В математике , то аннуляторные подмножества S о наличии модуля над кольцом является идеальным , образованными элементами кольца , которые дают всегда равен нуль при умножении на элементе S .
В области целостности модуль с ненулевым аннулятором является торсионным модулем , а конечно порожденный торсионный модуль имеет ненулевой аннулятор.
Выше определение применимо также и в случае некоммутативных колец , где левый аннулятор из левого модуля представляет собой левый идеал , а правая аннуляторный , из правого модуля является правым идеалом .
Определения
Пусть R будет кольцом , и пусть M будет левый R - модуль . Выберите непустое подмножество S из M . Аннуляторный из S , обозначается Ann R ( S ), представляет собой совокупность всех элементов г в R такое , что для всех х в S , RS = 0 . [1] В обозначениях набора,
Это набор всех элементов R, которые «аннигилируют» S (элементы, для которых S является множеством кручения). Подмножества правых модулей также могут быть использованы после модификации « sr = 0 » в определении.
Аннулятор одного элемента x обычно пишется Ann R ( x ) вместо Ann R ({ x }). Если кольцо R можно понять из контекста, индекс R можно опустить.
Поскольку R является модулем над самим собой, S можно рассматривать как подмножество самого R , а поскольку R является одновременно правым и левым R- модулем, обозначение необходимо немного изменить, чтобы указать левую или правую сторону. Обычно а также или другая подобная схема индексов используется для различения левого и правого аннигиляторов, если необходимо.
Если M - R -модуль и Ann R ( M ) = 0 , то M называется точным модулем .
Характеристики
Если S является подмножеством левого R модуля M , то Ann ( S ) является левым идеал из R . [2]
Если S является подмодулем из М , то Ann R ( S ) даже двусторонний идеал: ( переменный ток ) с = ( CS ) = 0, так как CS является еще одним элементом S . [3]
Если S - подмножество M, а N - подмодуль M, порожденный S , то в общем случае Ann R ( N ) является подмножеством Ann R ( S ), но они не обязательно равны. Если R является коммутативной , то имеет место равенство.
M можно также рассматривать как R / Ann R ( M ) -модуль, используя действие. Между прочим, не всегда возможно превратить R- модуль в R / I- модуль таким образом, но если идеал I является подмножеством аннигилятора M , то это действие хорошо определено. Рассматриваемый как R / Ann R ( M ) -модуль, M автоматически является точным модулем.
Для коммутативных колец
В этом разделе пусть коммутативное кольцо и конечно порожденная (для краткости конечная) -модуль.
Отношение к поддержке
Напомним, что поддержка модуля определяется как
Тогда, когда модуль конечно порожден, имеет место соотношение
- ,
где - множество простых идеалов, содержащих подмножество. [4]
Короткие точные последовательности
Учитывая короткую точную последовательность модулей,
свойство поддержки
вместе с отношением к аннигилятору следует
Следовательно,
Это может быть применено к вычислению аннулятора прямой суммы модулей, как
Факторные модули и аннигиляторы
Учитывая идеал и разреши - конечный модуль, то существует соотношение
на опоре. Используя отношение к опоре, это дает связь с аннигилятором [6]
Примеры
Над целыми числами
Над любой конечно порожденный модуль полностью классифицируется как прямая сумма его свободной части с его крутильной частью из основной теоремы абелевых групп. Тогда аннулятор конечного модуля нетривиален только в том случае, если он целиком является торсионным. Это потому что
поскольку единственный элемент, убивающий каждого из является . Например, аннигилятор является
идеал, порожденный . Фактически аннигилятор торсионного модуля
изоморфен идеалу, порожденному их наименьшим общим кратным, . Это показывает, что аннигиляторы можно легко классифицировать по целым числам.
Над коммутативным кольцом R
Фактически, подобное вычисление может быть выполнено для любого конечного модуля над коммутативным кольцом. . Напомним, что определение конечности следует, что существует точная справа последовательность, называемая представлением, заданная формулой
где в . Письмо явно как матрица дает это как
следовательно имеет разложение в прямую сумму
Если мы запишем каждый из этих идеалов как
тогда идеал дано
представляет аннигилятор.
Более k [ x , y ]
Над коммутативным кольцом для поля , аннигилятор модуля
дается идеалом
Цепные условия на аннигиляторные идеалы
Решетки идеалов видагде S - подмножество R, составляют полную решетку при частичном упорядочении по включению. Интересно изучить кольца, для которых эта решетка (или ее правый аналог) удовлетворяет условию возрастающей цепи или условию убывающей цепи .
Обозначим решетку левых аннуляторных идеалов кольца R кака решетка правых аннуляторных идеалов кольца R в виде. Известно, что удовлетворяет АКК тогда и только тогда, когда удовлетворяет DCC, и симметрично удовлетворяет АКК тогда и только тогда, когда удовлетворяет DCC. Если любая из решеток имеет любое из этих цепных условий, то R не имеет бесконечных ортогональных наборов идемпотентов . ( Андерсон и 1992, стр. 322 ) ( Лам 1999 )
Если R - кольцо, для которогоудовлетворяет ACC и R R имеет конечную равномерную размерность , то R называется левым кольцом Голди . ( Лам 1999 )
Теоретико-категориальное описание коммутативных колец
Когда R коммутативен и M является R -модулем, мы можем описать Ann R ( M ) как ядро отображения действия R → End R ( M ), определяемое дополнительным отображением тождества M → M вдоль Hom-тензора примыкание .
В более общем смысле, учитывая билинейное отображение модулей, аннигилятор подмножества это набор всех элементов в что уничтожить :
Наоборот, учитывая , можно определить аннигилятор как подмножество .
Аннигилятор дает связь Галуа между подмножествами а также , и связанный с ним оператор замыкания сильнее, чем span. В частности:
- аннигиляторы - это подмодули
Важным частным случаем является наличие невырожденной формы в векторном пространстве , особенно внутреннего продукта : тогда аннигилятор, связанный с картойназывается ортогональным дополнением .
Связь с другими свойствами колец
Учитывая , модуль М над нётеровым коммутативного кольцом R , простой идеал R , который является аннулятором ненулевого элемента М называется ассоциированным простой из M .
- Аннуляторы используются для определения левых риккартовы колец и Бэра колец .
- Множество (левых) делителей нуля D S группы S можно записать как
(Здесь мы позволяем нулю быть делителем нуля.)
- В частности, D R - это множество (левых) делителей нуля R, принимающих S = R и R, действующих на себя как левый R -модуль.
- Когда R коммутативно и нетерово , множествоточно равно союз из связанных простых чисел в R - модуль R .
Смотрите также
- Цоколь
- Поддержка модуля
Заметки
- ^ Пирс (1982), стр. 23.
- ^ Доказательство: если a и b оба аннулируют S , то для каждого s в S , ( a + b ) s = as + bs = 0, и для любого r в R , ( ra ) s = r ( as ) = r 0 = 0.
- ^ Пирс (1982), стр. 23, лемма b, п. (I).
- ^ «Лемма 10.39.5 (00L2) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 13 мая 2020 .
- ^ «Лемма 10.39.9 (00L3) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 13 мая 2020 .
- ^ «Лемма 10.39.9 (00L3) - Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 13 мая 2020 .
Рекомендации
- Андерсон, Фрэнк У .; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, Руководство по ремонту 1245487
- Исраэль Натан Херштейн (1968) Некоммутативные кольца , Математические монографии Каруса № 15, Математическая ассоциация Америки , стр. 3.
- Лам, Цит Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 228–232, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту 1653294
- Ричард С. Пирс. Ассоциативные алгебры . Тексты для выпускников по математике, Vol. 88, Springer-Verlag, 1982 г., ISBN 978-0-387-90693-5