В математике , фильтрованная алгебра является обобщением понятия градуированной алгебры . Примеры появляются во многих разделах математики , особенно в гомологической алгебре и теории представлений .
Отфильтрованная алгебра над полем - это алгебра над, которая имеет возрастающую последовательность подпространств таких, что
и это совместимо с умножением в следующем смысле:
Ассоциированная градуированная алгебра [ править ]
В общем, существует следующая конструкция, которая производит градуированную алгебру из фильтрованной алгебры.
Если это фильтрованная алгебра, то соответствующая градуированная алгебра определяется следующим образом:
- Как векторное пространство
где,
- и
- умножение определяется как
для всех и . (Точнее, карта умножения складывается из карт
Умножение корректно определено и жертвует со структурой градуированной алгебры, с градацией Кроме того , если есть ассоциативные то и . Также, если он унитальный, то есть в нем лежит единица , то он тоже будет единым.
Как алгебры и различны (за исключением градуированного тривиального случая ), но как векторные пространства они изоморфны . [ необходима цитата ]
Примеры [ править ]
Любая градуированная алгебра , например , градуированная , имеет фильтрацию, заданную как .
Пример фильтрованной алгебры является алгебра Клиффорда векторного пространства , наделенного квадратичной формы ассоциированной градуированной алгебры , тем внешняя алгебра из
Симметричная алгебра на сопряженном из аффинного пространства является фильтрованной алгеброй многочленов; в векторном пространстве вместо этого получается градуированная алгебра.
Универсальная обертывающая из алгебры Ли также , естественно , фильтруется. Теорема PBW утверждает, что ассоциированная градуированная алгебра проста .
Скалярные дифференциальные операторы на многообразии образуют фильтрованную алгебру, где фильтрация задается степенью дифференциальных операторов. Ассоциированная градуированная алгебра - это коммутативная алгебра гладких функций на кокасательном расслоении , полиномиальных вдоль слоев проекции .
Групповая алгебра группы с функцией длиной является фильтрованной алгеброй.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Абэ, Эйити (1980). Алгебры Хопфа . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22240-0.
Эта статья включает материал из Filtered algebra на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .