В математике , в частности в коммутативной алгебре , понятие дробного идеала вводится в контексте областей целостности и особенно плодотворно при изучении дедекиндовских областей . В некотором смысле дробные идеалы области целостности подобны идеалам, в которых разрешены знаменатели . В контекстах, где обсуждаются как дробные идеалы, так и обычные кольцевые идеалы , последние иногда для ясности называют интегральными идеалами .
СОДЕРЖАНИЕ
1 Определение и основные результаты
2 дедекиндовских домена
3 Числовые поля
3.1 Связанные структуры
3.1.1 Точная последовательность для идеальных групп классов
3.2 Структурная теорема для дробных идеалов
4 Примеры
5 Дивизориальный идеал
6 См. Также
7 Примечания
8 ссылки
Определение и основные результаты
Позвольте быть областью целостности , и пусть быть ее полем дробей .
Дробный идеал из это - подмодуль из таких , что существует ненулевая такое , что . Элемент можно рассматривать как очищающий знаменатели , отсюда и название дробный идеал.
В главные дробные идеалы являются те , - подмодули из порождается одним ненулевым элементом . Дробный идеал содержится в том и только в том случае, если он является («интегральным») идеалом в .
Дробный идеал называется обратимым, если существует другой дробный идеал такой, что
куда
называется произведением двух дробных идеалов).
В этом случае дробный идеал определяется однозначно и равен обобщенному идеальному частному
Множество обратимых дробных идеалов образуют абелеву группу по отношению к указанному выше произведению, где тождество является самим единичным идеалом . Эта группа называется группой дробных идеалов в . Главные дробные идеалы образуют подгруппу. (Ненулевой) дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он проективен как -модуль. Геометрически это означает, что обратимый дробный идеал можно интерпретировать как векторные расслоения ранга 1 над аффинной схемой .
Каждый конечно порожденный R -подмодуль в K является дробным идеалом, а если он нётеров , то все это дробные идеалы модуля .
Дедекиндовские домены
В дедекиндовских доменах ситуация намного проще. В частности, любой ненулевой дробный идеал обратим. Собственно, это свойство характеризует дедекиндовские домены :
Область целостности является дедекиндово доменом , если, и только если, каждый ненулевой дробный идеал обратим.
Множество дробных идеалов над дедекиндовым области обозначается .
Его фактор-группа дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов является важным инвариантом дедекиндовской области, называемой группой классов идеалов .
Числовые поля
Для специального случая числовых полей (например ) есть присоединенное кольцо , обозначаемые называется кольцом целых чисел от . Например, для квадратных и равных . Ключевым свойством этих колец является то, что они являются дедекиндовскими доменами . Следовательно, теория дробных идеалов может быть описана для колец целых чисел числовых полей. Фактически теория полей классов - это изучение таких групп колец классов.
Связанные структуры
Для кольца целых чисел [1] pg 2 числового поля группа дробных идеалов образует обозначенную группу и обозначенную подгруппу главных дробных идеалов . Группа классов идеалов - это группа дробных идеалов по модулю главных дробных идеалов, поэтому
а его номер класса - это порядок группы . В некотором смысле, номер класса является мерой того, насколько «далеко» кольцо целых чисел от того, чтобы быть уникальной областью факторизации . Это потому, что если и только если это UFD.
Точная последовательность для идеальных групп классов
Есть точная последовательность
связанный с каждым числовым полем .
Структурная теорема для дробных идеалов
Одна из важных структурных теорем для дробных идеалов числового поля утверждает, что каждый дробный идеал разлагается однозначно с точностью до порядка как
за главные идеалы
.
в спектре от . Например,
факторы как
Кроме того, поскольку дробные идеалы над числовым полем конечно порождены, мы можем очистить знаменатели , умножив их на некоторые, чтобы получить идеал . Следовательно
Другая полезная структурная теорема состоит в том, что целые дробные идеалы порождаются максимум двумя элементами. Мы называем дробным идеалом подмножество интеграла.
Примеры
является дробным идеалом над
Для идеального разделения в виде
У нас есть факторизация .
Это потому, что если мы его умножим, мы получим
Поскольку удовлетворяет , наша факторизация имеет смысл. Обратите внимание, что эту факторизацию можно обобщить, взяв
дающий факторизацию всех идеалов, порожденных нечетным числом (с ).
В мы можем умножить дробные идеалы
а также
получить идеал
Дивизориальный идеал
Обозначим через пересечение всех главных дробных идеалов, содержащих ненулевой дробный идеал .
Эквивалентно,
где, как указано выше
Если то I называется дивизориальным . [2]
Другими словами, дивизориальный идеал - это ненулевое пересечение некоторого непустого множества дробных главных идеалов.
Если I дивизориален, а J - ненулевой дробный идеал, то ( I : J ) дивизориален.
Пусть R - локальная область Крулля (например, нётерова целозамкнутая локальная область).
Тогда R является кольцом дискретного нормирования тогда и только тогда , когда максимальный идеал из R дивизориален. [3]
Область целостности , которая удовлетворяет восходящие условия цепи на дивизориальных идеалов называется доменом Мори . [4]
Смотрите также
Дивизориальная связка
Теорема Дедекинда-Куммера
Примечания
^ Чайлдресс, Нэнси (2009). Теория поля классов . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-72490-4. OCLC 310352143 .
^ Бурбаки 1998 , §VII.1
^ Бурбаки и Ч. VII, § 1, п. 7. Предложение 11. harvnb error: no target: CITEREFBourbakiCh._VII,_§_1,_n._7._Proposition_11. (help)
Стейн, Уильям, Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел (PDF)
Глава 9 Атии, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1994), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Глава VII.1 Бурбаки, Николас (1998), Коммутативная алгебра (2-е изд.), Springer Verlag , ISBN 3-540-64239-0
Глава 11 Мацумуры, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Кембриджские исследования по высшей математике, 8 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, Руководство по ремонту 1011461