В математике , более конкретно , в абстрактной алгебре , то Коммутант или получена подгруппой из группы является подгруппой порожденной всех коммутаторов группы. [1] [2]
Коммутаторная подгруппа важна, потому что это наименьшая нормальная подгруппа такая, что фактор-группа исходной группы по этой подгруппе абелева . Другими словами,абелева тогда и только тогда, когда содержит коммутаторную подгруппу группы . Так что в некотором смысле это дает меру того, насколько группа далека от абелевой; чем больше коммутаторная подгруппа, тем «менее абелева» группа.
Коммутаторы
Для элементов а также группы G , то коммутатор из а также является . Коммутаторравен единице e тогда и только тогда, когда , то есть тогда и только тогда, когда а также добираться. В общем,.
Однако обозначения несколько произвольны, и существует неэквивалентное определение варианта для коммутатора, у которого есть обратные в правой части уравнения: в таком случае но вместо .
Элемент группы G видадля некоторых g и h называется коммутатором. Единичный элемент e = [ e , e ] всегда является коммутатором, и он является единственным коммутатором тогда и только тогда, когда G абелева.
Вот несколько простых, но полезных коммутаторных тождеств, верных для любых элементов s , g , h группы G :
- где (или, соответственно, ) является сопряженным с от
- для любого гомоморфизма ,
Из первого и второго тождеств следует, что множество коммутаторов в G замкнуто относительно обращения и сопряжения. Если в третьем идентичностью мы возьмем H = G , получаем , что множество коммутаторов устойчиво при любом эндоморфизму из G . Фактически это обобщение второго тождества, поскольку мы можем взять f как автоморфизм сопряжения на G ,, чтобы получить вторую личность.
Однако произведение двух или более коммутаторов не обязательно должно быть коммутатором. Общий пример - [ a , b ] [ c , d ] в свободной группе на a , b , c , d . Известно, что наименьший порядок конечной группы, для которой существуют два коммутатора, произведение которых не является коммутатором, равен 96; на самом деле существуют две неизоморфные группы порядка 96 с этим свойством. [3]
Определение
Это мотивирует определение коммутаторной подгруппы (также называется производной подгруппой и обозначается или же ) группы G : это подгруппа, порожденная всеми коммутаторами.
Из свойств коммутаторов следует, что любой элемент из имеет форму
для некоторого натурального числа , Где г я и ч я являюсь элементами G . Более того, поскольку, [ Править ] коммутант нормальна в G . Для любого гомоморфизма f : G → H ,
- ,
чтобы .
Это показывает, что коммутаторная подгруппа может рассматриваться как функтор над категорией групп , некоторые следствия из которой исследуются ниже. Более того, взяв G = H, это показывает, что коммутатор устойчива относительно любого эндоморфизма группы G : то есть [ G , G ] - вполне характеристическая подгруппа группы G , свойство значительно более сильное, чем нормальность.
Коммутаторная подгруппа также может быть определена как набор элементов g группы, которые имеют выражение в виде произведения g = g 1 g 2 ... g k, которое может быть перегруппировано для получения идентичности.
Производная серия
Эту конструкцию можно повторять:
Группы называются второй производной подгруппой , третьей производной подгруппой и т. д., а также нисходящим нормальным рядом
называется производным рядом . Его не следует путать с нижним центральным рядом , члены которого.
Для конечной группы производный ряд заканчивается совершенной группой , которая может быть тривиальной, а может и нет. Для бесконечной группы производный ряд не обязательно должен заканчиваться на конечном этапе, и можно продолжить его до бесконечных порядковых чисел с помощью трансфинитной рекурсии , получая таким образом трансфинитный производный ряд , который в конечном итоге заканчивается на совершенном ядре группы.
Абелианизация
Учитывая группу , фактор-группа абелева тогда и только тогда, когда .
Частное абелева группа называется абелианизация из или же сделал абелев . [4] Обычно обозначается как или же .
Есть полезная категориальная трактовка карты. . А именно универсален для гомоморфизмов из абелевой группе : для любой абелевой группы и гомоморфизм групп существует единственный гомоморфизм такой, что . Как обычно для объектов, определяемых универсальными свойствами отображения, это показывает уникальность абелианизации с точностью до канонического изоморфизма, а явная конструкция показывает существование.
Функтор абелианизации является левым сопряженным функтором включения из категории абелевых групп в категорию групп. Существование Абелианизации функтора Grp → Ab делает категорию Ab отражательной подкатегорию категории групп, определяемую как полная подкатегория, включение которых функтор имеет левую сопряженный.
Еще одно важное толкование как есть , Первая группа гомологии из с интегральными коэффициентами.
Классы групп
Группа является абелевой группой тогда и только тогда, когда производная группа тривиальна: [ G , G ] = { e }. Эквивалентно, если и только если группа равна своей абелианизации. См. Выше определение абелианизации группы.
Группа является совершенной группой тогда и только тогда , когда производная группа равна самой группа: [ G , G ] = G . Эквивалентно, если и только если абелианизация группы тривиальна. Это «противоположно» абелеву.
Группа с для некоторого n из N называется разрешимой группой ; это слабее, чем абелева, что имеет место n = 1.
Группа с для всех n из N называется неразрешимой группой .
Группа с для некоторого порядкового числа , возможно бесконечного, называется гипоабелевой группой ; это слабее, чем разрешимое, в случае конечного числа α (натурального числа).
Идеальная группа
Всякий раз, когда группа имеет производную подгруппу, равную себе, , она называется идеальной группой . Сюда входят неабелевы простые группы и специальные линейные группы для фиксированного поля .
Примеры
- Коммутант любой абелевой группы является тривиальным .
- Коммутаторная подгруппа полной линейной группы над полем или телом k равно специальной линейной группе при условии, что или k - это не поле с двумя элементами . [5]
- Коммутаторная подгруппа знакопеременной группы A 4 - это четверка Клейна .
- Коммутаторная подгруппа симметрической группы S n является знакопеременной группой A n .
- Коммутаторная подгруппа группы кватернионов Q = {1, −1, i , - i , j , - j , k , - k } равна [ Q , Q ] = {1, −1}.
- Коммутаторная подгруппа фундаментальной группы π 1 ( X ) линейно связного топологического пространства X является ядром естественного гомоморфизма на первую группу особых гомологий H 1 ( X ).
Карта из Out
Поскольку производная подгруппа характеристична , любой автоморфизм группы G индуцирует автоморфизм абелианизации. Поскольку абелианизация абелева, внутренние автоморфизмы действуют тривиально, следовательно, это дает отображение
Смотрите также
- Решаемая группа
- Нильпотентная группа
- Абелианизация H / H 'подгруппы H < G конечного индекса ( G : H ) является целью трансфера Артина T ( G , H ).
Заметки
- ^ Даммит и Фут (2004)
- ^ Лэнг (2002)
- ^ Суарес-Альварес
- ^ Fraleigh (1976 , стр. 108)
- ^ Супруненко, Д.А. (1976), Матричные группы , Переводы математических монографий, Американское математическое общество, Теорема II.9.4
Рекомендации
- Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), John Wiley & Sons , ISBN 0-471-43334-9
- Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , Springer , ISBN 0-387-95385-X
- Суарес-Альварес, Мариано. «Производные подгруппы и коммутаторы» .
Внешние ссылки
- «Подгруппа коммутаторов» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]