В теории полех классов , то теорема Такаги существования утверждает , что для любого числового поля К существует взаимно-однозначного включение заднего хода соответствия между конечными абелевыми расширениями из K (в фиксированном алгебраическом замыкании на К ) и обобщенным группам классов идеальных определяются через модуль из K .
Это называется теоремой существования , поскольку основное бремя доказательства , чтобы показать существование достаточно абелевых расширений K .
Формулировка
Здесь модуль (или делитель лучей ) - это формальное конечное произведение оценок (также называемых простыми числами или местами ) K с положительными целыми показателями. Архимедовы оценки, которые могут появиться в модуле, включают только те, завершения которых являются действительными числами (а не комплексными числами); они могут быть отождествлены с порядками на K и встречаются только с показателем один.
Модуль m является произведением неархимедовой (конечной) части m f и архимедовой (бесконечной) части m ∞ . Неархимедово часть м е является ненулевым идеалом в кольце целых чисел O K из K и архимедова части м ∞ просто множество действительных вложений K . С таким модулем m связаны две группы дробных идеалов . Более крупный, I m , представляет собой группу всех дробных идеалов, взаимно простых с m (что означает, что эти дробные идеалы не содержат никаких простых идеалов, появляющихся в m f ). Меньший, P m , представляет собой группу главных дробных идеалов ( u / v ), где u и v - ненулевые элементы O K , простые с m f , u ≡ v mod m f и u / v > 0 в каждый из порядков m ∞ . (Здесь важно, что в P m все, что нам требуется, - это чтобы один образующий идеал имел указанную форму. Если он имеет, то другие могут не иметь. Например, принимая K в качестве рациональных чисел, идеал (3) лежит в P 4, потому что (3) = (−3) и −3 удовлетворяет необходимым условиям. Но (3) не находится в P 4∞, поскольку здесь требуется, чтобы положительный образующий идеала был 1 mod 4, что не является так.) Для любой группы H, лежащей между I m и P m , фактор-группа I m / H называется обобщенной группой классов идеалов .
Именно эти обобщенные группы классов идеалов соответствуют абелевым расширениям K по теореме существования и фактически являются группами Галуа этих расширений. Конечность обобщенных групп классов идеалов доказывается аналогично доказательству конечности обычных групп классов идеалов задолго до того, как мы узнаем, что это группы Галуа конечных абелевых расширений числового поля.
Четко определенное соответствие
Строго говоря, соответствие между конечными абелевыми расширениями K и обобщенными группами классов идеалов не вполне однозначно. Обобщенные группы классов идеалов, определенные относительно различных модулей, могут привести к одному и тому же абелеву расширению K , и это априори систематизировано в несколько сложном отношении эквивалентности на обобщенных группах классов идеалов.
Конкретно, для абелевых расширений L рациональных чисел это соответствует тому факту, что абелево расширение рациональных чисел, лежащих в одном круговом поле, также лежит в бесконечном множестве других круговых полей, и для каждого такого кругового надполя получается по теории Галуа подгруппа группы Галуа , соответствующий одному и тому же поля L .
В идеальной формулировке теории полей классов получается точное взаимно однозначное соответствие между абелевыми расширениями и соответствующими группами идеалов , где эквивалентные обобщенные группы классов идеалов на языке теории идеалов соответствуют одной и той же группе идеелей.
Более ранняя работа
Частный случай теоремы существования - это когда m = 1 и H = P 1 . В этом случае обобщенного идеала класс группа является группой классов идеалов из К , и существованию теорема говорит , что существует единственный абелево расширение L / K с группой Галуа , изоморфной идеальной группой классов K такое , что L является неразветвленным во всех местах K . Это расширение называется полем классов Гильберта . Его существование было предположено Дэвидом Гильбертом , и существование в этом частном случае было доказано Фуртвенглером в 1907 году, до общей теоремы существования Такаги.
Еще одно особое свойство поля классов Гильберта, не верное для меньших абелевых расширений числового поля, состоит в том, что все идеалы числового поля становятся главными в поле классов Гильберта. Требовалось Артин и Фуртвенглер, чтобы доказать, что принципиализация имеет место.
История
Теорема существования принадлежит Такаги , который доказал ее в Японии в отдельные годы Первой мировой войны . Он представил ее на Международном конгрессе математиков в 1920 году, что привело к развитию классической теории теории поля классов в течение 1920-х годов. По просьбе Гильберта статья была опубликована в « Mathematische Annalen» в 1925 году.
Смотрите также
Рекомендации
- Хельмут Хассе , История теории поля классов , стр. 266–279 в алгебраической теории чисел , ред. JWS Cassels и A. Fröhlich , Academic Press, 1967. (См. Также обширную библиографию, приложенную к статье Хассе.)