Точечный продукт

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален .
Найти источники: «Точечный продукт» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то точечно продукт из двух функций другая функция, полученная путем умножения изображения двух функций при каждом значении в домене . Если обе функции f и g имеют область X и область значений Y , а элементы Y могут быть умножены (например, Y может быть некоторым набором чисел), то поточечное произведение f и g является другой функцией от X до Y, которая отображает xв X к F ( х ) г ( х ) в Y .

Формальное определение [ править ]

Пусть X и Y - такие множества, что Y имеет понятие умножения, то есть существует бинарная операция

{\ displaystyle \ cdot: Y \ times Y \ longrightarrow Y}

дано

{\ displaystyle y \ cdot z = yz.}

Тогда даны две функции F , г : Х → Y , то точечно продукт ( F ⋅ г ): Х → Y определяется

{\ Displaystyle (е \ CDOT г) (х) = е (х) \ CDOT г (х)}

для всех х в X . Подобно тому , как мы часто опускаем символ бинарной операции ⋅ (т.е. мы пишем уг вместо у ⋅ г ), мы часто пишут фг для F ⋅ г .

Примеры [ править ]

Наиболее распространенный случай поточечного произведения двух функций - это когда область значений является кольцом (или полем ), в котором умножение хорошо определено.

Если Y - множество действительных чисел R , то поточечное произведение f , g : X → R - это просто нормальное умножение изображений. Например, если у нас есть f ( x ) = 2 x и g ( x ) = x + 1, то
${\ displaystyle (fg) (x) = f (x) g (x) = 2x (x + 1) = 2x ^ {2} + 2x \,}$
для каждого х в R .
Свертка теорема утверждает , что преобразование Фурье из свертка является точечно произведением преобразований Фурье:
${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f * g \} = {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {g \}.}$

Алгебраическое приложение точечных произведений [ править ]

Пусть X - множество, а R - кольцо . Поскольку сложение и умножение определены в R , мы можем построить алгебраическую структуру, известную как алгебра , из функций от X до R , определив сложение, умножение и скалярное умножение функций, которые должны выполняться точечно.

Если R ^X обозначает набор функций от X до R , то мы говорим, что если f , g являются элементами R ^X , то f + g , fg и rf - последняя из которых определяется формулой

{\ Displaystyle (рф) (х) = рф (х) \,}

для всех г в R - все элементы R ^X .

Обобщение [ править ]

Если и f, и g имеют в качестве своей области все возможные присвоения набора дискретных переменных, то их точечное произведение представляет собой функцию, область определения которой построена из всех возможных назначений объединения обоих наборов. Ценность каждого присвоения рассчитывается как произведение значений обеих функций, данных каждой из подмножеств присвоения, которое находится в ее области.

Например, учитывая функцию f ₁ () логических переменных p и q и f ₂ () логических переменных q и r , обе с диапазоном в R , точечное произведение f ₁ () и f ₂ ( ) показан в следующей таблице:

п	q	р	${\ displaystyle f_ {1} (p, q)}$	${\ displaystyle f_ {2} (q, r)}$	Точечный продукт
Т	Т	Т	0,1	0,2	0,1 × 0,2
Т	Т	F	0,1	0,4	0,1 × 0,4
Т	F	Т	0,3	0,6	0,3 × 0,6
Т	F	F	0,3	0,8	0,3 × 0,8
F	Т	Т	0,5	0,2	0,5 × 0,2
F	Т	F	0,5	0,4	0,5 × 0,4
F	F	Т	0,7	0,6	0,7 × 0,6
F	F	F	0,7	0,8	0,7 × 0,8

См. Также [ править ]

Точечно