Теория поля классов

В математике , теории полей классов является ветвью алгебраической теории чисел , заинтересованного в абелевых расширений из числовых полей , глобальных полей положительной характеристики и локальных полей . Теория имеет свои истоки в доказательстве квадратичной взаимности по Гауссу в конце 18 - го века. Эти идеи развивались в течение следующего столетия, породив ряд гипотез Гильберта , которые впоследствии были доказаны Такаги и Артином . Эти гипотезы и их доказательства составляют основную часть теории полей классов.

Одним из основных результатов утверждает , что, учитывая поле число F , и писать K для максимального абелева неразветвленного расширения F , группа Галуа К над F канонически изоморфно идеальной группой классов из F . Это утверждение можно обобщить на закон взаимности Артина ; писать C _F для иделя группы классов из F , и с L быть любое конечное абелево расширение F , этот закон дает канонический изоморфизм

${\ displaystyle \ theta _ {L / F}: C_ {F} / {N_ {L / F} (C_ {L})} \ to \ operatorname {Gal} (L / F),}$

где обозначает idelic карты нормы от L до F . Тогда этот изоморфизм называется отображением взаимности . Теорема существования утверждает, что отображение взаимности может использоваться, чтобы дать биекцию между множеством абелевых расширений F и множеством замкнутых подгрупп конечного индекса группы${\ displaystyle N_ {L / F}}$${\ displaystyle C_ {F}.}$

Стандартным методом развития глобальной теории полей классов с 1930-х годов является разработка теории локальных полей классов , которая описывает абелевы расширения локальных полей, а затем ее использование для построения глобальной теории полей классов. Впервые это было сделано Артином и Тейтом с использованием теории групповых когомологий и, в частности, путем разработки понятия формаций классов. Позже Нойкирх нашел доказательство основных положений глобальной теории полей классов без использования когомологических идей.

Теория полей классов также включает явное построение максимальных абелевых расширений числовых полей в тех немногих случаях, когда такие конструкции известны. В настоящее время эта часть теории состоит из теоремы Кронекера – Вебера , которую можно использовать для построения абелевых расширений , и теории комплексного умножения , которая может использоваться для построения абелевых расширений CM-полей .${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Программа Ленглендса дает один подход к обобщению теории полей классов на неабелевы расширения. Это обобщение все еще остается предположительным. Для числовых полей известны только те случаи, когда теория полей классов и результаты, связанные с теоремой модульности .

Формулировка на современном языке [ править ]

На современном математическом языке теорию поля классов можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим максимальное абелево расширение А локального или глобального поля K . Он имеет бесконечную степень над K ; группа Галуа G группы A над K является бесконечной проконечной группой , а значит, компактной топологической группой , и она абелева. Центральные цели теории полей классов: описать G в терминах некоторых подходящих топологических объектов, ассоциированных с K , описать конечные абелевы расширения K в терминах открытых подгрупп конечного индекса в топологическом объекте, ассоциированном с K. В частности, кто -то хочет установить соответствие один к одному между конечными абелевыми расширениями K и их нормой групп в этом топологическом объекте для K . Этот топологический объект является мультипликативной группой в случае локальных полей с конечным полем вычетов и группой классов идеелей в случае глобальных полей. Конечное абелево расширение, соответствующее открытой подгруппе конечного индекса, называется полем классов для той подгруппы, которая дала название теории.

Основной результат состояний теории поля общего класса , что группа G естественно изоморфна проконечного завершения в C _K , мультипликативной группы локального поля или иделя группы классов глобального поля, по отношению к естественной топологии на C _K связанные с конкретной структурой поля K . Эквивалентно, для любого конечного расширения Галуа L поля K существует изоморфизм ( отображение взаимности Артина )

${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (L / K) ^ {\ operatorname {ab}} \ to C_ {K} / N_ {L / K} (C_ {L})}$

из абелианизации группы Галуа расширений с фактором класса идели группы K по образу нормы в иделя группы классов L .

Для некоторых небольших полей, таких как поле рациональных чисел или его квадратичные мнимые расширения, существует более подробная, очень явная, но слишком конкретная теория, которая дает больше информации. Например, абелианизированная абсолютная группа Галуа G группы является (естественно изоморфной) бесконечным произведением группы единиц целых p-адических чисел, взятых по всем простым числам p , и соответствующее максимальное абелево расширение рациональных чисел является порожденным полем всеми корнями единства. Это известно как теорема Кронекера – Вебера , первоначально выдвинутая Леопольдом Кронекером.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ . В этом случае изоморфизм взаимности теории полей классов (или отображение взаимности Артина) также допускает явное описание благодаря теореме Кронекера – Вебера . Однако основные конструкции таких более подробных теорий для полей малых алгебраических чисел не распространяются на общий случай полей алгебраических чисел, и в общей теории полей классов используются различные концептуальные принципы.

Стандартный метод построения гомоморфизма взаимности состоит в том, чтобы сначала построить локальный изоморфизм взаимности от мультипликативной группы пополнения глобального поля до группы Галуа его максимального абелевого расширения (это делается внутри локальной теории полей классов), а затем доказать, что произведение всех таких локальных отображений взаимности, когда они определены на группе иделей глобального поля, тривиально на образе мультипликативной группы глобального поля. Последнее свойство называется глобальным законом взаимности и является далеко идущим обобщением квадратичного закона взаимности Гаусса .

Один из методов построения гомоморфизма взаимности использует формирование классов, которое выводит теорию полей классов из аксиом теории полей классов. Этот вывод является чисто топологическим теоретико-групповым, в то время как для установления аксиом необходимо использовать кольцевую структуру основного поля. ^[1]

Есть методы, которые используют группы когомологий, в частности группу Брауэра, а есть методы, которые не используют группы когомологий и очень явные и плодотворные для приложений.

История [ править ]

Истоки теории полей классов лежат в квадратичном законе взаимности, доказанном Гауссом. Обобщение имело место как долгосрочный исторический проект, включающий квадратичные формы и их « теорию родов », работы Эрнста Куммера и Леопольда Кронекера / Курта Хензеля по идеалам и пополнениям, теорию круговых расширений и расширений Куммера .

Первые две теории поля классов были очень явными теориями поля классов кругового и комплексного умножения. Они использовали дополнительные структуры: в случае поля рациональных чисел они использовали корни из единицы, в случае мнимых квадратичных расширений поля рациональных чисел они использовали эллиптические кривые с комплексным умножением и их точки конечного порядка. Намного позже теория Шимуры предоставила еще одну очень явную теорию полей классов для класса полей алгебраических чисел. В положительной характеристике , Kawada и Satake используются Witt двойственность , чтобы получить очень простое описание -части взаимности гомоморфизма.${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

Однако эти очень явные теории нельзя было распространить на более общие числовые поля. Общая теория полей классов использовала различные концепции и конструкции, которые работают над каждым глобальным полем.

Знаменитые проблемы Давида Гильберта стимулировали дальнейшее развитие, которое привело к законам взаимности и доказательствам Тейджи Такаги , Филиппа Фуртвенглера , Эмиля Артина , Гельмута Хассе и многих других. Решающим теорема существования Такаги была известна 1920 и все основные результаты примерно 1930. Один из последних классических догадок требовалось доказать было свойство principalisation . Первые доказательства теории полей классов использовали субстанциональные аналитические методы. В 1930-е годы и впоследствии наблюдалось все более широкое использование бесконечных расширений и теории групп Галуа Вольфганга Крулля . Это в сочетании сДвойственность Понтрягина дает более четкую, хотя и более абстрактную формулировку центрального результата, закона взаимности Артина . Важным шагом было введение Клодом Шевалле в 1930-е годы идеалов вместо идеальных классов, что существенно прояснило и упростило описание абелевых расширений глобальных полей. К 1940 г. было доказано большинство основных результатов.

Позже результаты были переформулированы в терминах когомологий групп , которые стали стандартным способом изучения теории поля классов для нескольких поколений теоретиков чисел. Недостатком когомологического метода является его относительная неясность. В результате местного вклада Бернарда Дворка , Джона Тейта , Мишеля Хазевинкеля и локальной и глобальной интерпретации Юргена Нойкирха, а также в связи с работой над явными формулами взаимности многими математиками, очень явное и свободное от когомологий представление поля классов теория была создана в 1990-х годах, см., например, книгу Нойкирха.

Приложения [ править ]

Теория поля классов используется для доказательства двойственности Артина-Вердье . ^[2] Очень явная теория полей классов используется во многих областях алгебраической теории чисел, таких как теория Ивасавы и теория модулей Галуа.

Большинство основных достижений в отношении соответствия Ленглендса для числовых полей, гипотезы BSD для числовых полей и теории Ивасавы для числовых полей используют очень явные, но узкие методы теории полей классов или их обобщения. Поэтому открытый вопрос состоит в том, чтобы использовать обобщения общей теории полей классов в этих трех направлениях.

Обобщения теории поля классов [ править ]

Есть три основных обобщения, каждое из которых представляет большой интерес. Это программа Ленглендса , анабелева геометрия и теория поля высшего класса.

Часто соответствие Ленглендса рассматривается как неабелева теория полей классов. Если и когда он будет полностью установлен, он будет содержать определенную теорию неабелевых расширений Галуа глобальных полей. Однако соответствие Ленглендса не включает в себя столько арифметической информации о конечных расширениях Галуа, как теория полей классов в абелевом случае. Он также не включает аналог теоремы существования в теории полей классов: понятие полей классов отсутствует в соответствии Ленглендса. Есть несколько других неабелевых теорий, локальных и глобальных, которые предлагают альтернативы точке зрения соответствия Ленглендса.

Другое обобщение теории полей классов - анабелева геометрия, которая изучает алгоритмы восстановления исходного объекта (например, числового поля или гиперболической кривой над ним) на основе знания его полной абсолютной группы Галуа или алгебраической фундаментальной группы . ^[3]

Другое естественное обобщение - это теория поля высших классов, разделенная на теорию поля высших локальных классов и теорию поля высших глобальных классов . Он описывает абелевы расширения высших локальных полей и высших глобальных полей. Последние появляются как функциональные поля схем конечного типа над целыми числами и их соответствующих локализаций и пополнений. Он использует алгебраическую K-теорию , а соответствующие K-группы Милнора обобщают то, что используется в одномерной теории полей классов.${\ displaystyle K_ {1}}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (1990), Теория поля классов , Редвуд-Сити, Калифорния: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-51011-9
• Cassels, JWS ; Фрёлих, Альбрехт , ред. (1967), алгебраическая теория чисел , Academic Press , Zbl  0153.07403
• Конрад, Кейт , История теории поля классов. (PDF) CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Фесенко, Иван Б ; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, 121 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3259-2, MR  1915966
• Гра, Жорж (2005), Теория поля классов: от теории к практике (исправленное 2-е издание), Монографии Springer по математике, xiii + 507 страниц , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44133-5
• Ивасава, Кенкичи (1986), Теория поля локальных классов , Оксфордские математические монографии, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2, Руководство по ремонту  0863740 , Zbl  0604.12014 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Кавада, Юкиёси (1955), «Классовые образования», Duke Math. J. , 22 : 165-177, DOI : 10,1215 / s0012-7094-55-02217-1 , Zbl  +0067,01904
• Кавада, Юкиёси; Satake, I. (1956), "Классовые образования. II", J.Fac. Наук. Tokyo Sect. 1А , 7 : 353–389, Zbl  0101.02902
• Нойкирх, Юрген (1986), Теория поля классов , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15251-4
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту  1697859 . Zbl  0956.11021 .