В математике , особенно в функциональном анализе , теорема фон Неймана о бикоммутанте связывает замыкание множества ограниченных операторов в гильбертовом пространстве в определенных топологиях с бикоммутантом этого множества. По сути, это связь между алгебраической и топологической сторонами теории операторов .
Формальная формулировка теоремы следующая:
- Теорема фон Неймана о бикоммутанте. Пусть M - алгебра, состоящая из ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H , содержащая единичный оператор, и замкнутая относительно сопряжения . Тогда замыкания на М в слабой операторной топологии и сильной операторной топологии , равны, и в свою очередь , равна бикоммутанте М '' из М .
Эта алгебра называется алгебра фон Неймана , порожденный М .
На пространстве ограниченных операторов существует несколько других топологий, и можно спросить, какие * -алгебры замкнуты в этих топологиях. Если M замкнута в топологии нормы, то это C * -алгебра , но не обязательно алгебра фон Неймана. Одним из таких примеров является C * -алгебра компактных операторов (в бесконечномерном гильбертовом пространстве). Для большинства других распространенных топологий замкнутые * -алгебры, содержащие 1, являются алгебрами фон Неймана; это, в частности, относится к топологиям слабого оператора, сильного оператора, * -сильного оператора, сверхслабой , сверхсильной и * -сверхсильной топологии.
Это связано с теоремой плотности Джекобсона .
Доказательство
Пусть H гильбертово пространство и Ь ( Н ) ограниченные операторы на H . Рассмотрим самосопряженную унитальную подалгебру M в L ( H ) (это означает, что M содержит присоединенные к своим членам и тождественный оператор на H ).
Теорема эквивалентна комбинации следующих трех утверждений:
- (i) cl W ( M ) ⊆ M ′ ′
- (ii) cl S ( M ) ⊆ cl W ( M )
- (iii) M ′ ′ ⊆ cl S ( M )
где индексы W и S означают замыкания в слабой и сильной операторных топологиях соответственно.
Доказательство (i)
По определению слабой операторной топологии для любых x и y в H отображение T → < Tx , y > непрерывно в этой топологии. Следовательно, для любого оператора O (и после замены один раз y → O ∗ y и один раз x → Ox ) отображение
Пусть S - произвольное подмножество L ( H ) , а S ′ - его коммутант . Для любого оператора Т не в S ', < OTX , у > - < Tox , у > отлично от нуля в течение некоторого O в S и некоторых х и у в Н . По непрерывности упомянутого выше отображения существует открытая окрестность T в слабой операторной топологии, для которой она отлична от нуля, поэтому эта открытая окрестность также не находится в S ′. Таким образом , S 'будет закрыто в слабом оператора, т.е. S ' является слабо замкнутым . Таким образом, каждый коммутант слабо замкнут, как и M ′ ′ ; поскольку он содержит M , он также содержит его слабое замыкание.
Доказательство (ii)
Это непосредственно следует из того, что слабая операторная топология является более грубой, чем сильная операторная топология: для каждой точки x в cl S ( M ) каждая открытая окрестность x в слабой операторной топологии также открыта в сильной операторной топологии и, следовательно, содержит член из М ; следовательно, x также является членом cl W ( M ) .
Доказательство (iii)
Зафиксируем X ∈ M ′ ′ . Покажем, что X ∈ cl S ( M ) .
Фиксируем открытую окрестность U в X в сильной операторной топологии. По определению сильной операторной топологии U содержит конечное пересечение U ( h 1 , ε 1 ) ∩ ... ∩ U ( h n , ε n ) суббазовых открытых множеств вида U ( h , ε) = { O ∈ L ( H ): || Ой - Xh || <ε}, где h принадлежит H и ε> 0.
Исправление ч в H . Рассмотрим замыкание Cl ( М ч ) из М ч = { Mh : М ∈ M } по норме Н и оснащена внутренним произведением H . Это гильбертово пространство (будучи замкнутым подпространством в гильбертовом пространстве Н ), и поэтому имеет соответствующую ортогональную проекцию , которую мы обозначим P . P ограничен, поэтому он находится в L ( H ) . Далее мы докажем:
- Лемма. P ∈ M ′ .
- Доказательство. Исправление х ∈ H . Тогда Px ∈ cl ( M h ) , так что это предел последовательности O n h с O n в M для всех n . Тогда для всех T ∈ M , TO n h также находится в M h и, следовательно, его предел находится в cl ( M h ) . По непрерывности T (поскольку он принадлежит L ( H ) и, следовательно, липшицево ), этот предел равен TPx . Поскольку TPx ∈ cl ( M h ) , PTPx = TPx . Отсюда следует , что РТР = ТР для всех Т в М .
- Используя замыкание M под присоединенным, мы получаем, что для каждого T из M и всех x , y ∈ H :
- таким образом, TP = PT и P лежит в M ′ .
По определению бикоммутанта XP = PX . Поскольку M унитален, h ∈ M h , следовательно, Xh = XPh = PXh ∈ cl ( M h ) . Таким образом, для любого ε > 0 существует T в M с || Xh - Th || < ε . Тогда T лежит в U ( h , ε). [ требуется разъяснение ]
Таким образом , в любых открытых окрестностях U в X в сильной операторной топологии есть член М , и поэтому X находится в сильном замыкании операторной топологии М .
Неунитальный случай
С * -алгеброй М , действующий на Н называются действовать без дегенеративно если для ч в Н , М ч = {0} означает , ч = 0 . В этом случае можно показать , используя приближенное идентичность в М , что единичный оператор I лежит в сильном замыкании М . Следовательно, для M справедливо заключение теоремы о бикоммутанте .
Рекомендации
- У. Б. Арвесон, Приглашение к C * -алгебрам , Спрингер, Нью-Йорк, 1976.