Флаг (линейная алгебра)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  линейная алгебра "Flag"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , в частности , в линейной алгебре , А флаг возрастающая последовательность из подпространств одного конечномерных векторное пространства V . Здесь «возрастающий» означает, что каждое подпространство является собственным подпространством следующего (см. Фильтрацию ):

${\ displaystyle \ {0 \} = V_ {0} \ subset V_ {1} \ subset V_ {2} \ subset \ cdots \ subset V_ {k} = V.}$

Термин « флаг» мотивирован конкретным примером, напоминающим флаг : нулевая точка, линия и плоскость соответствуют гвоздю, посоху и листу ткани. ^[1]

Если мы напишем, что dim  V _i = d _i, то получим

${\ displaystyle 0 = d_ {0} <d_ {1} <d_ {2} <\ cdots <d_ {k} = n,}$

где п есть размерность из V (предполагается конечным). Следовательно, должно быть k ≤ n . Флаг называется полным флагом, если d _i = i для всех i , в противном случае он называется частичным флагом .

Частичный флаг может быть получен из полного флага путем удаления некоторых подпространств. И наоборот, любой частичный флаг может быть дополнен (многими различными способами) путем вставки подходящих подпространств.

Подпись флага представляет собой последовательность ( д ₁ , ..., d _K ).

Базы [ править ]

Упорядоченный базис для V называется адаптированным к флагу V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ... ⊂ V _k, если первые d _i базисные векторы образуют базис для V _i для каждого 0 ≤ i ≤ k . Стандартные аргументы линейной алгебры могут показать, что любой флаг имеет адаптированный базис.

Любой упорядоченный базис порождает полный флаг, позволяя V _i быть промежутком первых i базисных векторов. Например, стандартный флаг в R ⁿ индуцируется из стандартного базиса ( e ₁ , ..., e _n ), где e _i обозначает вектор с 1 в i- й записи и 0 в другом месте. Конкретно стандартный флаг - это последовательность подпространств:

${\ displaystyle 0 <\ left \ langle e_ {1} \ right \ rangle <\ left \ langle e_ {1}, e_ {2} \ right \ rangle <\ cdots <\ left \ langle e_ {1}, \ ldots , e_ {n} \ right \ rangle = K ^ {n}.}$

Адаптированный базис почти никогда не бывает уникальным (контрпримеры тривиальны); Смотри ниже.

Полный флаг на внутреннем пространстве продукта имеет по существу уникальный ортонормированный базис : он уникален с точностью до умножения каждого вектора на единицу (скаляр единичной длины, например 1, -1, i  ). Проще всего это доказать индуктивно , отметив, что ^{[ необходима цитата ]} , которая определяет его однозначно с точностью до единицы.${\ displaystyle v_ {i} \ in V_ {i-1} ^ {\ perp} <V_ {i}}$

Говоря более абстрактно, он уникален с точностью до действия максимального тора : флаг соответствует группе Бореля , а скалярное произведение соответствует максимальной компактной подгруппе . ^[2]

Стабилизатор [ править ]

Стабилизатор подгруппа стандартного флага является группой из обратимых верхних треугольных матриц .

В более общем смысле, стабилизатор флага ( линейные операторы на V такие, что для всех i  ) в терминах матрицы представляет собой алгебру блочных верхнетреугольных матриц (относительно адаптированного базиса), где размеры блока . Подгруппа стабилизатора полного флага - это набор обратимых верхнетреугольных матриц по отношению к любому базису, адаптированному к флагу. Подгруппа нижнетреугольных матриц относительно такого базиса зависит от этого базиса и поэтому не может быть охарактеризована только в терминах флага.${\ displaystyle T (V_ {i}) <V_ {i}}$${\ displaystyle d_ {i} -d_ {i-1}}$

Подгруппа стабилизатора любого полного флага является подгруппой Бореля ( общей линейной группы ), а стабилизатор любых частичных флагов является параболической подгруппой .

Подгруппа стабилизатора флага действует просто транзитивно на адаптированных базисах флага, и, следовательно, они не уникальны, если стабилизатор не является тривиальным. Это очень исключительное обстоятельство: это происходит только для векторного пространства размерности 0 или для векторного пространства размерности 1 (именно в тех случаях, когда существует только один базис, независимо от любого флага).${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {2}}$

Гнездо подпространства [ править ]

В бесконечномерном пространстве V , используемом в функциональном анализе , идея флага обобщается на гнездо подпространств , а именно на набор подпространств V, который является полным порядком для включения и который далее замкнут относительно произвольных пересечений и замкнутых линейных промежутков. См. Алгебру гнезд .

Теоретико-множественные аналоги [ править ]

С точки зрения поля с одним элементом , множество можно рассматривать как векторное пространство над полем с одним элементом: это формализует различные аналогии между группами Кокстера и алгебраическими группами .

При этом соответствии порядок на множестве соответствует максимальному флагу: порядок эквивалентен максимальной фильтрации множества. Например, фильтрация (флаг) соответствует порядку .${\ Displaystyle \ {0 \} \ подмножество \ {0,1 \} \ подмножество \ {0,1,2 \}}$${\ Displaystyle (0,1,2)}$

См. Также [ править ]

• Фильтрация (математика)
• Множество флагов
• Грассманиан
• Matroid

Ссылки [ править ]

• Шафаревич И.Р . ; А.О. Ремизов (2012). Линейная алгебра и геометрия . Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.