В теории колец , ветвь абстрактной алгебры , идеал из кольца является специальным подмножество его элементов. Идеалы обобщают определенные подмножества целых чисел , такие как четные числа или числа, кратные 3. Сложение и вычитание четных чисел сохраняет четность, а умножение четного числа на любое другое целое число приводит к другому четному числу; эти закрывающие и впитывающие свойства являются определяющими свойствами идеала. Идеал может быть использован для построения фактор - кольцо аналогично тому , как в теории групп , нормальная подгруппаможет использоваться для построения фактор-группы .
Среди целых чисел идеалы взаимно однозначно соответствуют неотрицательным целым числам : в этом кольце каждый идеал является главным идеалом, состоящим из кратных одного неотрицательного числа. Однако в других кольцах идеалы могут не соответствовать непосредственно элементам кольца, и определенные свойства целых чисел при обобщении на кольца более естественно присоединяются к идеалам, чем к элементам кольца. Например, простые идеалы кольца аналогичны простым числам , а китайская теорема об остатках может быть обобщена на идеалы. Существует вариант уникальной факторизации на простые множители идеалов дедекиндовской области (тип кольца, важный в теории чисел ).
Родственная, но отличная концепция идеала в теории порядка происходит от понятия идеала в теории колец. Дробный идеал является обобщением идеала, а обычные идеалы иногда называют целые идеалы для ясности.
История
Эрнст Куммер изобрел концепцию идеальных чисел, которые служат «недостающими» множителями в числовых кольцах, в которых уникальная факторизация не выполняется; здесь слово «идеальный» имеет смысл существовать только в воображении, по аналогии с «идеальными» объектами в геометрии, такими как точки на бесконечности. [1] В 1876 году Ричард Дедекинд заменил неопределенную концепцию Куммера конкретными наборами чисел, наборами, которые он назвал идеалами, в третьем издании книги Дирихле « Vorlesungen über Zahlentheorie» , к которой Дедекинд добавил много дополнений. [1] [2] [3] Позже Дэвид Гильберт и особенно Эмми Нётер распространили это понятие за пределы числовых колец на набор полиномиальных колец и других коммутативных колец .
Определения и мотивация
Для произвольного кольца , позволять - его аддитивная группа . Подмножествоназывается левым идеалом из если это аддитивная подгруппа группы который "поглощает умножение слева на элементы "; это, является левым идеалом, если он удовлетворяет следующим двум условиям:
- является подгруппой в
- Для каждого и каждый , продукт в .
Правый идеал определяются с условием « гм ∈ I » заменен на « хты ∈ I » . Двусторонний идеал левый идеал , который также является правым идеалом, а иногда называют просто идеальным. На языке модулей , определение означает , что левый (. Соответственно вправо, двусторонний) идеал R является именно левым (соответственно правым, би-.) Р - подмодуль из R , когда R рассматриваются как R - модуль . Когда R - коммутативное кольцо, определения левого, правого и двустороннего идеала совпадают, и термин идеал используется отдельно.
Чтобы понять концепцию идеала, рассмотрим, как идеалы возникают при построении колец «элементов по модулю». Для конкретности рассмотрим кольцо ℤ n целых чисел по модулю заданного целого числа n ∈ ℤ (заметим, что ℤ - коммутативное кольцо). Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что мы получаем ℤ n , беря целую строку ℤ и оборачивая ее вокруг себя, чтобы идентифицировать различные целые числа. При этом мы должны удовлетворить два требования: 1) n должно быть отождествлено с 0, поскольку n сравнимо с 0 по модулю n , и 2) результирующая структура снова должна быть кольцом. Второе требование заставляет нас делать дополнительные идентификации (т.е. оно определяет точный способ, которым мы должны обернуть ℤ вокруг себя). Понятие идеала возникает, когда мы задаем вопрос:
Какой точный набор целых чисел мы вынуждены отождествлять с 0?
Ответ, что неудивительно, состоит в том, что множество n ℤ = { nm | m ∈ ℤ} всех целых чисел, сравнимых с 0 по модулю n . То есть мы должны обернуть ℤ вокруг себя бесконечно много раз, чтобы целые числа ..., n ⋅ (−2) , n ⋅ (−1) , n ⋅ (+1) , n ⋅ (+2) , .. ... все выровняются с 0. Если мы посмотрим, каким свойствам этот набор должен удовлетворять, чтобы гарантировать, что ℤ n является кольцом, то мы придем к определению идеала. В самом деле, можно непосредственно проверить, что n ℤ - идеал в.
Замечание. Также необходимо выполнить идентификацию с элементами, отличными от 0. Например, элементы в 1 + n ℤ должны быть отождествлены с 1, элементы в 2 + n ℤ должны быть отождествлены с 2 и так далее. Однако они однозначно определяются n ℤ, поскольку ℤ - аддитивная группа.
Аналогичную конструкцию можно провести в любом коммутативном кольце R : начнем с произвольного x ∈ R , а затем отождествим с 0 все элементы идеала xR = { xr : r ∈ R }. Оказывается, что идеал хК является наименьший идеал , который содержит х , называется идеалом генерироваться от х . В более общем смысле, мы можем начать с произвольного подмножества S ⊆ R , а затем отождествить с 0 все элементы в идеале, порожденном S : наименьший идеал ( S ) такой, что S ⊆ ( S ) . Кольцо, которое мы получаем после отождествления, зависит только от идеала ( S ), а не от множества S , с которого мы начали. То есть, если ( S ) = ( T ) , то результирующие кольца будут такими же.
Поэтому, идеальный я коммутативные кольцо R захваты канонической информации , необходимая для получения кольца элементов R по модулю заданного подмножества S ⊆ R . Элементы I по определению - это те, которые конгруэнтны нулю, то есть отождествлены с нулем в результирующем кольце. Полученное кольцо называется частное от R по I и обозначается R / I . Интуитивно, определение идеального постулирует два естественных условия, необходимых для того, чтобы I содержал все элементы, обозначенные R / I как «нули» :
- I - аддитивная подгруппа группы R : ноль 0 группы R является «нулем» 0 ∈ I , и если x 1 ∈ I и x 2 ∈ I являются «нулями», то x 1 - x 2 ∈ I является «нулем» " тоже.
- Любая г ∈ R , умноженный на «ноль» х ∈ I является «нулевым» гм ∈ I .
Оказывается, что вышеуказанные условия являются также достаточными для меня , чтобы содержать все необходимые «нули»: никаких других элементов не должны быть обозначены как «ноль» для того , чтобы форма R / I . (Фактически, никакие другие элементы не должны быть обозначены как "ноль", если мы хотим сделать наименьшее количество идентификаций.)
Замечание. Вышеупомянутая конструкция все еще работает с использованием двусторонних идеалов, даже если R не обязательно коммутативно.
Примеры и свойства
Для краткости некоторые результаты сформулированы только для левых идеалов, но обычно также верны и для правых идеалов с соответствующими изменениями обозначений.
- В кольце R , множество R сам по себе образует двусторонний идеал R называется блок идеально подходит . Его также часто обозначают как поскольку это в точности двусторонний идеал, порожденный (см. ниже) единицей . Также наборсостоящий только из аддитивной единицы 0 R образует двусторонний идеал, называемый нулевым идеалом и обозначаемый. [примечание 1] Каждый идеал (левый, правый или двусторонний) содержит нулевой идеал и содержится в единичном идеале.
- Идеал (левый, правый или двусторонний), который не является единичным идеалом, называется собственным идеалом (поскольку он является собственным подмножеством ). [4] Примечание: левый идеал является правильным тогда и только тогда, когда он не содержит единичного элемента, так как если является единичным элементом, то для каждого . Обычно правильных идеалов предостаточно. Фактически, если R - тело , тоявляются его единственными идеалами и наоборот: то есть ненулевое кольцо R является телом, еслиединственные левые (или правые) идеалы. (Доказательство: если ненулевой элемент, то главный левый идеал (см. ниже) отличен от нуля и, следовательно, ; т.е. для какого-то ненулевого . Так же, для какого-то ненулевого . потом.)
- Четные целые числа образуют идеал в кольцевсех целых чисел; обычно обозначается. Это связано с тем, что сумма любых четных целых чисел четна, и произведение любого целого числа на четное число также является четным. Аналогично, множество всех целых чисел, делящихся на фиксированное целое число n, является идеалом, обозначенным.
- Множество всех многочленов с действительными коэффициентами, которые делятся на многочлен x 2 + 1, является идеалом в кольце всех многочленов.
- Множество всех N матрицы с размерностью п матриц , последней строкой равно нуль образует правый идеал в кольце всех N матрицы с размерностью п матриц. Это не левый идеал. Множество всех ˝n˝ матрицы с размерностью п матриц, последней колонкой равно нуль , образует левый идеал , а не правый идеал.
- Кольцо всех непрерывных функций f из к при поточечном умножении содержит идеал всех непрерывных функций f таких, что f (1) = 0. Другой идеал взадается теми функциями, которые обращаются в нуль при достаточно больших аргументах, т. е. теми непрерывными функциями f, для которых существует число L > 0 такое, что f ( x ) = 0 всякий раз, когда | х | > L .
- Кольцо называется простым кольцом, если оно ненулевое и не имеет двусторонних идеалов, кроме. Таким образом, тело является простым, а простое коммутативное кольцо является полем. Кольцо матриц над телом полем является простым кольцом.
- Если является гомоморфизмом колец , то ядро двусторонний идеал . По определению,, и, следовательно, если не нулевое кольцо (так что ), тогда это настоящий идеал. В более общем смысле, для каждого левого идеала I из S прообразлевый идеал. Если I - левый идеал в R , то левый идеал подкольца из S : если е не сюръективны,не обязательно должен быть идеалом S ; см. также # Расширение и сжатие идеала ниже.
- Идеальное соответствие : дан сюръективный гомоморфизм колец., существует биективное соответствие, сохраняющее порядок между левыми (соответственно правыми, двусторонними) идеалами содержащий ядро и левые (соответственно правые, двусторонние) идеалы : соответствие дается и прообраз . Более того, для коммутативных колец это взаимно однозначное соответствие ограничивается первичными идеалами, максимальными идеалами и радикальными идеалами ( определения этих идеалов см. В разделе « Типы идеалов»).
- (Для тех, кто знает модули) Если M - левый R -модуль иподмножество, то аннигилятор из S является левым идеалом. Учитывая идеалыкоммутативного кольца R , R -аннигилятор кольцаявляется идеалом R называется идеальным частное от от и обозначается ; это пример идеализатора в коммутативной алгебре.
- Позволять - возрастающая цепочка левых идеалов в кольце R ; т.е. является полностью упорядоченным множеством и для каждого . Тогда союзявляется левым идеалом R . (Примечание: этот факт остается верным, даже если R не имеет единицы 1.)
- Приведенный выше факт вместе с леммой Цорна доказывает следующее: если возможно, пустое подмножество и левый идеал, не пересекающийся с E , то среди идеалов, содержащихи не пересекается с E . (Опять же, это все еще верно, если в кольце R отсутствует единица 1.) Когда, принимая а также , в частности, существует левый идеал, максимальный среди собственных левых идеалов (часто называемый просто максимальным левым идеалом); см . теорему Крулля для получения дополнительной информации.
- Произвольное объединение идеалов не обязательно должно быть идеалом, но по-прежнему верно следующее: для возможно пустого подмножества X в R существует наименьший левый идеал, содержащий X , называемый левым идеалом, порожденным X, и обозначается через. Такой идеал существует , поскольку она является пересечением всех левых идеалов , содержащих X . Эквивалентно,- это множество всех (конечных) левых R -линейных комбинаций элементов X над R :
- (поскольку такая оболочка является наименьшим левым идеалом, содержащим X. ) [примечание 2] Правый (соответственно двусторонний) идеал, порожденный X , определяется аналогичным образом. Для «двустороннего» необходимо использовать линейные комбинации с обеих сторон; т.е.
- Левый (соответственно правый, двусторонний) идеал, порожденный одним элементом x , называется главным левым (соответственно правым, двусторонним) идеалом, порожденным x, и обозначается (соотв. ). Главный двусторонний идеал часто также обозначается . Если конечное множество, то также записывается как .
- На ринге целых чисел, любой идеал может быть порожден одним числом (так является главной идеальной областью ), как следствие евклидова деления (или каким-либо другим способом).
- Существует взаимно однозначное соответствие между идеалами и конгруэнции отношений (отношений эквивалентности, учитывающих структуру кольца) на кольце: Учитывая идеал я кольцевого R , пусть х ~ у , если х - у ∈ I . Тогда ~ есть отношение конгруэнтности на R . Наоборот, если дано отношение конгруэнтности ~ на R , пусть I = { x | х ~ 0} . Тогда я является идеалом R .
Типы идеалов
Для упрощения описания предполагается, что все кольца коммутативны. Некоммутативный случай подробно обсуждается в соответствующих статьях.
Идеалы важны, потому что они появляются как ядра гомоморфизмов колец и позволяют определять фактор-кольца . Изучаются различные типы идеалов, поскольку с их помощью можно построить различные типы факторных колец.
- Максимальный идеал : Собственный идеал Я называется максимальным идеалом , если не существует никакого другого собственного идеала J с I собственное подмножество J . Фактор-кольцо максимального идеала - это,вообще говоря, простое кольцо и поле для коммутативных колец. [5]
- Минимальный идеал : ненулевой идеал называется минимальным, если он не содержит других ненулевых идеалов.
- Prime идеал : Собственный идеал I называется простым идеалом , если для любых а и Ь в R , если абы в I , токрайней мереодин изи б в I . Фактор-кольцо первичного идеала является первичным кольцом в общем случае и является областью целостности коммутативных колец.
- Радикальный идеал или полупервичный идеал : Собственный идеал я называюсь радикалом или полупервичным , если для любого а в R , если п в I для некоторого п , тов I . Фактор-кольцо радикального идеала является полупервичным кольцом для общих колец и редуцированным кольцом для коммутативных колец.
- Первичный идеал : идеал I называется первичным идеалом, если для всех a и b в R , если ab находится в I , то по крайней мере один из a и b n находится в I для некоторого натурального числа n . Каждый первичный идеал первичен, но не наоборот. Полупервичный примарный идеал первичен.
- Главный идеал : идеал, порожденный одним элементом.
- Конечно порожденный идеал : этот тип идеала конечно порожден как модуль.
- Примитивный идеал : Левая примитивный идеал является аннуляторным из простого левого модуля .
- Неприводимый идеал : идеал называется неприводимым, если он не может быть записан как пересечение идеалов, которые должным образом его содержат.
- Комаксимальные идеалы : два идеаланазываются comaximal, если для некоторых а также .
- Обычный идеал : этот термин имеет несколько применений. См. Статью для списка.
- Ниль-идеал : идеал - это ниль-идеал, если каждый из его элементов нильпотентен.
- Нильпотентный идеал : некоторая его мощность равна нулю.
- Параметр идеал : идеал, порожденный системой параметров .
Два других важных термина, использующих слово «идеал», не всегда являются идеалами их круга. Подробности смотрите в соответствующих статьях:
- Дробный идеал : Это, как правилоопределяетсякогда R является коммутативной областью с полем частных K . Несмотря на свое название, дробные идеалы - это R подмодулей в K со специальным свойством. Если дробный идеал содержится целиком в R , то это действительно идеал R .
- Обратимый идеал : Обычно обратимый идеалопределяется как дробного идеаладля которого существует еще один дробный идеал В такойчто АВ = ВА = R . Некоторые авторы могут также применять «обратимый идеал» к обычным кольцевым идеалам A и B с AB = BA = R в кольцах, отличных от областей.
Идеальные операции
Сумма и произведение идеалов определяются следующим образом. Для а также , левые (соответственно правые) идеалы кольца R , их сумма равна
- ,
который является левым (соответственно правым) идеалом, и, если двусторонние,
то есть продукт является идеалом, порожденным всеми продуктами формы ab с a inи б в.
Примечание наименьший левый (соответственно правый) идеал, содержащий как а также (или союз ), а продукт содержится в пересечении а также .
Закон распределения справедлив для двусторонних идеалов ,
- ,
- .
Если продукт заменяется перекрестком, выполняется частичный закон распределения:
где равенство выполняется, если содержит или же .
Замечание : сумма и пересечение идеалов снова является идеалом; с этими двумя операциями как соединением и соединением множество всех идеалов данного кольца образует полную модулярную решетку . Решетка, вообще говоря, не является распределительной решеткой . Три операции пересечения, суммы (или соединения) и произведения превращают множество идеалов коммутативного кольца в квант .
Если идеалы коммутативного кольца R , то в следующих двух случаях (как минимум)
- порождается элементами, образующими регулярную последовательность по модулю .
(В более общем смысле, разница между продуктом и пересечением идеалов измеряется функтором Tor :[6] )
Область целостности называется областью Дедекинда, если для каждой пары идеалов, есть идеал такой, что . [7] Затем можно показать, что любой ненулевой идеал дедекиндовской области может быть однозначно записан как произведение максимальных идеалов, обобщение основной теоремы арифметики .
Примеры идеальных операций
В у нас есть
поскольку это набор целых чисел, которые делятся как на а также .
Позволять и разреши . Потом,
- а также
- пока
В первом вычислении мы видим общую схему взятия суммы двух конечно порожденных идеалов, это идеал, порожденный объединением их образующих. В последних трех мы замечаем, что произведения и пересечения совпадают всякий раз, когда два идеала пересекаются в нулевом идеале. Эти вычисления можно проверить с помощью Macaulay2 . [8] [9] [10]
Радикал кольца
Идеалы естественным образом возникают при изучении модулей, особенно в форме радикала.
- Для простоты мы работаем с коммутативными кольцами, но с некоторыми изменениями результаты верны и для некоммутативных колец.
Пусть R - коммутативное кольцо. По определению, примитивный идеал из R является Аннулятор (отличным от нуля) простого R - модуля . Радикал Джекобсона из R является пересечением всех примитивных идеалов. Эквивалентно,
Действительно, если простой модуль и x ненулевой элемент в M , то а также , имея в виду - максимальный идеал. Наоборот, если - максимальный идеал, то является аннулятором простого R -модуля. Есть и другая характеристика (доказательство несложно):
Для необязательно коммутативного кольца общий факт является единичным элементом тогда и только тогда, когда есть (см. ссылку), и поэтому эта последняя характеристика показывает, что радикал может быть определен как в терминах левого, так и правого примитивных идеалов.
Следующий простой, но важный факт ( лемма Накаямы ) встроен в определение радикала Джекобсона: если M - такой модуль, что, то M не допускает максимального подмодуля , так как если существует максимальный подмодуль, и другие Противоречие. Поскольку ненулевой конечно порожденный модуль допускает максимальный подмодуль, в частности, он имеет:
- Если и M конечно порождена, то
Максимальный идеал - это простой идеал, поэтому
где пересечение слева называется нильрадикал из R . Как выясняется из,Также множество нильпотентных элементов из R .
Если R - артиново кольцо , то нильпотентен и . (Доказательство: во-первых, обратите внимание, что DCC подразумеваетдля некоторых n . Если (DCC) является собственно минимальным идеалом над последним, то . Это,, противоречие.)
Расширение и сжатие идеала
Пусть A и B - два коммутативных кольца , и пусть f : A → B - гомоморфизм колец . Еслиидеал в A , тоне обязательно должен быть идеалом в B (например, возьмем f как включение кольца целых чисел Z в поле рациональных чисел Q ). расширение из в B определяется как идеал в B, порожденный. Ясно,
Если идеал в B , товсегда является идеалом A , называемым сжатием из к A .
Предполагая, что f : A → B - гомоморфизм колец,идеал в A ,идеал в B , то:
- прост в B первична в A .
В целом неверно, что простое (или максимальное) в A означает, чтопростой (или максимальный) в B . Многие классические примеры этого восходят к теории алгебраических чисел. Например, встраивание . В, элемент 2 множится как где (можно показать) ни один из являются единицами в B . Такне является простым в B (а значит, и не максимальным). Действительно, показывает, что , , и поэтому .
С другой стороны, если е является сюръективны и а ⊇ кер ж {\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} \ supseteq \ ker f} тогда:
- а также .
- является простым идеалом в А простой идеал в B .
- является максимальным идеалом в A максимальный идеал в B .
Замечание : Пусть К является расширение поля из L , и пусть В и быть кольца целых из K и L , соответственно. Тогда B является целым расширением от А , и пусть е будет отображение включения от A до B . Поведение первичного идеала из А при расширении является одной из центральных задач теории алгебраических чисел .
Иногда полезно следующее: [11] простой идеал является сжатием простого идеала тогда и только тогда, когда . (Доказательство: если предположить последнее, обратите внимание пересекает Противоречие. Итак, основные идеалысоответствуют тем из B, которые не пересекаются с. Следовательно, существует простой идеализ B , не пересекается с, такое что - максимальный идеал, содержащий . Затем проверяется, что лежит над . Обратное очевидно.)
Обобщения
Идеалы можно обобщить на любой моноидный объект , где - объект, в котором забыта структура моноида . Левый идеал изявляется субобъект который "поглощает умножение слева на элементы "; это, является левым идеалом, если он удовлетворяет следующим двум условиям:
- является субобъект из
- Для каждого и каждый , продукт в .
Правый идеал определяется с условием "" заменен на "'". Двусторонний идеал - это левый идеал, который также является правым идеалом, и иногда его просто называют идеалом. Когдаявляется коммутативным моноидным объектом соответственно, определения левого, правого и двустороннего идеала совпадают, и термин идеал используется отдельно.
Идеал также можно рассматривать как особый тип R -модуля . Если мы рассмотрим как левый -модуль (левым умножением), то левый идеал действительно только левый суб-модуль из. Другими словами, левый (правый) идеал тогда и только тогда, когда это левый (правый) -модуль, который является подмножеством . является двусторонним идеалом, если он является суб--бимодуль .
Пример: если мы позволим , идеал абелева группа, являющаяся подмножеством , т.е. для некоторых . Итак, это дает все идеалы.
Смотрите также
- Модульная арифметика
- Теорема об изоморфизме Нётер
- Теорема о булевом простом идеале
- Идеальная теория
- Идеал (теория порядка)
- Идеальная норма
- Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа
- Идеальная связка
Заметки
- ^ Некоторые авторы называют нулевые и единичные идеалы кольца R в тривиальных идеалы из R .
- ^ Если R не имеет единицы, тогда внутренние описания выше должны быть немного изменены. Помимо конечных сумм произведений вещей в X на вещи в R , мы должны разрешить сложение n- кратных сумм вида x + x + ... + x и n -кратных сумм вида (- x ) + (- x ) + ... + (- x ) для каждого x в X и каждого n в натуральных числах. Когда у R есть единица измерения, это дополнительное требование становится излишним.
Рекомендации
- ^ а б Джон Стиллвелл (2010). Математика и ее история . п. 439.
- ^ Гарольд М. Эдвардс (1977). Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел . п. 76.
- ^ Эверест Г., Уорд Т. (2005). Введение в теорию чисел . п. 83.
- ^ Lang 2005 , Раздел III.2
- ^ Потому что простые коммутативные кольца - это поля. Видеть Лам (2001). Первый курс в некоммутативных кольцах . п. 39.
- ^ Эйзенбуд , Упражнение A 3.17
- ↑ Милнор , стр.9.
- ^ "идеалы" . www.math.uiuc.edu . Архивировано из оригинала на 2017-01-16 . Проверено 14 января 2017 .
- ^ «суммы, продукты и силы идеалов» . www.math.uiuc.edu . Архивировано из оригинала на 2017-01-16 . Проверено 14 января 2017 .
- ^ «пересечение идеалов» . www.math.uiuc.edu . Архивировано из оригинала на 2017-01-16 . Проверено 14 января 2017 .
- ^ Атья – Макдональд , Предложение 3.16.
- Атья, М. Ф. и Макдональд, И. Г. , Введение в коммутативную алгебру , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
- Ланг, Серж (2005). Бакалавриат по алгебре (третье изд.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-22025-3.
- Михель Хазевинкель, Надежда Губарени, Надежда Михайловна Губарени, Владимир Васильевич Кириченко. Алгебры, кольца и модули . Том 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
- Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию , Annals of Mathematics Studies, 72 , Princeton, NJ: Princeton University Press , MR 0349811 , Zbl 0237.18005
Внешние ссылки
- Левинсон, Джейк (14 июля 2014 г.). "Геометрическая интерпретация продолжения идеалов?" . Обмен стеками .