В теории алгебраических групп борелевская подгруппа алгебраической группы G — это максимальная замкнутая и связная по Зарисскому разрешимая алгебраическая подгруппа . Например, в общей линейной группе GL n ( nxn обратимых матриц) подгруппа обратимых верхнетреугольных матриц является борелевской подгруппой.
Для групп, реализованных над алгебраически замкнутыми полями , имеется единственный класс сопряженности борелевских подгрупп.
Подгруппы Бореля являются одним из двух ключевых компонентов в понимании структуры простых (в более общем смысле, редуктивных ) алгебраических групп в теории групп Жака Титса с парой (B,N) . Здесь группа B — борелевская подгруппа, а N — нормализатор максимального тора , содержащегося в B .
Понятие было введено Армандом Борелем , сыгравшим ведущую роль в развитии теории алгебраических групп.
Подгруппы между борелевской подгруппой B и объемлющей группой G называются параболическими подгруппами . Параболические подгруппы P также характеризуются среди алгебраических подгрупп условием, что G / P — полное многообразие . Работая над алгебраически замкнутыми полями, борелевские подгруппы оказываются в этом смысле минимальными параболическими подгруппами . Таким образом, B является борелевской подгруппой, когда однородное пространство G/B является полным многообразием, которое является «максимально большим».
Для простой алгебраической группы G множество классов сопряженности параболических подгрупп находится в биекции с множеством всех подмножеств узлов соответствующей диаграммы Дынкина ; подгруппа Бореля соответствует пустому множеству, а сама G соответствует множеству всех узлов. (Вообще каждый узел диаграммы Дынкина определяет простой отрицательный корень и, таким образом, одномерную «корневую группу» G — подмножество узлов, таким образом, дает параболическую подгруппу, порожденную B и соответствующими отрицательными корневыми группами. Более того, любая параболическая подгруппа сопряжена с такой параболической подгруппой.)