Все числа Эйлера с нечетным индексом равны нулю . Четные (последовательность A028296 в OEIS ) имеют чередующиеся знаки. Вот некоторые значения:
E 0
знак равно
1
E 2
знак равно
−1
E 4
знак равно
5
E 6
знак равно
−61
E 8
знак равно
1 385
E 10
знак равно
-50 521
E 12
знак равно
2 702 765
E 14
знак равно
−199 360 981
E 16
знак равно
19 391 512 145
E 18
знак равно
−2 404 879 675 441
Некоторые авторы повторно индексируют последовательность, чтобы опустить нечетные числа Эйлера со значением ноль, или изменить все знаки на положительные (последовательность A000364 в OEIS ). Эта статья соответствует принятой выше конвенции.
Следующие две формулы выражают числа Эйлера как двойные суммы [3]
В виде повторяемой суммы [ править ]
Явная формула для чисел Эйлера: [4]
где i обозначает мнимую единицу с i 2 = −1 .
В сумме по разделам [ править ]
Число Эйлера Е 2 п можно выразить в виде суммы по четным перегородкам из 2 п , [5]
а также сумма по нечетным разбиениям 2 n - 1 , [6]
где в обоих случаях K = k 1 + ··· + k n и
- полиномиальный коэффициент . В дельта Кронекера в приведенных выше формулах ограничивают суммы по к с до 2 к 1 + 4 к 2 + ··· + 2 пк п = 2 п и K 1 + 3 к 2 + ··· + (2 н - 1) k n = 2 n - 1 соответственно.
В качестве примера,
Как определяющий [ править ]
Е 2 п задается определителем
Как неотъемлемая часть [ править ]
E 2 n также задается следующими интегралами:
Конгруэнции [ править ]
В. Чжан [7] получил следующие комбинационные тождества относительно чисел Эйлера, для любого простого числа имеем
W. Zhang и Z. Xu [8] доказали, что для любого простого и целого числа имеем
где - функция Эйлера .
Асимптотическое приближение [ править ]
Числа Эйлера довольно быстро растут для больших индексов, так как они имеют нижнюю границу
^ Джа, Сумит Кумар (2019). «Новая явная формула для чисел Бернулли с участием числа Эйлера» . Московский журнал комбинаторики и теории чисел . 8 (4): 385–387. doi : 10.2140 / москва.2019.8.389 .
↑ Джа, Сумит Кумар (15 ноября 2019 г.). «Новая явная формула для чисел Эйлера через числа Стирлинга второго рода» .
^ Вэй, Чун-Фу; Ци, Фэн (2015). «Несколько замкнутых выражений для чисел Эйлера» . Журнал неравенств и приложений . 219 (2015). DOI : 10,1186 / s13660-015-0738-9 .
^ Тан, Росс (2012-05-11). «Явная формула для зигзагообразных чисел Эйлера (числа вверх / вниз) из степенных рядов» (PDF) .
^ Велла, Дэвид С. (2008). «Явные формулы для чисел Бернулли и Эйлера» . Целые числа . 8 (1): A1.
^ Мейлфант, J. (2011). "Конечные, замкнутые выражения для функции распределения и для чисел Эйлера, Бернулли и Стирлинга". arXiv : 1103.1585 [ math.NT ].
^ Чжан, WP (1998). «Некоторые тождества с участием Эйлера и центральных факториальных чисел» (PDF) . Ежеквартальный отчет Фибоначчи . 36 (4): 154–157.
^ Чжан, WP; Сюй, З.Ф. (2007). «О гипотезе чисел Эйлера». Журнал теории чисел . 127 (2): 283–291. DOI : 10.1016 / j.jnt.2007.04.004 .
Внешние ссылки [ править ]
"Числа Эйлера" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Число Эйлера» . MathWorld .
vтеКлассы натуральных чисел
Полномочия и связанные числа
Ахиллес
Мощность 2
Степень 3
Степень 10
Квадрат
Куб
Четвертая сила
Пятая сила
Шестая сила
Седьмая степень
Восьмая степень
Идеальная мощность
Мощный
Основная сила
Вида a × 2 b ± 1
Каллен
Двойной Мерсенн
Ферма
Мерсенн
Proth
Табит
Woodall
Другие полиномиальные числа
Кэрол
Гильберта
Идонеал
Kynea
Leyland
Лешиан
Счастливые числа Эйлера
Рекурсивно определенные числа
Фибоначчи
Якобсталь
Леонардо
Лукас
Падован
Пелл
Перрин
Обладание определенным набором других чисел
Knödel
Ризель
Серпинский
Выражается с помощью определенных сумм
Негипотенуза
Вежливый
Практичный
Первичный псевдосовершенный
Улам
Wolstenholme
Фигурные числа
2-х мерный
по центру
Треугольник по центру
Центрированный квадрат
Пятиугольник по центру
Шестиугольный по центру
Центрированная семиугольная
Восьмиугольник по центру
Центрированная неагональная
Центрированный десятиугольник
Звезда
нецентрированный
Треугольный
Квадрат
Квадрат треугольный
Пятиугольный
Шестиугольный
Семиугольный
Восьмиугольный
Неагональный
Десятиугольный
Додекагональный
3-х мерный
по центру
Центрированный четырехгранник
Центрированный куб
Центрированный восьмигранник
Центрированный додекаэдр
Центрированный икосаэдр
нецентрированный
Тетраэдр
Кубический
Восьмигранный
Додекаэдр
Икосаэдр
Стелла октангула
пирамидальный
Квадрат пирамидальный
Пятиугольная пирамидальная
Шестиугольная пирамидальная
Семиугольная пирамидальная
4-х мерный
нецентрированный
Пентатоп
Квадратный треугольник
Тессерактика
Комбинаторные числа
Колокол
Торт
Каталонский
Дедекинд
Деланной
Эйлер
Эйлеров
Суета – каталонский
Ла
Последовательность ленивого кейтеринга
Лобб
Моцкин
Нараяна
Заказанный колокол
Шредер
Шредер-Гиппарх
Простые числа
Виферих
Стена – Солнце – Солнце
Wolstenholme Prime
Уилсон
Псевдопричины
Число Кармайкла
Каталонская псевдопремия
Эллиптическое псевдопростое число
Псевдоперство Эйлера
Псевдопростое число Эйлера – Якоби
Псевдопросто Ферма
Псевдопросто Фробениуса
Лукас псевдопрям
Число Лукаса – Кармайкла
Псевдопреступление Сомера – Лукаса
Сильное псевдопросто
Арифметические функции и динамика
Функции делителя
Обильный
Практически идеально
Арифметика
Обрученный
Колоссально обильный
Дефицитный
Декарт
Полусовершенный
Очень много
Сильно композитный
Гиперсовершенство
Умножить идеально
Идеально
Практичный
Первобытное изобилие
Квазидеальный
Возможность рефакторинга
Полусовершенный
Возвышенный
Сверхизбыток
Превосходный высококомпозитный
Суперсовершенный
Основные функции омега
Почти прайм
Полупростой
Функция Эйлера
Очень cototient
Очень аккуратный
Noncototient
Неточность
Идеальное средство
Скудно
Аликвотные последовательности
Дружный
Идеально
Общительный
Неприкасаемый
Первобытный
Евклид
Удачливый
Прочие простые множители или числа, относящиеся к делителю