В математической области теории алгебраических чисел , понятие principalization относится к ситуации , когда дается расширение из полей алгебраических чисел , некоторый идеал (или в более общем случае дробный идеале ) в кольце целых чисел меньшего поля не главным , но его расширение на кольцо целых чисел большего поля равно. Его исследование берет начало в работе Эрнста Куммера об идеальных числах.из 1840-х годов, которые, в частности, доказали, что для каждого поля алгебраических чисел существует поле чисел расширения такое, что все идеалы кольца целых чисел основного поля (которые всегда могут быть порождены не более чем двумя элементами) становятся главными при расширении на большее поле. В 1897 году Дэвид Гильберт предположил, что максимальное абелево неразветвленное расширение базового поля, которое позже было названо полем классов Гильберта данного базового поля, является таким расширением. Эта гипотеза, известная теперь как теорема об основном идеале , была доказана Филиппом Фуртвенглером в 1930 году после того, как она была переведена из теории чисел в теорию групп .Эмиль Артин в 1929 году, который использовал свой общий закон взаимности, чтобы установить новую формулировку. Так как это долго желательно доказательство было достигнуто посредством Артиновых трансфертов из неабелевыми групп с полученной длиной два, некоторые исследователи попытались дополнительно использовать теорию таких групп , чтобы получить дополнительную информацию о principalization в промежуточных областях между базовым полем и его Гильбертом поле класса. Первые вклады в этом направлении были сделаны Арнольдом Шольцем и Ольгой Таусской в 1934 году, которые придумали синоним « капитуляция» для «принципализации». Другой независимый доступ к проблеме principalization через когомологии Галуа из единичных групп также из - Гильберта и восходит к главе о циклических расширениях числовых полей простой степени в своем докладе номера , который завершается в известных теоремах 94 .
Расширение классов
Позволять - поле алгебраических чисел, называемое базовым полем , и пусть- расширение поля конечной степени. Позволять а также обозначим кольцо целых чисел, группу ненулевых дробных идеалов и ее подгруппу главных дробных идеалов полей соответственно. Тогда карта расширения дробных идеалов
Если существует неглавный идеал (т.е. ), идеал продолжения которого в является основным (т.е. для некоторых а также ), то мы говорим о принципиализации или капитуляции в. В этом случае идеальный и его класс Говорят, что они принципиализируются или капитулируют в. Это явление наиболее удобно описывать ядром принципализации или ядром капитуляции , то есть ядром гомоморфизма расширений классов.
это луч по модулю, где группа ненулевых дробных идеалов в относительно простой и условие средства а также для каждого реального бесконечного простого числа разделение Позволять тогда группа называется обобщенной группой классов идеалов для Если а также являются обобщенными группами классов идеалов такие, что для каждого а также для каждого , тогда индуцирует гомоморфизм расширений групп классов обобщенных идеалов:
Существует единственный автоморфизм такой, что для всех алгебраических целых чисел , где является нормой в. Картаназывается автоморфизм Фробениуса из. Он генерирует группу разложения из и ее порядок равен степени инерции из над . (Если разветвляется тогда только определяется и генерирует по модулю подгруппы инерции
чей порядок является индексом ветвления из над ). Любой другой главный идеал разделение имеет форму с некоторыми . Его автоморфизм Фробениуса задается формулой
поскольку
для всех , а значит, и его группа разложения сопряжен с . В этой общей ситуации символ Артина - это отображение
который ставит в соответствие целый класс сопряженных автоморфизмов любому неразветвленному первичному идеалу, и у нас есть если и только если полностью распадается на.
Факторизация основных идеалов
Когда является промежуточным полем с относительной группой Галуа , более точные утверждения о гомоморфизмах а также возможны, потому что мы можем построить факторизацию (где неразветвлен в как указано выше) в от его факторизации в следующим образом. [1] [2] Простые идеалы в лежа на находятся в грамм {\ displaystyle G}
-эквивариантная биекция с грамм {\ displaystyle G}
-множество левых смежных классов, где соответствует смежному классу . Для каждого главного идеала в лежа на группа Галуа действует транзитивно на множестве простых идеалов в лежа на , таким образом, такие идеалы находятся в биекции с орбитами действия на умножением слева. Такие орбиты, в свою очередь, взаимно однозначно соответствуют двойным смежным классам . Позволять - полная система представителей этих двойных смежных классов, таким образом, . Кроме того, пусть обозначим орбиту смежного класса в действии на множестве левых смежных классов умножением слева и пусть обозначим орбиту смежного класса в действии на множестве правых смежных классов умножением справа. потом факторизуется в в виде , где для простые идеалы, лежащие над в удовлетворение с продуктом, работающим над любой системой представителей .
У нас есть
Позволять - группа разложения над . потом стабилизатор в действии на , поэтому по теореме о стабилизаторе орбиты имеем. С другой стороны, это, что вместе дает
Другими словами, степень инерции равна размеру орбиты смежного класса в действии на множестве правых смежных классов умножением справа. Если взять обратное, это равно размеру орбиты сословия в действии на множестве левых смежных классов умножением слева. Также главные идеалы в лежа на соответствуют орбитам этого действия.
Следовательно, идеальное вложение дается формулой , а расширение класса
Закон взаимности Артина
А теперь предположим является абелевым расширением , т. е.абелева группа. Тогда все группы сопряженных разложений простых идеалов лежа на совпадают, таким образом для каждого , и символ Артина становится равным автоморфизму Фробениуса любого а также для всех и каждый .
По теории полей классов , [3] абелева расширение однозначно соответствует промежуточной группе между лучом по модулю из а также , где обозначает относительный проводник ( делится на те же простые идеалы, что и ). Символ Артина
который сопоставляет автоморфизм Фробениуса каждому первому идеалу из который неразветвлен в , может быть расширен с помощью мультипликативности до сюръективного гомоморфизма
с ядром (где средства ), называемое отображением Артина , которое индуцирует изоморфизм
обобщенной группы классов идеалов группе Галуа . Этот явный изоморфизм называется законом взаимности Артина или общим законом взаимности . [4]
Рисунок 1: Коммутативная диаграмма, соединяющая расширение класса с передачей Артина.
Теоретико-групповая постановка задачи.
Этот закон взаимности позволил Артину перевести общую проблему принципализации для числовых полейна основе следующего сценария от теории чисел к теории групп. Позволять - расширение Галуа полей алгебраических чисел с группой автоморфизмов . Предположить, что промежуточное поле с относительной группой и разреши - максимальное абелево подрасширение соответственно в . Тогда соответствующие относительные группы суть коммутаторные подгруппы , соотв. . По теории полей классов существуют промежуточные группы а также такие, что отображения Артина устанавливают изоморфизмы
Здесь средства а также некоторые модули делятся на соответственно и всеми простыми числами, делящими соответственно.
Гомоморфизм идеального расширения , индуцированный перенос Артина и эти отображения Артина связаны формулой
С порождается простыми идеалами который не разделяет , достаточно проверить это равенство на этих генераторах. Следовательно, предположим, что главный идеал который не разделяет и разреши быть главным идеалом лежа на . С одной стороны, идеальный гомоморфизм продолжения отображает идеал базового поля к идеалу расширения в поле , и карта Артина поля отображает это произведение простых идеалов в произведение сопряженных автоморфизмов Фробениуса
где двойное разложение смежных классов и его представители, используемые здесь, такие же, как в предпоследнем разделе. С другой стороны, карта Артина базового поля отображает идеал автоморфизму Фробениуса . Впара система представителей двойных классов смежности , которые соответствуют орбитам действия на множестве левых смежных классов левым умножением и равна размеру орбиты смежного класса в этом действии. Следовательно, индуцированные переводные отображения Артина к продукту
Это выражение-произведение было исходной формой гомоморфизма переноса Артина, соответствующей разложению представления перестановки на непересекающиеся циклы . [5]
Поскольку ядра карт Артина а также находятся а также соответственно, из предыдущей формулы следует, что . Отсюда следует, что существует гомоморфизм расширений классов и это и индуцированный перенос Артина связаны коммутативной диаграммой на рис.1 через изоморфизмы, индуцированные отображениями Артина, т. е. имеем равенство двух составных . [3] [6]
Классовая полевая башня
Коммутативная диаграмма из предыдущего раздела, которая связывает теоретико-числовой гомоморфизм расширения классов с теоретико-групповым переносом Артина , позволил Фуртвенглеру доказать теорему об основном идеале, специализируясь на ситуации является (первым) полем классов Гильберта , то есть максимальное абелево неразветвленное расширение , а также это второй класс Гильберта поля из, то есть максимальное метабелево неразветвленное расширение (и максимальное абелево неразветвленное расширение ). потом а также - коммутаторная подгруппа группы . Точнее, Фуртвенглер показал, что в целом передача Артина из конечной метабелевой группы в свою производную подгруппу является тривиальным гомоморфизмом. На самом деле это правда, даже если не метабелев, потому что мы можем свести к метабелеву падеж, заменив с участием . Это также верно для бесконечных групп, если конечно порожден и . Отсюда следует, что каждый идеал распространяется на главный идеал .
Однако коммутативная диаграмма содержит потенциал для множества более сложных приложений. В ситуации, когда простое число, является вторым Гильбертом р-полем классов из, то есть максимальное метабелево неразветвленное расширение степени степень меняется в промежуточном поле между и его первое гильбертово поле p-класса, а также соответственно варьируется по промежуточным группам между а также , вычисление всех ядер принципализации и все группы p-класса переводится в информацию о ядрах и цели переводов Artin и позволяет точно определить вторую группу p-класса из с помощью распознавания образов , а зачастую даже позволяет сделать выводы о всех полях р-классе башне из, то есть группа Галуа максимального неразветвленного про- р расширения из .
Эти идеи явно выражены уже в статье А. Шольца и О. Таусского 1934 года. [7] На этих ранних этапах распознавание образов состояло из определения аннигиляционных идеалов или символических порядков и отношений Шрайера метабелевых p -групп с последующим использованием теоремы единственности о расширениях групп О. Шрайера. [8] В настоящее время, мы используем р -группа алгоритм генерации из MF Ньюменом [9] и Е. А. О'Брайен [10] для построения потомков деревьев из р -групп и поиск шаблонов, определенных ядер и целевых трансфертов Артиновых , среди вершины этих деревьев.
Когомологии Галуа
В главе о циклических расширениях числовых полей простой степени своего отчета о числах от 1897 года Д. Гильберт [2] доказывает серию важнейших теорем, кульминацией которых является теорема 94, первоначальный росток теории полей классов. Сегодня эти теоремы можно рассматривать как начало того, что сейчас называется когомологиями Галуа. Гильберт рассматривает конечное относительное расширение полей алгебраических чисел с циклической группой Галуа порожденный автоморфизмом такой, что для относительной степени , который считается нечетным простым числом.
Он исследует два эндоморфизма единичной группы поля расширения, рассматриваемого как модуль Галуа по отношению к группе, кратко -модуль. Первый эндоморфизм
является символическим возведением в степень с разницей , а второй эндоморфизм
является алгебраической нормой отображения, то есть символическое экспоненцирование со следом
Фактически, образ отображения алгебраической нормы содержится в единичной группе базового поля и совпадает с обычной арифметической (полевой) нормой как произведение всех сопряженных. Композиция эндоморфизмов удовлетворяет соотношениям а также .
Две важные группы когомологий можно определить с помощью ядер и образов этих эндоморфизмов. Нулевое Тэйт группа когомологий из в дается частным состоящий из остатков по норме, а минус первая группа когомологий Тейта в дается частным группы из относительных единиц по по модулю подгруппы символических степеней единиц с формальным показателем .
В своей теореме 92 Гильберт доказывает существование относительной единицы что не может быть выражено как , для любого блока , что означает, что минус первая группа когомологий нетривиальна порядка кратного . Однако с помощью совершенно аналогичной конструкции минус первая группа когомологий принадлежащий -модуль , мультипликативная группа суперполя , можно определить, и Гильберт показывает его тривиальность в его знаменитой теореме 90 .
В конце концов, Гильберт может сформулировать свою знаменитую теорему 94 : если является циклическим расширением числовых полей нечетной простой степени с тривиальным относительным дискриминантом , что означает, что он неразветвлен в конечных простых числах , то существует неглавный идеал базового поля который становится главным в поле расширения , это для некоторых . Кроме того,-я степень этого неглавного идеала является главной в базовом поле , в частности , следовательно, номер класса базового поля должен делиться на и поле расширения можно назвать полем класса. Доказательство выглядит следующим образом: теорема 92 утверждает, что существует единичная, то теорема 90 обеспечивает существование (обязательно неединичной) такой, что , т.е. . Умножая правильным целым числом, если необходимо, мы можем считать, что является целым алгебраическим числом. Неединичныйявляется генератором неоднозначного главного идеала, поскольку . Однако основной идеал подполя не может быть главным. Предположим противное, что для некоторых . С неразветвлен, каждый двусмысленный идеал из это лифт какого-то идеала в , в частности . Следовательно и поэтому для какой-то единицы . Это означало бы противоречие так как . С другой стороны,
таким образом является главным в базовом поле уже.
Теоремы 92 и 94 не верны, как указано для , с полями а также являясь контрпримером (в данном конкретном случае является узкий класс Гильберта поля из). Причина в том, что Гильберт рассматривает ветвление только для конечных простых чисел, но не для бесконечных простых чисел (мы говорим, что действительное бесконечное простое число разветвляется в если существует ненастоящее расширение этого простого числа на ). Это не имеет значения, когданечетно, так как тогда расширение не разветвляется на бесконечное число простых чисел. Однако он отмечает, что теоремы 92 и 94 верны для при условии, что мы также предполагаем, что количество полей сопряжено с которые являются действительными, в два раза больше числа реальных полей, сопряженных с . Это условие эквивалентно не разветвляется на бесконечных простых числах, поэтому теорема 94 верна для всех простых чисел если мы предположим, что везде неразветвлен.
Из теоремы 94 следует простое неравенство для порядка ядра принципализации расширения . Однако точная формула для порядка этого ядра может быть получена для циклического неразветвленного (включая бесконечные простые числа) расширения (не обязательно простой степени) с помощью фактора Эрбрана [11] принадлежащий -модуль , который задается
Можно показать, что (без вычисления порядка любой из групп когомологий). Поскольку расширение неразветвленный, это так . С помощью изоморфизма К. Ивасавы [12], специализирующаяся на циклическом расширении с периодическими когомологиями длины , мы получаем
Это соотношение увеличивает нижнюю границу в множитель , так называемый индекс единичной нормы .
История
Как упоминалось в ведущем разделе, несколько исследователей пытались обобщить теорему Гильберта-Артина-Фуртвенглера о главном идеале 1930 года на вопросы, касающиеся принципализации в промежуточных расширениях между базовым полем и его полем классов Гильберта. С одной стороны, они установили общие теоремы о принципализации над произвольными числовыми полями, такие как Ph. Furtwängler 1932, [13] O. Taussky 1932, [14] O. Taussky 1970, [15] и H. Kisilevsky 1970. [ [13] 16]. С другой стороны, они искали конкретные числовые примеры принципализации в неразветвленных циклических расширениях определенных видов базовых полей.
Квадратичные поля
Принципиализация -классы мнимых квадратичных полей с участием -класс второго ранга в неразветвленных циклических кубических расширениях вычислялся вручную для трех дискриминантов А. Шольца и О. Таусского [7] в 1934 году. Поскольку для этих вычислений требуется композиция бинарных квадратичных форм и явное знание фундаментальных систем единиц в полях кубических чисел, что было очень сложной задачей в 1934 году, исследования остались в покое. за полвека до Ф.-П. Хайдер и Б. Шмитальс [17] использовали компьютер CDC Cyber 76 в Кельнском университете для распространения информации, касающейся принципализации, на диапазон содержащий соответствующие дискриминанты в 1982 году, тем самым предоставив первый анализ пяти действительных квадратичных полей. Два года спустя Дж. Бринк [18] вычислил типы принципализациикомплексные квадратичные поля. В настоящее время наиболее обширное вычисление данных принципализации для всех квадратичные поля с дискриминантами а также -классовая группа типа принадлежит DC Mayer в 2010 г. [19], который использовал недавно обнаруженную связь между ядрами передачи и целями передачи для разработки нового алгоритма принципализации . [20]
В -принципализация в неразветвленных квадратичных расширениях мнимых квадратичных полей с -классовая группа типа был изучен Х. Кисилевским в 1976 г. [21] Аналогичные исследования действительных квадратичных полей были выполнены Э. Бенджамином и К. Снайдером в 1995 г. [22]
Кубические поля
В -принципализация в неразветвленных квадратичных расширениях циклических кубических полей с-классовая группа типа был исследован А. Дерхемом в 1988 г. [23] Семь лет спустя М. Аяди изучил-принципализация в неразветвленных циклических кубических расширениях циклических кубических полей , , с участием -классовая группа типа и дирижер делится на два или три простых числа. [24]
Секстические поля
В 1992 году МС Исмаили исследовал -principalization в неразветвленных циклических кубических расширениях нормального закрытия из чистых кубических полей, в случае, если это поле шестого числа , , имеет -классовая группа типа . [25]
Поля четвертой степени
В 1993 г. А. Азизи изучал -принципализация в неразветвленных квадратичных расширениях биквадратичных полей типа Дирихле с участием -классовая группа типа . [26] Совсем недавно, в 2014 г., А. Зехнини распространил исследования на поля Дирихле с-классовая группа типа , [27] таким образом предоставляя первые примеры-принципализация в двух слоях неразветвленных квадратичных и биквадратичных расширений квадратичных полей с группами классов -ранг три.
Смотрите также
Как алгебраический, теоретико-групповой доступ к проблеме принципализации Гильберта-Артина-Фуртвенглера, так и арифметический, когомологический доступ Гильберта-Хербранда-Ивасавы также подробно представлены в двух библиях капитуляции Ж.-Ф. Jaulent 1988 [28] и К. Мияке 1989. [6]
Вторичные источники
Cassels, JWS ; Фрёлих, Альбрехт , ред. (1967). Алгебраическая теория чисел . Академическая пресса. Zbl 0153.07403 .
Ивасава, Кенкичи (1986). Теория поля локальных классов . Оксфордские математические монографии. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-504030-2. Руководство по ремонту 0863740 . Zbl 0604.12014 .
Януш, Джеральд Дж. (1973). Поля алгебраических чисел . Чистая и прикладная математика. 55 . Академическая пресса. п. 142. Zbl 0307.12001 .
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008). Когомологии числовых полей . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 323 (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-37888-X. Zbl 1136.11001 .
Рекомендации
^Гурвиц, А. (1926). "Uber Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe". Математика. Z . 25 : 661–665. DOI : 10.1007 / bf01283860 .
^ а бГильберт, Д. (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Яресбер. Deutsch. Математика. Verein . 4 : 175–546.
^ а бХассе, Х. (1930). "Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper. Teil II: Reziprozitätsgesetz". Яресбер. Deutsch. Математика. Verein., Ergänzungsband . 6 : 1–204.
^Артин, Э. (1927). "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes". Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург . 5 : 353–363.
^Артин, Э. (1929). «Идеалклассен в Оберкёрперн и allgemeines Reziprozitätsgesetz». Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург . 7 : 46–51.
^ а бМияке, К. (1989). «Алгебраические исследования теоремы Гильберта 94, теоремы об основном идеале и проблемы капитуляции». Экспо. Математика . 7 : 289–346.
^ а бШольц А., Таусский О. (1934). "Die Hautileale der kubischen Klassenkörper imaginär quadratischer Zahlkörper: ihre rechnerische Bestimmung und ihr Einfluß auf den Klassenkörperturm". J. Reine Angew. Математика . 171 : 19–41.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^Шрайер, О. (1926). "Über die Erweiterung von Gruppen II". Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург . 4 : 321–346.
^Ньюман, MF (1977). Определение групп степенного порядка простых чисел . С. 73-84, в: Теория групп, Канберра, 1975, Конспект лекций по математике, т. 573, Шпрингер, Берлин.
^О'Брайен, EA (1990). « Алгоритм генерации p- группы». J. Symbolic Comput . 9 : 677–698. DOI : 10.1016 / s0747-7171 (08) 80082-X .
^Хербранд, Дж. (1932). "Sur les théorèmes du жанра главного и главных идей". Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург . 9 : 84–92. DOI : 10.1007 / bf02940630 .
^Ивасава, К. (1956). «Заметка о группе единиц поля алгебраических чисел». J. Math. Pures Appl . 9 (35): 189–192.
^Фуртвенглер, доктор наук (1932). "Uber eine Verschärfung des Hauptidealsatzes für algebraische Zahlkörper". J. Reine Angew. Математика . 167 : 379–387.
^Таусский, О. (1932). "Uber eine Verschärfung des Hauptidealsatzes für algebraische Zahlkörper". J. Reine Angew. Математика . 168 : 193–210.
^Таусский, О. (1970). «Замечание по поводу теоремы Гильберта 94». J. Reine Angew. Математика . 239/240: 435–438.
^Кисилевский, Х. (1970). «Некоторые результаты, связанные с теоремой Гильберта 94» . J. Теория чисел . 2 : 199–206. DOI : 10.1016 / 0022-314x (70) 90020-х .
^Хайдер, Ф.-П., Шмитальс, Б. (1982). "Zur Kapitulation der Idealklassen in unverzweigten primzyklischen Erweiterungen". J. Reine Angew. Математика . 363 : 1–25.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^Бринк, младший (1984). Башня полей классов для полей мнимых квадратичных чисел типа (3,3) . Диссертация, Университет штата Огайо.
^Майер, округ Колумбия (2012). «Вторая группа p-класса числового поля». Int. J. Теория чисел . 8 (2): 471–505. arXiv : 1403,3899 . DOI : 10,1142 / s179304211250025x .
^Майер, округ Колумбия (2014). «Алгоритм принципализации через структуру группы классов». J. Théor. Nombres Bordeaux . 26 (2): 415–464. arXiv : 1403,3839 . DOI : 10,5802 / jtnb.874 .
^Кисилевский, Х. (1976). «Числовые поля с числом классов, конгруэнтным 4 mod 8 и теореме Гильберта 94» . J. Теория чисел . 8 : 271–279. DOI : 10.1016 / 0022-314x (76) 90004-4 .
^Бенджамин, Э., Снайдер, К. (1995). «Поля вещественных квадратичных чисел с 2-классной группой типа (2,2)». Математика. Сканд . 76 : 161–178.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^Дерхем, А. (1988). Капитуляция в квадратичных расширениях, не раздуваемых кубическими циклическими числами . Thèse de Doctorat, Univ. Лаваль, Квебек.
^Аяди, М. (1995). Sur la capitulation de 3-classes d'idéaux d'un corps cubique cyclique . Thèse de Doctorat, Univ. Лаваль, Квебек.
^Исмаили, MC (1992). Sur la capitulation de 3-classes d'idéaux de la clôture normale d'un corps cubique pure . Thèse de Doctorat, Univ. Лаваль, Квебек.
^Азизи, А. (1993). Sur la capitulation de 2-classes d'idéaux de. Thèse de Doctorat, Univ. Лаваль, Квебек.
^Зехнини, А. (2014). Capitulation des 2-classes d'idéaux de определенных corps de nombres biquadratiques imaginairesде типа (2,2,2) . Thèse de Doctorat, Univ. Мохаммед Премьер, Faculté des Sciences d'Oujda, Maroc.
^Жолент, Ж.-Ф. (26 февраля 1988 г.). "L'état actuel du problème de la capitulation". Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux . 17 : 1–33.