Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигацииПерейти к поиску

В области абстрактной алгебры, называемой теорией колец , теорема о двойном централизаторе может относиться к любому из нескольких аналогичных результатов. Эти результаты относятся к централизатору подкольца S кольца R , обозначенному в этой статье как C R ( S ). Всегда бывает так, что C R ( C R ( S )) содержит S , и теорема о двойном централизаторе дает условия на R и S, которые гарантируют, что C R ( C R (S )) является равным для S .

Утверждения теоремы

Мотивация

Централизатор подкольцу S из R , заданного

Ясно, что C R ( C R ( S )) ⊇  S , но не всегда можно сказать, что эти два множества равны. Теоремы о двойном централизаторе дают условия, при которых можно заключить, что имеет место равенство.

Есть еще один интересный случай. Пусть М будет правый R модулем и дать M естественную левый Е - модуль структуру, где Е является Конец ( М ), кольцо эндоморфизмов абелевой группы М . Каждая карта м г задается м г ( х ) =  хт создает аддитивный эндоморфизм М , то есть, элемент Е . Отображение r  →  m r является кольцевым гомоморфизмом R в кольцо E, И мы будем обозначать образ R внутри E по R M . Можно проверить, что ядром этого канонического отображения является аннулятор Ann ( M R ). Следовательно, по теореме об изоморфизме колец R M изоморфно фактор-кольцу R / Ann ( M R ). Ясно, что когда M - точный модуль , R и R M изоморфные кольца.

Итак, теперь E - кольцо с R M в качестве подкольца, и может быть образовано C E ( R M ). По определению можно проверить , что С Е ( Р М ) = Конец ( М R ), кольцо R модуля эндоморфизмов M . Таким образом , если это происходит , что С Е ( С Е ( Р М )) =  Р М , это то же самое , как говорят С Е (Конец ( М R )) =  Р М .

Центральные простые алгебры

Возможно, наиболее распространенная версия - это версия для центральных простых алгебр , как она представлена ​​в ( Knapp 2007 , p.115):

Теорема : если A - конечномерная центральная простая алгебра над полем F и B - простая подалгебра в A , то C A ( C A ( B )) =  B и, кроме того, размерности удовлетворяют

Артинианские кольца

Следующая обобщенная версия для артиновых колец (которые включают конечномерные алгебры) появляется в ( Isaacs 2009 , p.187). Для простого модуля R U R мы будем заимствовать обозначения из приведенного выше раздела о мотивации, включая R U и E = End ( U ). Кроме того, мы будем писать D = End ( U R ) для подкольца E, состоящего из R -гомоморфизмов. По лемме Шура , D является телом .

Теорема . Пусть R - артиново справа кольцо с простым правым модулем U R , и пусть R U , D и E заданы, как в предыдущем абзаце. Затем

.
Замечания
  • В этой версии кольца выбраны с целью доказательства теоремы плотности Джекобсона . Обратите внимание, что это только вывод о том, что конкретное подкольцо обладает свойством централизатора, в отличие от версии с центральной простой алгеброй.
  • Поскольку алгебры обычно определяются над коммутативными кольцами, а все упомянутые выше кольца могут быть некоммутативными, ясно, что алгебры не обязательно задействованы.
  • Если U является дополнительно точным модулем , так что R является правым примитивным кольца , то R U является кольцом изоморфно R .

Кольца полиномиальных тождеств

В ( Rowen 1980 , стр.154) дается версия для полиномиальных тождественных колец . Обозначения Z ( R ) будет использоваться для обозначения центра кольца R .

Теорема : Если R является простым кольцом многочленов идентичности и является простым Z ( R ) подалгебра R , то С Р ( С R ( )) =  A .

Замечания
  • Эту версию можно рассматривать как находящуюся "между" центральной версией простой алгебры и версией артиновых колец. Это потому , что простые полиномиальные кольца идентичности артиновы, [1] , но в отличии от артиновой версии, заключение еще относится ко всем центральным простым подкольцам R .

Алгебры фон Неймана

Теорема фон Неймана о бикоммутанте утверждает, что * -подалгебра A алгебры ограниченных операторов B ( H ) в гильбертовом пространстве H является алгеброй фон Неймана (т. Е. Слабо замкнутой ) тогда и только тогда, когда A = C B ( H ) C В ( Н ) (А).

Свойство двойного централизатора

Говорят, что модуль M обладает свойством двойного централизатора или является сбалансированным модулем, если C E ( C E ( R M )) =  R M , где E  = End ( M ) и R M такие, как указано в разделе мотивации. В этой терминологии артинов кольцевой вариант теоремы о двойном централизаторе утверждает, что простые правые модули для артиновых справа колец являются сбалансированными модулями.

Примечания

  1. ^ Они представляют собой полные матричные кольца над полиномиальными тождественными телами, согласно Роуэну (1980 , стр. 151).

Ссылки

  • Айзекс, И. Мартин (2009 г.), Алгебра: выпускной курс , Аспирантура по математике , 100 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. Xii + 516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR  2472787 Перепечатка оригинала 1994 г.
  • Кнапп, Энтони В. (2007), Продвинутая алгебра , Cornerstones, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston Inc., стр. Xxiv + 730, ISBN 978-0-8176-4522-9, Руководство по ремонту  2360434
  • Роуэн, Луи Галле (1980), Полиномиальные тождества в теории колец , Чистая и прикладная математика, 84 , Нью-Йорк: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], стр. Xx + 365, ISBN 0-12-599850-3, Руководство по ремонту  0576061