Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
В алгебраической геометрии , алгебраическая группа (или группа , многообразие ) представляет собой группу , которая представляет собой алгебраическое многообразие , так что операции умножения и инверсии определяются обычные карты на многообразии.
В терминах теории категорий алгебраическая группа - это групповой объект в категории алгебраических многообразий.
Классы [ править ]
Несколько важных классов групп представляют собой алгебраические группы, в том числе:
- Конечные группы
- GL ( п , Р ), то линейная группа из обратимых матриц над полем F , и его алгебраические подгруппы.
- Группы реактивных двигателей
- Эллиптические кривые и их обобщения как абелевы многообразия
Существуют и другие алгебраические группы, но структурная теорема Шевалле утверждает, что каждая алгебраическая группа является расширением абелевого многообразия с помощью линейной алгебраической группы . Точнее, если K - совершенное поле , а G - алгебраическая группа над K , существует единственная нормальная замкнутая подгруппа H в G , такая что H - линейная алгебраическая группа, а G / H - абелево многообразие.
Согласно другой основной теореме [ какая? ] , любая группа, которая также является аффинным многообразием, имеет точное конечномерное линейное представление : она изоморфна матричной группе , определяемой полиномиальными уравнениями .
Над полями действительных и комплексных чисел каждая алгебраическая группа также является группой Ли , но обратное неверно.
Групповая схема является обобщением алгебраической группы , что позволяет, в частности, работает над коммутативным кольцом вместо поля.
Алгебраическая подгруппа [ править ]
Алгебраическая подгруппа алгебраической группы является Зарискому-замкнутой подгруппой . Обычно они считаются связанными (или неприводимыми как разновидность).
Другой способ выразить условие - это подгруппа, которая также является подмногообразием .
Это также можно обобщить, разрешив схемы вместо разновидностей. Основным эффектом этого на практике, помимо допуска подгрупп, в которых связная компонента имеет конечный индекс> 1, является допуск нередуцированных схем в характеристике p .
Группы Кокстера [ править ]
Существует ряд аналогичных результатов между алгебраическими группами и группами Кокстера - например, количество элементов симметрической группы равно , а количество элементов общей линейной группы над конечным полем равно q -факториалу ; таким образом, симметричная группа ведет себя так, как если бы она была линейной группой над «полем с одним элементом». Это формализовано полем с одним элементом , которое рассматривает группы Кокстера как простые алгебраические группы над полем с одним элементом.
Словарь алгебраических групп [ править ]
Существует ряд математических понятий для изучения и классификации алгебраических групп.
В дальнейшем G обозначает алгебраическую группу над полем k .
понятие | объяснение | пример | примечания |
---|---|---|---|
линейная алгебраическая группа | Замкнутая подгруппа Зарисского для некоторого n | S L п {\ displaystyle {\ rm {SL}} _ {n}} | Каждая аффинная алгебраическая группа изоморфна линейной алгебраической группе, и наоборот. |
аффинная алгебраическая группа | Алгебраическая группа, являющаяся аффинным многообразием | грамм L п {\ displaystyle {\ rm {GL}} _ {n}} , не пример: эллиптическая кривая | Понятие аффинной алгебраической группы подчеркивает независимость от любого вложения в |
коммутативный | Основная (абстрактная) группа абелева . | ( аддитивная группа ), ( мультипликативная группа ), [1] любая полная алгебраическая группа (см. абелево многообразие ) | |
диагонализуемая группа | Замкнутая подгруппа , группа диагональных матриц (размер п матрицы с размерностью п ) | ||
простая алгебраическая группа | Связная группа, не имеющая нетривиальных связных нормальных подгрупп | ||
полупростая группа | Аффинная алгебраическая группа с тривиальным радикалом | , | В нулевой характеристике алгебра Ли полупростой группы является полупростой алгеброй Ли |
восстановительная группа | Аффинная алгебраическая группа с тривиальным унипотентным радикалом | Любая конечная группа, | Любая полупростая группа редуктивна |
унипотентная группа | Аффинная алгебраическая группа такая, что все элементы унипотентны | Группа верхних треугольного п матрицы с размерностью п матриц со всеми диагональными элементами , равные 1 | Любая унипотентная группа нильпотентна |
тор | Группа , которая становится изоморфным при переходе к алгебраическому замыканию в к . | Говорят, что G расщепляется некоторым большим полем k ' , если G становится изоморфной G m n как алгебраическая группа над k'. | |
группа характеров X ∗ ( G ) | Группа характеров, т. Е. Гомоморфизмы групп | ||
Алгебра Ли Lie ( G ) | Касательное пространство из G в единице. | это пространство всех N матрицы с размерностью п матриц | Эквивалентно пространство всех левоинвариантных дифференцирований . |
См. Также [ править ]
- Алгебраическая топология (объект)
- Подгруппа Бореля
- Приручить группу
- Ранг Морли
- Гипотеза Черлина – Зильбера.
- Адельная алгебраическая группа
- Псевдоредуктивная группа
Ссылки [ править ]
- ^ Эти две являются единственными связными одномерными линейными группами, Springer 1998 , теорема 3.4.9.
- Chevalley, Claude, ed. (1958), Séminaire C. Chevalley, 1956-1958. Classification des groupes de Lie algébriques , 2 vols, Paris: Secrétariat Mathématique, MR 0106966 , перепечатано как том 3 собрания сочинений Шевалле., Заархивировано из оригинала 30 августа 2013 г. , извлечено 25 июня 2012 г.
- Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Линейные алгебраические группы , Тексты для выпускников по математике , 21 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773
- Ланг, Серж (1983), абелевы разновидности , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90875-5
- Милн Дж. С. Схемы аффинных групп; Алгебры Ли; Группы Ли; Редуктивные группы; Арифметические подгруппы
- Мамфорд, Дэвид (1970), абелевы разновидности , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290
- Спрингер, Тонни А. (1998), Линейные алгебраические группы , Progress in Mathematics, 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7, Руководство по ремонту 1642713
- Уотерхаус, Уильям К. (1979), Введение в аффинные групповые схемы , Тексты для выпускников по математике, 66 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90421-4
- Weil, André (1971), Courbes algébriques et varétés abéliennes , Париж: Hermann, OCLC 322901
Дальнейшее чтение [ править ]
- Алгебраические группы и их алгебры Ли Дэниела Миллера