В математике, в частности в теории групп, конечные группы порядка мощности простых чисел, для фиксированного простого числа и различные целые показатели , кратко называются конечными p-группами .
В P -группы алгоритм генерации М.Ф. Ньюмен [1] и Е. А. О'Брайен [2] [3] является рекурсивным процессом для построения потомков дерева из назначенного конечного р -группы который берется в качестве корня дерева.
Младший показатель - центральный ряд p
Для конечной p -группы, нижний показатель - p- центральный ряд (кратко нижний p -центральный ряд ) это убывающая серия характеристических подгрупп , рекурсивно определяемый
а также , для .
Поскольку любая нетривиальная конечная p -группа нильпотентен, существует целое число такой, что а также называется p- классом экспоненты (сокращенно p -классом ). Только тривиальная группа имеет . Вообще говоря, для любой конечной p -группы, его p -класс можно определить как.
Полный нижний p -центральный ряд поэтому дается
,
поскольку является подгруппа Фраттини из.
Для удобства читателя и для указывая сдвинутый нумерацию, напомним , что (обычно) нижний центральный ряд из также является убывающей серией характеристических подгрупп , рекурсивно определяемый
а также , для .
Как и выше, для любой нетривиальной конечной p -группы, существует целое число такой, что а также называются нильпотентностью из, тогда как называется индексом нильпотентности из. Только тривиальная группа имеет .
Полный нижний центральный ряд дан кем-то
,
поскольку является Коммутант или получена подгруппа из.
Для класса exponent- p следует помнить следующие правила :
Правило: если , для какой-то группы , тогда , для любой .
Правило: Для любого , условия а также подразумевать .
Правило: Пусть . Если, тогда , для всех , в частности, , для всех .
Родители и деревья-потомки
родительконечной нетривиальной p -группыс показателем - p класс определяется как частное из по последнему нетривиальному члену нижнего показателя - p центрального ряда. Наоборот, в этом случаеназывается непосредственным потомком из. В р -классов родителя и непосредственного потомка связаны.
Потомок дерево представляет собой иерархическую структуру для визуализации родителя-потомка отношений между классами изоморфизма конечных р -групп. В вершинах из более потомка дерев являются классами изоморфизма конечных р - групп. Однако вершина всегда будет помечена путем выбора представителя соответствующего класса изоморфизма. Всякий раз, когда вершина является родителем вершины направленное ребро из потомка дерева определяетсяв сторону канонической проекции на частное .
В дереве потомков можно обобщить концепции родителей и непосредственных потомков . Вершинаявляется потомком вершины, а также является предком из, если либо равно или есть путь
, где ,
направленных кромок от к . Вершины, образующие путь, обязательно совпадают с повторяющимися родителями. из , с участием :
, где .
Их также можно рассматривать как последовательные частныер-класса из когда р- класс дан кем-то :
, где .
В частности, любая нетривиальная конечная p -группаопределяет максимальный путь (состоящий из края)
заканчивая тривиальной группой . Предпоследнее частное от максимального путиявляется элементарной абелевой p -группой ранга , где обозначает порождающий ранг .
Как правило, дерево потомковвершины является поддеревом всех потомков , начиная с корня. Максимально возможное дерево потомков тривиальной группы содержит все конечные p -группы и является исключительной, поскольку тривиальная группаимеет все бесконечно много элементарных абелевых p -групп с переменным порождающим рангомкак его непосредственные потомки. Однако любая нетривиальная конечная p -группа (порядка, делимого на) имеет только конечное число непосредственных потомков.
p -покрывающая группа, p -мультипликатор и ядро
Позволять конечная p -группа сгенераторы . Наша цель - составить полный список попарно неизоморфных прямых потомков. Оказывается, все непосредственные потомки могут быть получены как частные некоторого расширения из который называется р -покрытием группы из и может быть построен следующим образом.
где обозначает свободную группу с генераторы и является эпиморфизмом с ядром . потом нормальная подгруппа состоящий из определяющих соотношений для. Для элементов а также , сопряженная а значит, и коммутатор содержатся в . Вследствие этого, является характеристической подгруппой , а p -множитель из элементарная абелева p -группа, так как
.
Теперь мы можем определить p -покрывающую группу от
,
и точная последовательность
показывает, что является продолжением элементарным абелевым p -множителем. Мы называем
р -multiplicator ранг из.
Предположим теперь, что заданная конечная p -группаимеет p -класс. Тогда условия а также подразумевать , В соответствии с правилом (R3), и мы можем определить ядро из от
как подгруппа p -мультипликатора. Следовательно, ядерный ранг
из ограничена сверху рангом p -мультипликатора.
Допустимые подгруппы p -множителя
Как и раньше, пусть конечная p -группа сгенераторы .
Предложение. Любое p -элементарное абелево центральное расширение
из с помощью р -элементарной абелевой подгруппы такой, что является фактором p -покрывающей группы из .
Для подтверждения щелкните " Показать " справа.
Доказательство
Причина в том, что, поскольку , существует эпиморфизм такой, что , где обозначает каноническую проекцию. Следовательно, мы имеем
и поэтому . Способствовать,, поскольку является р -элементарным и, поскольку является центральным. Вместе это показывает, что и поэтому индуцирует желаемый эпиморфизм такой, что .
В частности, непосредственный потомок из является p -элементарным абелевым центральным расширением
из , поскольку
подразумевает а также ,
где .
Определение. Подгруппаиз р -multiplicator изназывается допустимым, если он задан ядром эпиморфизма на непосредственного потомка из .
Эквивалентная характеристика состоит в том, что собственная подгруппа, дополняющая ядро
.
Поэтому первая часть нашей цели - составить список всех непосредственных потомков сделано, когда мы построили все допустимые подгруппы которые дополняют ядро , где . Однако в целом список
,
где , будет избыточным из-за изоморфизмов среди ближайших потомков.
Орбиты при расширенных автоморфизмах
Две допустимые подгруппы а также называются эквивалентными, если частные, которые являются соответствующими прямыми потомками , изоморфны.
Такой изоморфизм между непосредственными потомками с участием имеет свойство, что и тем самым индуцирует автоморфизм из который продолжается до автоморфизма группы p- покрытияиз . Ограничение этого расширенного автоморфизмак p -множителю из определяется однозначно .
С , каждый расширенный автоморфизм вызывает перестановку допустимых подгрупп . Мы определяембыть группой перестановок, порожденной всеми перестановками, индуцированными автоморфизмами. Тогда карта, является эпиморфизмом и классы эквивалентности допустимых подгрупп в точности являются орбитами допустимых подгрупп под действием группы подстановок.
В конце концов, наша цель - составить список всех непосредственных потомков будет сделано, когда мы выберем представителя для каждого из орбиты допустимых подгрупп под действием . Именно это и делает алгоритм генерации p- группы за один шаг рекурсивной процедуры построения дерева потомков назначенного корня.
Возможные p -группы и размеры шагов
Конечная p -группаназывается способным (или расширяемым ), если у него есть хотя бы один непосредственный потомок, в противном случае он является конечным (или листом ). Ядерный ранг из принимает решение о возможности :
является терминальным тогда и только тогда, когда .
способен тогда и только тогда, когда .
В случае возможности, имеет непосредственных потомков разные размеры шага, в зависимости от индекса соответствующей допустимой подгруппы в p -умножителе. Когда в порядке , то непосредственный потомок размера шага в порядке .
Для связанного с этим явления мультифуркации дерева-потомка в вершине с ядерным рангом см. статью о деревьях-потомках .
В P -группы алгоритм генерации обеспечивает гибкость , чтобы ограничить конструкцию непосредственных потомков тех из одного фиксированного размера шага, что очень удобно в случае огромного числа потомков (см. следующий раздел).
Числа прямых потомков
Обозначим количество всех непосредственных потомков , соответственно. непосредственные потомки размера шага, из от , соотв. . Тогда у нас есть. В качестве конкретных примеров мы представляем некоторые интересные конечные метабелевы p -группы с обширным набором непосредственных потомков, используя идентификаторы SmallGroups и дополнительно указывая числаиз способных непосредственных потомков в обычном форматекак дано реальными реализациями алгоритма генерации p- групп в системах компьютерной алгебры GAP и MAGMA.
Во-первых, пусть .
Начнем с групп, имеющих абелианизацию типа . См. Рисунок 4 в статье о деревьях-потомках .
Группа кокласса имеет звания , и номера потомков , .
Группа кокласса имеет звания , и номера потомков , .
Один из его непосредственных потомков, группа , имеет звания , и номера потомков , .
Напротив, группы с абелианизацией типа частично находятся за пределами вычислимости.
Группа кокласса имеет звания , и номера потомков , .
Группа кокласса имеет звания , и номера потомков , неизвестный.
Группа кокласса имеет звания , и номера потомков , неизвестный.
Далее пусть .
Соответствующие группы с абелианизацией типа иметь большее число потомков, чем у .
Группа кокласса имеет звания , и номера потомков , .
Группа кокласса имеет звания , и номера потомков , .
Множитель Шура
Через изоморфизм , фактор-группа можно рассматривать как аддитивный аналог мультипликативной группы всех корней единства .
Позволять быть простым числом и конечная p -группа с представлениемкак в предыдущем разделе. Тогда вторая группа когомологий принадлежащий -модуль называется мультипликатор Шура из. Его также можно интерпретировать как фактор-группу.
И. Р. Шафаревич [4] доказал, что различие между рангом отношения из и ранг генератора из дается минимальным числом образующих множителя Шура , это .
Н. Бостон и Х. Новер [5] показали, что, для всех частных из р -класса, , Из про- р группы с конечной абелианизацией .
Кроме того, Дж. Блэкхерст (в приложении О ядре некоторых p-групп к статье Н. Бостона, М. Р. Буша и Ф. Хаджира [6] ) доказал, что нециклическая конечная p- группа с тривиальным множителем Шура является конечной вершиной в дереве-потомке тривиальной группы , это, .
Примеры
Конечная p -группа имеет сбалансированную подачу если и только если , то есть тогда и только тогда, когда его множитель Шура тривиально. Такая группа называется группой Шура, и она должна быть листом в дереве потомков..
Конечная p -группа удовлетворяет если и только если , то есть тогда и только тогда, когда он имеет нетривиальный циклический множитель Шура . Такая группа называется группой Шура + 1 .
Рекомендации
Перейти ↑ Newman, MF (1977). Определение групп степенного порядка простых чисел . С. 73-84, в: Теория групп, Канберра, 1975, Конспект лекций по математике, т. 573, Шпрингер, Берлин.
^Холт, Д.Ф., Эйк, Б., О'Брайен, Е.А. (2005). Справочник по вычислительной теории групп . Дискретная математика и ее приложения, Chapman and Hall / CRC Press.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^Шафаревич И. Р. (1963). «Расширения с заданными точками разветвления». Inst. Hautes Études Sci. Publ. Математика . 18 : 71–95.Переведено на амер. Математика. Soc. Пер. (2) , 59 : 128-149, (1966).
^Бостон, Н., Новер, Х. (2006). Вычисление про- р Галуа групп . Труды 7-го симпозиума по теории алгоритмических чисел 2006 г., конспект лекций по информатике 4076, 1-10, Спрингер, Берлин.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^Бостон, Н., Буш, М. Р., Хаджир, Ф. (2013). «Эвристика для башен p- класса мнимых квадратичных полей». Математика. Энн . arXiv : 1111.4679 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )