольцо, то R можно задать скобочное произведение [ x , y ] = xy - yx . Конечно, тогда xy = yx тогда и только тогда, когда [ x , y ] = 0 . Если мы обозначим множество R с кронштейном продуктом в виде L R , то очевидно , что кольцо центратор из S в R равно кольцах Ли центратор из S в L R .
Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли)дается [4]
Хотя это стандартное использование термина «нормализатор» в алгебре Ли, эта конструкция на самом деле является идеализатором множества S в. Если S - аддитивная подгруппа группы, тогда - наибольшее подкольцо Ли (или подалгебра Ли, в зависимости от случая), в котором S - идеал Ли . [5]
Характеристики
Полугруппы
Позволять обозначим централизатор в полугруппе , т.е. потом образует подполугруппу и, т.е. коммутант - это собственный бикоммутант .
Группы
Источник: [6]
- Центратор и нормализатор S являются подгруппы G .
- Четко, . По факту,всегда нормальная подгруппа в, являясь ядром гомоморфизма и группа действует сопряжением как группа биекций на . Например, группа Вейля компактной группы Ли с тором определяется как , и особенно если тор максимальный (т. е. ) является центральным инструментом теории групп Ли.
- С С ( С G ( S )) содержит S , но С G ( S ) потребность не содержит S . Сдерживание происходит именно тогда, когда S абелева.
- Если Н является подгруппой группы G , то N G ( H ) содержит Н .
- Если H - подгруппа G , то самая большая подгруппа G, в которой H нормальна, - это подгруппа N G (H).
- Если S - подмножество G такое, что все элементы S коммутируют друг с другом, то наибольшая подгруппа G , центр которой содержит S, является подгруппой C G (S).
- Подгруппа Н группы G называется самонормализуем подгруппа из G , если Н О ( Н ) = Н .
- Центр G точно С G (G) , и G является абелевой группой тогда и только тогда , когда C G (G) = Z ( G ) = G .
- Для одноэлементных наборов C G ( a ) = N G ( a ).
- По симметрии, если S и T - два подмножества G , T ⊆ C G ( S ) тогда и только тогда, когда S ⊆ C G ( T ).
- Для подгруппы H группы G , то N / C теорема утверждает , что фактор - группа N G ( H ) / C G ( H ) является изоморфна подгруппе Aut ( H ), группа автоморфизмов из Н . Поскольку N G ( G ) = G и C G ( G ) = Z ( G ), из теоремы N / C также следует, что G / Z ( G ) изоморфна Inn ( G ), подгруппа Aut ( G ), состоящая из всех внутренних автоморфизмов из G .
- Если мы определим групповой гомоморфизм T : G → Inn ( G ) формулой T ( x ) ( g ) = T x ( g ) = xgx −1 , то мы можем описать N G ( S ) и C G ( S ) в терминах из группы действий в Inn ( G ) на G : стабилизатор S в Inn ( G ) является Т ( Н G ( S )), а подгруппа Inn ( G ) крепления S точечно является Т ( с G ( S ) ).
- Подгруппа Н группы G называется С-замкнутый или сам-бикоммутанте , если Н = С G ( S ) для некоторого подмножества S ⊆ G . Если так, то на самом деле H = C G ( C G ( H )).
Кольца и алгебры над полем
Источник: [4]
- Централизаторы в кольцах и алгебрах над полем - это подкольца и подалгебры над полем соответственно; централизаторы в кольцах и алгебрах Ли - это подкольца и подалгебры Ли соответственно.
- Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S .
- C R ( C R ( S )) содержит S, но не обязательно равен. Теорема о двойном централизаторе касается ситуаций, когда имеет место равенство.
- Если S - аддитивная подгруппа кольца Ли A , то N A ( S ) - наибольшее подкольцо Ли в A, в котором S - идеал Ли.
- Если S - подкольцо Ли кольца Ли A , то S ⊆ N A ( S ).
Смотрите также
Заметки
- ^ Кевин О'Мира; Джон Кларк; Чарльз Винсонхалер (2011). Продвинутые темы линейной алгебры: плетение матричных задач через форму Вейра . Издательство Оксфордского университета . п. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
- ^ Карл Генрих Хофманн; Сидни А. Моррис (2007). Теория Ли связных про-лиевских групп: теория структуры для пролиевых алгебр, пролиевых групп и связных локально компактных групп . Европейское математическое общество . п. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
- ^ Якобсон (2009), стр. 41 год
- ^ a b c Якобсон 1979 , стр.28.
- ^ Jacobson 1979 , с.57.
- Перейти ↑ Isaacs 2009 , главы 1-3.
Рекомендации
- Айзекс, И. Мартин (2009), Алгебра: выпускной курс , Аспирантура по математике , 100 (перепечатка оригинального издания 1994 года), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , DOI : 10.1090 / GSM / 100 , ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
- Джейкобсон, Натан (2009), Основы алгебры , 1 (2-е изд.), Dover Publications , ISBN 978-0-486-47189-1
- Джейкобсон, Натан (1979), Алгебры Ли (переиздание оригинального издания 1962 года), Dover Publications , ISBN 0-486-63832-4, Руководство по ремонту 0559927