Падение и рост факториалов

В математике , то падение факториала (иногда называемый нисходящий факториала , ^[1] падает последовательный продукт , или понизить факториала ) определяется как полином

${\ displaystyle (x) _ {n} = x ^ {\ underline {n}} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (x-k + 1) = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (xk).}$

Растет факториал (иногда называют Похгаммер функции , Похгаммер полином , по возрастанию факториала , ^[1] растет последовательное продукт , или верхняя факториала ) определяются как

${\ displaystyle x ^ {(n)} = x ^ {\ overline {n}} = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (x + k-1) = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (x + k).}$

Значение каждого принимается равным 1 ( пустой продукт ), когда n = 0. Эти символы вместе называются факториальными степенями . ^[2]

Символ Поххаммера , введенный Лео Августом Поххаммером , представляет собой запись ( x ) _n , где n - неотрицательное целое число . Он может представлять собой либо восходящий или падение факториала, с различными статьями и авторами с использованием различных конвенций. Сам Поххаммер фактически использовал ( x ) _{n в} другом значении, а именно для обозначения биномиального коэффициента . ^[3]${\ displaystyle {\ tbinom {x} {n}}}$

В этой статье символ ( x ) _n используется для обозначения падающего факториала, а символ x ^{( n )} - для возрастающего факториала. Эти конвенции используются в комбинаторике , ^[4] , хотя Кнут Подчеркнутое / Overline обозначение «ы становится все более популярным. ^{[2] [5]} В теории специальных функций (в частности, гипергеометрической функции ) и в стандартном справочнике Абрамовица и Стегуна символ Похгаммера ( x ) _n${\ displaystyle x ^ {\ underline {n}}, x ^ {\ overline {n}}}$используется для представления возрастающего факториала. ^{[6] [7]}

Когда х является положительным целым числом, ( х ) _п дает число п -permutations соединяемой х элементного множества, или , что эквивалентно число инъективных функций из набора размером п к набору размера  х . Кроме того, ( x ) _n - это «количество способов разместить n флагов на x флагштоках» ^[8], где должны использоваться все флаги, и каждый флагшток может иметь не более одного флага. В этом контексте другие обозначения, такие как _x P _n и P ( x, n ) также иногда используются.

Примеры [ править ]

Первые несколько растущих факториалов выглядят следующим образом:

${\ Displaystyle х ^ {(0)} = х ^ {\ overline {0}} = 1}$

${\displaystyle x^{(1)}=x^{\overline {1}}=x}$

${\displaystyle x^{(2)}=x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x}$

${\displaystyle x^{(3)}=x^{\overline {3}}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x}$

${\displaystyle x^{(4)}=x^{\overline {4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x}$

Вот несколько первых падающих факториалов:

${\displaystyle (x)_{0}=x^{\underline {0}}=1}$

${\displaystyle (x)_{1}=x^{\underline {1}}=x}$

${\displaystyle (x)_{2}=x^{\underline {2}}=x(x-1)=x^{2}-x}$

${\displaystyle (x)_{3}=x^{\underline {3}}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x}$

${\displaystyle (x)_{4}=x^{\underline {4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x}$

Коэффициенты, которые появляются в разложениях, являются числами Стирлинга первого рода .

Свойства [ править ]

Растущие и падающие факториалы просто связаны друг с другом:

${\displaystyle m^{(n)}={(m+n-1)}_{n}=(-1)^{n}(-m)_{n}}$

${\displaystyle {(m)}_{n}={(m-n+1)}^{(n)}=(-1)^{n}(-m)^{(n)}}$

Возрастающие и падающие факториалы напрямую связаны с обычным факториалом :

${\displaystyle n!=1^{(n)}=(n)_{n}}$

${\displaystyle (m)_{n}={\frac {m!}{(m-n)!}}}$

${\displaystyle m^{(n)}={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}}$

Возрастающие и падающие факториалы могут использоваться для выражения биномиального коэффициента :

${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \choose n}\quad {\text{and}}\quad {\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \choose n}.}$

Таким образом, многие тождества биномиальных коэффициентов переносятся на падающие и возрастающие факториалы.

Возрастающие и падающие факториалы хорошо определены в любом кольце с единицей , и поэтому x можно считать, например, комплексным числом , включая отрицательные целые числа, или многочленом с комплексными коэффициентами, или любой комплексной функцией .

Возрастающий факториал может быть расширен до реальных значений n с помощью гамма-функции при условии, что x и x  +  n являются действительными числами, которые не являются отрицательными целыми числами:

${\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}},}$

и падающий факториал:

${\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}.}$

Если D обозначает дифференцирование по x , то

${\displaystyle D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\cdot x^{a-n}.}$

Символ Поххаммера также является неотъемлемой частью определения гипергеометрической функции : гипергеометрическая функция определена для | z | <1 по степенному ряду

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n)} \over c^{(n)}}{z^{n} \over n!}}$

при условии, что c не равно 0, −1, −2, .... Обратите внимание, однако, что в литературе по гипергеометрическим функциям обычно используются обозначения для возрастающих факториалов.${\displaystyle {(a)}_{n}}$

Отношение к темному исчислению [ править ]

Падающий факториал встречается в формуле, которая представляет многочлены с использованием оператора прямой разности Δ и которая формально аналогична теореме Тейлора :

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\,\Delta ^{n}\!f(0)\,}{n!}}\right]\,(x)_{n}.}$

В этой формуле и во многих других местах убывающий факториал ( x ) _n в исчислении конечных разностей играет роль x ⁿ в дифференциальном исчислении. Обратите внимание, например, на сходство с .${\displaystyle \Delta \!\left[\,(x)_{n}\,\right]=n\,(x)_{n-1}}$${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}\left[\,x^{n}\,\right]=n\,x^{n-1}}$

Аналогичный результат имеет место и для растущего факториала.

Изучение аналогий этого типа известно как исчисление теней . Общая теория, охватывающая такие отношения, включая падающие и возрастающие факториальные функции, дается теорией полиномиальных последовательностей биномиального типа и последовательностей Шеффера . Растущие и падающие факториалы - это последовательности Шеффера биномиального типа, как показано соотношениями:

${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)^{(n-j)}(b)^{(j)}}$

${\displaystyle (a+b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)_{n-j}(b)_{j}}$

где коэффициенты такие же, как в разложении степени бинома ( тождество Чу – Вандермонда ).

Точно так же производящая функция многочленов Поххаммера тогда равна умбральной экспоненте,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}~{\frac {t^{n}}{n!}}=(1+t)^{x}~,}$

поскольку

${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\,\left(1+t\right)^{x}~.}$

Коэффициенты связи и идентификаторы [ править ]

Падающие и возрастающие факториалы связаны друг с другом числами Лаха : ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}\times x^{(k)}\\&=(-1)^{n}(-x)^{(n)}=(x-n+1)^{(n)}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-1)_{n-k}\times (x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x+n-1)_{n}\end{aligned}}}$.

Следующие формулы связывают целые степени переменной x через суммы с использованием чисел Стирлинга второго рода (обозначенных фигурными скобками {^п
_к}  ): ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(-1)^{n-k}x^{(k)}\end{aligned}}}$.

Поскольку падающие факториалы являются основой кольца многочленов , можно выразить произведение двух из них как линейную комбинацию падающих факториалов:

${\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\cdot (x)_{m+n-k}~.}$

Коэффициенты называются коэффициентами связи и имеют комбинаторную интерпретацию как количество способов идентифицировать (или «склеить») k элементов, каждый из набора размера m и набора размера n  .${\displaystyle {m \choose k}{n \choose k}k!}$

Существует также формула связи для отношения двух возрастающих факториалов, выраженная следующим образом:

${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},n\geq i~.}$

Кроме того, мы можем расширить обобщенные законы экспонентов и отрицательный рост и падение силы через следующие тождества: ^{[ править ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}\\x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}\\x^{(-n)}&={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}={\frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {1}{n!{\binom {x-1}{n}}}}=(-n)!{\binom {x-n-1}{-n}}\\(x)_{-n}&={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1}{n!{\binom {x+n}{n}}}}=(-n)!{\binom {x}{-n}}.\end{aligned}}}$

Наконец, формулы удвоения и умножения для падающих и возрастающих факториалов обеспечивают следующие соотношения:

${\displaystyle x_{k+mn}=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n},m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle x^{(k+mn)}=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)},m\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle (ax+b)^{(n)}=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),x\in \mathbb {Z} ^{+}}$

${\displaystyle (2x)^{(2n)}=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.}$

Альтернативные обозначения [ править ]

Альтернативное обозначение возрастающего факториала

${\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+n}\equiv (x)_{n}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factors}}}\qquad {\text{for integer }}m\geq 0,}$

а для падающего факториала

${\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-n}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}\qquad {\text{for integer }}m\geq 0~;}$

восходит к А. Капелли (1893 г.) и Л. Тоскано (1939 г.) соответственно. ^[2] Грэхем, Кнут и Паташник ^[10] предлагают произносить эти выражения как « x на m возрастает» и « x на m падает» соответственно.

Другие обозначения для падающего факториала включают P ( x ,  n )  , ^x P _n  , P _{x , n}  или _x P _n  . (См. Перестановка и комбинация .)

Альтернативное обозначение возрастающего факториала x ^{( n )} - менее распространенное ( x )⁺
_п . Когда ( х )⁺
_писпользуется для обозначения возрастающего факториала, обозначение ( x )^-
_побычно используется для обычного падающего факториала, чтобы избежать путаницы. ^[3]

Обобщения [ править ]

Символ Поххаммера имеет обобщенную версию, называемую обобщенным символом Поххаммера , которая используется в многомерном анализе . Существует также q- аналог , символ q -Почхаммера .

Обобщение падающего факториала, в котором функция вычисляется на убывающей арифметической последовательности целых чисел и умножаются значения, выглядит так: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),}$

где - h - декремент, а k - количество факторов. Соответствующее обобщение восходящего факториала:

${\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).}$

Это обозначение объединяет возрастающие и падающие факториалы, которые равны [ x ] ^{k / 1} и [ x ] ^{k / −1} соответственно.

Для любой фиксированной арифметической функции и символьных параметров связанные обобщенные факториальные произведения вида${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle x,t}$

${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=1}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$

могут быть изучены с точки зрения классов обобщенных чисел Стирлинга первого рода, определяемых следующими коэффициентами при степенях в разложениях, а затем следующим соответствующим треугольным рекуррентным соотношением:${\displaystyle x}$${\displaystyle (x)_{n,f,t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$

Эти коэффициенты удовлетворяют ряд аналогичных свойств тем для чисел Стирлинга первого рода , а также рекуррентных соотношений и функциональных уравнений , связанных с F-гармонические числами , . ^[11]${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}}$

См. Также [ править ]

• Почхаммер k-символ
• Личность Вандермонда

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Символ Поххаммера» . MathWorld .
• Элементарные доказательства