Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , более конкретно некоммутативное теории колец , современной алгебры и теории модулей , с плотностью Якобсона теорема есть теорема о простых модулей над кольцом R . [1]

Теорема может быть применена, чтобы показать, что любое примитивное кольцо можно рассматривать как «плотное» подкольцо кольца линейных преобразований векторного пространства. [2] [3] Эта теорема впервые появилась в литературе в 1945 году в знаменитой статье Натана Якобсона «Теория структуры простых колец без предположений конечности» . [4] Это можно рассматривать как своего рода обобщение вывода теоремы Артина-Веддерберна о структуре простых артиновых колец .

Мотивация и официальное заявление [ править ]

Пусть R - кольцо, а U - простой правый R -модуль. Если u - ненулевой элемент U , u • R = U (где u • R - циклический подмодуль U, порожденный u ). Поэтому, если U, V отличны от нуля элементы U существует элемент R , который индуцирует эндоморфизм из U преобразования U в V. Теперь возникает естественный вопрос, можно ли это обобщить на произвольные (конечные) наборы элементов. Точнее, найдите необходимые и достаточные условия на набор ( x 1 , ..., x n ) и ( y 1 , ..., y n ) по отдельности, так что существует элемент R со свойством x i • r = y i для всех i . Если D - множество всех R -модульных эндоморфизмов U , то по лемме Шураутверждает , что D является телом, а плотность Якобсона теорема отвечает на вопрос о кортежах утвердительно, при условии , что х я линейно независим над D .

Имея в виду вышеизложенное, теорему можно сформулировать так:

Теорема Джекобсона о плотности. Пусть U - простой правый R -модуль, D = End ( U R ) и X ⊂ U - конечное и D- линейно независимое множество. Если является D -линейного преобразование в U , то существует г ∈ R такое , что ( х ) = х • г для всех х в X . [5]

Доказательство [ править ]

В теореме плотности Джекобсона правый R -модуль U одновременно рассматривается как левый D -модуль, где D = End ( U R ) , естественным образом: g • u = g ( u ) . Можно проверить , что это действительно левая структура модуля на U . [6] Как было отмечено выше, лемма Шура доказывает D является телом , если U является простым, и поэтому U является векторным пространством над D .

Доказательство также опирается на следующую теорему, доказанную в ( Isaacs 1993 ) с. 185:

Теорема. Пусть U - простой правый R -модуль, D = End ( U R ) и X ⊂ U - конечное множество. Написать I = Апп R ( X ) для аннулятора из X в R . Пусть u находится в U с u • I = 0 . Тогда u находится в XD ; D - оболочка из X .

Доказательство теоремы плотности Джекобсона [ править ]

Воспользуемся индукцией по | X | . Если X пусто, то теорема истинна и базовый случай индукции проверен.

Предположим, что X не пусто, пусть x будет элементом X и напишем Y = X  \ { x }. Если любая D -линейного преобразование в U , по предположению индукции существует S ∈ R такое , что ( у ) = у • ев для всех у в Y . Напишите I = ann R ( Y ) . Легко видеть, что x • Iявляется подмодуль U . Если x • I = 0 , то из предыдущей теоремы следует, что x находился бы в D -пространстве Y , что противоречит D- линейной независимости X , поэтому x • I ≠ 0 . Поскольку U прост, мы имеем: х • I = U . Поскольку A ( x ) - x • s ∈ U = x • I , существует iв I такое, что x • i = A ( x ) - x • s .

Определим r = s + i и заметим, что для всех y в Y мы имеем:

Теперь проделаем тот же расчет для x :

Следовательно, A ( z ) = z • r для всех z в X , что и требовалось. Это завершает индуктивный шаг доказательства. Теперь из математической индукции следует, что теорема верна для конечных множеств X любого размера.

Топологическая характеристика [ править ]

Говорят, что кольцо R плотно действует на простой правый R -модуль U, если оно удовлетворяет заключению теоремы Джекобсона о плотности. [7] Существует топологическая причина для описания R как «плотного». Во-первых, R можно идентифицировать с подкольцом End ( D U ) , отождествляя каждый элемент R с линейным преобразованием D, которое оно индуцирует правым умножением. Если U задана дискретная топология , и если U U задана топология продукта , иКонец ( D U ) рассматриваются как подпространство U U и задаются топология подпространства , то Р действует плотно на U , если и только если R является плотным множеством в End ( D U ) с этой топологией. [8]

Последствия [ править ]

Теорема плотности Джекобсона имеет различные важные следствия в структурной теории колец. [9] Примечательно, что вывод теоремы Артина – Веддерберна о строении простых артиновых справа колец восстановлен. Теорема Джекобсона о плотности также характеризует правые или левые примитивные кольца как плотные подкольца кольца D- линейных преобразований на некотором D -векторном пространстве U , где D - тело. [3]

Связь с другими результатами [ править ]

Этот результат связан с теоремой фон Неймана о бикоммутанте , которая утверждает, что для * -алгебры A операторов в гильбертовом пространстве H двойной коммутант A ′ ′ может быть аппроксимирован A на любом заданном конечном наборе векторов. Другими словами, двойной коммутант - это замыкание A в слабой операторной топологии. См. Также теорему Капланского о плотности в алгебре фон Неймана.

Заметки [ править ]

  1. ^ Айзекс, стр. 184
  2. ^ Такие кольца линейных преобразований также известны как полные линейные кольца .
  3. ^ a b Айзекс, следствие 13.16, с. 187
  4. ^ Джейкобсон, Натан "Структурная теория простых колец без предположений конечности"
  5. ^ Айзекс, теорема 13.14, стр. 185
  6. ^ Между прочим, это такжеструктура бимодуля D - R.
  7. ^ Херштейн, Определение, стр. 40
  8. ^ Оказывается, эта топология такая же, как и компактно-открытая топология в данном случае. Герштейн, стр. 41 использует это описание.
  9. ^ Херстейн, стр. 41 год

Ссылки [ править ]

  • И. Н. Герштейн (1968). Некоммутативные кольца (1-е изд.). Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-015-X.
  • И. Мартин Айзекс (1993). Алгебра, аспирантура (1-е изд.). Brooks / Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
  • Якобсон, Н. (1945), "Структурная теория простых колец без предположений конечности", Пер. Амер. Математика. Soc. , 57 : 228-245, DOI : 10,1090 / s0002-9947-1945-0011680-8 , ISSN  0002-9947 , МР  0011680

Внешние ссылки [ править ]

  • Страница PlanetMath