Норма оператора

В математике , то норма оператора является средством для создания идеи размера для некоторых линейных операторов . Формально это норма, определенная на пространстве линейных ограниченных операторов между двумя заданными нормированными векторными пространствами .

Введение и определение [ править ]

Учитывая два нормированных векторных пространства и (над одним и тем же базовым полем , действительные числа или комплексные числа ), линейная карта является непрерывной тогда и только тогда, когда существует действительное число такое, что ^[1]${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle A: V \ to W}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ | Av \ | \ leq c \ | v \ | \ quad {\ mbox {для всех}} v \ in V.}$

Норма слева равна единице, а норма справа - единице . Интуитивно понятно, что непрерывный оператор никогда не увеличивает длину любого вектора более чем в раз. Таким образом, образ ограниченного множества при непрерывном операторе также ограничен. Из-за этого свойства непрерывные линейные операторы также известны как ограниченные операторы . Для того, чтобы «измерить размер» этого числа, кажется естественным взять нижнюю грань чисел так , чтобы указанное выше неравенство выполнялось для всех. Это число представляет собой максимальный скалярный множитель, на который «удлиняет» векторы. Другими словами, мы измеряем "размер"${\ displaystyle W}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle c.}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle v \ in V.}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle A}$насколько он «удлиняет» векторы в «самом большом» случае. Итак, мы определяем операторную норму как${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ | A \ | _ {op} = \ inf \ {c \ geq 0: \ | Av \ | \ leq c \ | v \ | {\ mbox {для всех}} v \ in V \}. }$

Нижняя грань достигается как множество всех таких является закрытым , непустое и ограничена снизу. ^[2]${\ displaystyle c}$

Важно иметь в виду , что эта норма оператора зависит от выбора норм для нормированных векторных пространств и W .${\ displaystyle V}$

Примеры [ править ]

Каждая матрица вещественных чисел соответствует линейному отображению из в Каждая пара множества (векторных) норм, применимых к действительным векторным пространствам, индуцирует операторную норму для матриц действительных чисел, основанных только на действительных числах; эти индуцированные нормы образуют подмножество матричных норм .${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}.}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

Если мы специально выбираем евклидову норму на обоих и затем матричная норма дана матрица является квадратный корень из наибольшего собственного значения матрицы (где обозначает сопряженную транспозицию в ). ^[3] Это эквивалентно тому , назначая наибольшее сингулярное значение из${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m},}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {*} A}$${\ displaystyle A ^ {*}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A.}$

Переходя к типичному бесконечномерному примеру, рассмотрим пространство последовательностей, которое является пространством Lp , определяемым формулой${\ displaystyle \ ell ^ {2},}$

${\ displaystyle l ^ {2} = \ {\ left (a_ {n} \ right) _ {n \ geq 1}: \; a_ {n} \ in \ mathbb {C}, \; \ sum _ {n } | a_ {n} | ^ {2} <\ infty \}.}$

Это можно рассматривать как бесконечномерный аналог евклидова пространства. Теперь рассмотрим ограниченную последовательность . Последовательность - это элемент пространства с нормой, заданной формулой${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$${\displaystyle s_{\bullet }}$${\displaystyle \ell ^{\infty },}$

${\displaystyle \left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }=\sup _{n}\left|s_{n}\right|.}$

Определите оператор простым умножением:${\displaystyle T_{s}}$

${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }{\stackrel {T_{s}}{\mapsto }}\ \left(s_{n}\cdot a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$

Оператор ограничен операторной нормой${\displaystyle T_{s}}$

${\displaystyle \left\|T_{s}\right\|_{op}=\left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }.}$

Это обсуждение можно распространить непосредственно на случай, когда заменяется общим пробелом на и заменяется на${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p>1}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }.}$

Эквивалентные определения [ править ]

Первые четыре определения всегда эквивалентны, а если вдобавок, то все они эквивалентны:${\displaystyle V\neq \{0\}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|A\|_{op}&=\inf &&\{c\geq 0~&&:~\|Av\|\leq c\|v\|~&&~{\mbox{ for all }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\leq 1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|<1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\in \{0,1\}~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|=1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}~&&:~v\neq 0~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}.\\\end{alignedat}}}$

Если тогда наборы в последних двух строках будут пустыми, и, следовательно, их верхняя грань по набору будет равна вместо правильного значения Если верхняя грань взята по набору вместо этого, то верхняя грань пустого набора будет и формулы сохранятся для любой${\displaystyle V=\{0\}}$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle [0,\infty ]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle V.}$

Свойства [ править ]

Норма оператора действительно норма на пространстве всех ограниченных операторов между и W . Это означает${\displaystyle V}$

${\displaystyle \|A\|_{op}\geq 0{\mbox{ and }}\|A\|_{op}=0{\mbox{ if and only if }}A=0,}$

${\displaystyle \|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}{\mbox{ for every scalar }}a,}$

${\displaystyle \|A+B\|_{op}\leq \|A\|_{op}+\|B\|_{op}.}$

Следующее неравенство является непосредственным следствием определения:

${\displaystyle \|Av\|\leq \|A\|_{op}\|v\|\ {\mbox{ for every }}\ v\in V.}$

Норма оператора также совместима с композицией или умножением операторов: если , и - три нормированных пространства над одним и тем же базовым полем, и и - два ограниченных оператора, то это субмультипликативная норма , то есть: ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A:V\to W}$${\displaystyle B:W\to X}$

${\displaystyle \|BA\|_{op}\leq \|B\|_{op}\|A\|_{op}.}$

Для ограниченных операторов на это означает, что операторное умножение совместно непрерывно.${\displaystyle V}$

Из определения следует, что если последовательность операторов сходится по операторной норме, она сходится равномерно на ограниченных множествах.

Таблица общих норм операторов [ править ]

Некоторые общие операторные нормы легко вычислить, а другие NP-трудны . За исключением NP-жестких норм, все эти нормы могут быть вычислены в операциях (для матрицы), за исключением нормы (которая требует операций для точного ответа или меньше, если вы аппроксимируете его степенным методом или итерациями Ланцоша). ).${\displaystyle N^{2}}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle \ell _{2}-\ell _{2}}$${\displaystyle N^{3}}$

Вычислимость операторных норм ^[4]

		Ко-домен
		${\displaystyle \ell _{1}}$	${\displaystyle \ell _{2}}$	${\displaystyle \ell _{\infty }}$
Домен	${\displaystyle \ell _{1}}$	Максимальная норма столба${\displaystyle \ell _{1}}$	Максимальная норма столба${\displaystyle \ell _{2}}$	Максимальная норма столба${\displaystyle \ell _{\infty }}$
	${\displaystyle \ell _{2}}$	NP-жесткий	Максимальное сингулярное значение	Максимум строки${\displaystyle \ell _{2}}$
	${\displaystyle \ell _{\infty }}$	NP-жесткий	NP-жесткий	Максимальная норма ряда${\displaystyle \ell _{1}}$

Норму присоединенного или транспонированного можно вычислить следующим образом. У нас есть это для любого тогда, где Гёльдер сопряжен с этим, и${\displaystyle p,q,}$${\displaystyle \|A\|_{p\rightarrow q}=\|A^{*}\|_{q'\rightarrow p'}}$${\displaystyle p',q'}$${\displaystyle p,q,}$${\displaystyle 1/p+1/p'=1}$${\displaystyle 1/q+1/q'=1.}$

Операторы в гильбертовом пространстве [ править ]

Предположим , это действительное или комплексное гильбертово пространство . Если - линейный ограниченный оператор, то имеем${\displaystyle H}$${\displaystyle A:H\to H}$

${\displaystyle \|A\|_{op}=\|A^{*}\|_{op}}$

а также

${\displaystyle \|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2},}$

где обозначает оператор , сопряженный с (что в евклидове гильбертовых пространств со стандартным скалярным произведением соответствует сопряженным транспонированной матрице ).${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

В общем, спектральный радиус от ограничена сверху операторной норме :${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A\|_{op}.}$

Чтобы понять, почему равенство не всегда может выполняться, рассмотрим жорданову каноническую форму матрицы в конечномерном случае. Поскольку на наддиагонали есть ненулевые элементы, равенство может быть нарушено. В операторы квазинильпотентных один класс таких примеров. Ненулевой квазинильпотентный оператор имеет спектр So, а${\displaystyle A}$${\displaystyle \{0\}.}$${\displaystyle \rho (A)=0}$${\displaystyle \|A\|_{op}>0.}$

Однако, когда матрица является нормальным , его Джордан канонической формой является диагональной ( с точностью до унитарной эквивалентности); это спектральная теорема . В этом случае легко увидеть, что${\displaystyle N}$

${\displaystyle \rho (N)=\|N\|_{op}.}$

Эту формулу иногда можно использовать для вычисления операторной нормы данного ограниченного оператора : определить эрмитов оператор, определить его спектральный радиус и извлечь квадратный корень, чтобы получить операторную норму${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=A^{*}A,}$${\displaystyle A.}$

Пространство ограниченных операторов на с топологией, индуцированной операторной нормой, не сепарабельно . Например, рассмотрим гильбертово пространство L 2 [0, 1] . Для аренды быть характеристической функцией от и быть оператором умножения задается то есть,${\displaystyle H,}$${\displaystyle 0<t\leq 1,}$${\displaystyle \Omega _{t}}$${\displaystyle [0,t],}$${\displaystyle P_{t}}$${\displaystyle \Omega _{t},}$

${\displaystyle P_{t}(f)=f\cdot \Omega _{t}.}$

Тогда каждый является ограниченным оператором с операторной нормой 1 и${\displaystyle P_{t}}$

${\displaystyle \left\|P_{t}-P_{s}\right\|_{op}=1\quad {\mbox{ for all }}\quad t\neq s.}$

Но это бесчисленное множество . Отсюда следует, что пространство ограниченных операторов на не сепарабельно по операторной норме. Это можно сравнить с тем фактом, что пространство последовательностей не разделимо.${\displaystyle \left\{P_{t}:0<t\leq 1\right\}}$${\displaystyle L^{2}([0,1])}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Множество всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве вместе с операторной нормой и присоединенной операцией дает C * -алгебру .

См. Также [ править ]

• Непрерывный линейный оператор
• Разрывная линейная карта
• Двойная норма
• Матричная норма  - Норма в векторном пространстве матриц
• Норма (математика)  - Длина в векторном пространстве
• Нормированное пространство
• Операторная алгебра  - раздел функционального анализа
• Теория операторов
• Топологическое векторное пространство  - Векторное пространство с понятием близости.
• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• Неограниченный оператор

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Aliprantis, Charalambos D .; Граница, Ким С. (2007), Анализ бесконечных измерений: Автостопом , Springer, стр. 229, ISBN 9783540326960.
• Конвей, Джон Б. (1990), «III.2 Линейные операторы в нормированных пространствах», Курс функционального анализа , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 67–69, ISBN. 0-387-97245-5