В области абстрактной алгебры, известной как теория колец , примитивное левое кольцо - это кольцо, которое имеет точный простой левый модуль . Хорошо известные примеры включают эндоморфизмы кольцо из векторных пространств и Вейль алгебры над полями в характеристике нуля.
Определение
Кольцо R называется примитивным левым кольцом, если оно имеет точный простой левый R -модуль . Вправо примитивное кольцо определяется аналогично с правого R - модулей. Есть кольца, которые с одной стороны примитивны, а с другой - нет. Первый образец был построен Джорджем М. Бергманом в ( Bergman 1964 ). Другой пример, найденный Яатегаонкаром, показывающий различие, можно найти в ( Rowen & 1988, p.159 ). .
Внутренняя характеристика левых примитивных колец следующая: кольцо является левым примитивным тогда и только тогда, когда существует максимальный левый идеал, не содержащий ненулевых двусторонних идеалов . Аналогичное определение для правых примитивных колец также справедливо.
Структура левых примитивных колец полностью определяется теорема плотности Jacobson : Кольцо остается примитивным тогда и только тогда , когда она изоморфна с плотной подкольцу в кольце эндоморфизмов одного левого векторного пространства над телом .
Другое эквивалентное определение утверждает, что кольцо является левым примитивным тогда и только тогда, когда оно является первичным кольцом с точным левым модулем конечной длины ( Lam 2001 , Ex. 11.19, p. 191 ).
Характеристики
Односторонние примитивные кольца - это как полупримитивные кольца, так и первичные кольца . Поскольку кольцо произведения двух или более ненулевых колец не является первичным, ясно, что произведение примитивных колец никогда не бывает примитивным.
Для артиново левого кольца известно, что условия «примитивное слева», «примитивное справа», «простое» и « простое » эквивалентны, и в этом случае это полупростое кольцо, изоморфное кольцу квадратных матриц над делительное кольцо. В более общем смысле, в любом кольце с минимальным односторонним идеалом "левый примитив" = "правый примитив" = "простой".
Коммутативное кольцо остается примитивным тогда и только тогда , когда это поле .
Оставаться примитивным - это свойство инварианта Мориты .
Примеры
Каждое простое кольцо R с единицей является как левым, так и правым примитивом. (Однако простое неунитальное кольцо может не быть примитивным.) Это следует из того факта, что R имеет максимальный левый идеал M , а также того факта, что фактор-модуль R / M является простым левым R -модулем и что его аннуляторный является собственным двусторонним идеалом в R . Поскольку R - простое кольцо, этот аннулятор есть {0}, и поэтому R / M - точный левый R -модуль.
Алгебры Вейля над полями нулевой характеристики примитивны, и, поскольку они являются областями , они являются примерами без минимальных односторонних идеалов.
Полные линейные кольца
Частный случай примитивных колец - это полные линейные кольца . Оставил полная линейная кольцо является кольцом всех линейных преобразований бесконечного-мерного векторного пространства слева над телом. ( Правое полное линейное кольцо отличается тем, что вместо него используется правое векторное пространство.) В символахгде V векторное пространство над телом D . Известно , что R является левым полной линейной кольцом , если и только если R является фон Неймана регулярно , левый самоинъективно с цоколем SOC ( R R ) ≠ {0}. ( Goodearl 1991 , стр. 100) Используя аргументы линейной алгебры , можно показать, чтоизоморфно кольцу конечных матриц-строк , Где я есть множество индексов, размер которого размерность V над D . Точно так же право полные линейные кольца могут быть реализованы в виде колонки конечных матриц над D .
Используя это, мы можем видеть, что существуют непростые левые примитивные кольца. По характеристике плотности Джекобсона полное левое линейное кольцо R всегда является левым примитивным. Когда dim D V конечно, R является кольцом квадратных матриц над D , но когда dim D V бесконечно, набор линейных преобразований конечного ранга является собственным двусторонним идеалом R , и, следовательно, R не является простым.
Смотрите также
- примитивный идеал
Рекомендации
- Бергман, GM (1964), «Кольцо примитив на правом , но не на левых», Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 15 (3): 473-475, DOI : 10.1090 / S0002-9939-1964 -0167497-4 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2034527 , MR 0167497 п. 1000 исправлений
- Goodearl, KR (1991), регулярные кольца фон Неймана (2-е изд.), Малабар, Флорида: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., стр. Xviii + 412, ISBN 0-89464-632-X, Руководство по ремонту 1150975
- Лам, Ци-Юэн (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Springer, ISBN 9781441986160, MR 1838439
- Роуэн, Луи Х. (1988), Теория колец. Vol. I , Чистая и прикладная математика, 127 , Бостон, Массачусетс: Academic Press Inc., стр. Xxiv + 538, ISBN 0-12-599841-4, Руководство по ремонту 0940245