Сверхсовершенное число

В математике , А к -hyperperfect число является натуральным числом п , для которых выполняется равенство п = 1 + K ( σ ( п ) - п - 1), где σ ( п ) является функцией делителя (т.е. сумма всех положительные делители из п ). Номер hyperperfect является к числу -hyperperfect для некоторых целого к . Сверхсовершенные числа обобщают совершенные числа , которые являются 1-гиперсовершенными. ^[1]

Первые несколько чисел в последовательности k -суперфектных чисел: 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, ... (последовательность A034897 в OEIS ), с соответствующими значениями k, равными 1, 2, 1. , 6, 3, 1, 12, ... (последовательность A034898 в OEIS ). Первые несколько k -суперфектных чисел, которые не идеальны: 21, 301, 325, 697, 1333, ... (последовательность A007592 в OEIS ).

Список гиперсовершенных чисел [ править ]

В следующей таблице перечислены первые несколько k -суперфектных чисел для некоторых значений k , а также порядковый номер в Он-лайн энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS) последовательности k -суперфектных чисел:

Можно показать, что если k > 1 - целое нечетное число, а p = (3 k + 1) / 2 и q = 3 k + 4 - простые числа , то p ² q является k -сверхсовершенным; Джадсон С. Маккрэни предположил в 2000 г., что все k -сверхсовершенные числа для нечетных k > 1 имеют эту форму, но эта гипотеза до сих пор не доказана. Кроме того, можно доказать, что если p ≠ q - нечетные простые числа, а k - такое целое число, что k ( p +д ) = рд - 1, то рд есть к -hyperperfect.

Также можно показать, что если k > 0 и p = k + 1 простое число, то для всех i > 1 таких, что q = p ⁱ - p + 1 простое число, n = p ^{i - 1} q является k -суперфектным . В следующей таблице перечислены известные значения k и соответствующие значения i, для которых n равно k -суперфектно:

Гипердефицит [ править ]

Недавно введенное математическое понятие гипердефицита связано с гиперсовершенными числами .

Определение (Minoli 2010): Для любого целого числа п и для целого числа к , определим к-hyperdeficiency (или просто hyperdeficiency ) для числа п как${\ displaystyle k> 0}$

 δ k (n) = n (k + 1) + (k-1) - kσ (п)

Число n называется k-гипердефицитом, если δ _k ( n )> 0.

Обратите внимание, что для k = 1 получается δ ₁ ( n ) = 2 n –σ ( n ), что является стандартным традиционным определением дефицита .

Лемма: Число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1) тогда и только тогда, когда k-гипердефицит числа n , δ _k ( n ) = 0.

Лемма: Число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1) тогда и только тогда, когда для некоторого k , δ _k-j ( n ) = -δ _{k + j} ( n ) хотя бы для одного j > 0.

Ссылки [ править ]

• Шандор, Йожеф; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I . Дордрехт: Springer-Verlag . п. 114. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Статьи [ править ]

• Миноли, Даниэль; Медведь, Роберт (осень 1975), «Сверхсовершенные числа», Pi Mu Epsilon Journal , 6 (3): 153–157..
• Миноли, Даниэль (декабрь 1978 г.), "Достаточные формы для обобщенных совершенных чисел", Annales de la Faculté des Sciences UNAZA , 4 (2): 277–302.
• Миноли, Даниэль (февраль 1981 г.), «Структурные проблемы гиперсовершенных чисел», Fibonacci Quarterly , 19 (1): 6–14..
• Minoli, Daniel (апрель 1980), "Проблемы нелинейных чисел hyperperfect", Математика вычислений , 34 (150): 639-645, DOI : 10,2307 / 2006107.
• Миноли, Дэниел (октябрь 1980 г.), «Новые результаты для гиперсовершенных чисел», Тезисы Американского математического общества , 1 (6): 561.
• Миноли, Даниэль; Накамин, В. (1980), «Числа Мерсенна, основанные на 3 для теоретико-числовых преобразований», Международная конференция по акустике, речи и обработке сигналов..
• МакКрэни, Джадсон С. (2000), «Исследование гиперсовершенных чисел» , Журнал целочисленных последовательностей , 3 , архивировано с оригинала 2004-04-05..
• te Riele, Герман Дж. Дж. (1981), "Сверхсовершенные числа с тремя разными простыми множителями", Math. Комп. , 36 : 297–298, DOI : 10.1090 / s0025-5718-1981-0595066-9 , MR  0595066 , Zbl  0452.10005.
• te Riele, Герман Дж. Дж. (1984), «Правила построения гиперсовершенных чисел», Fibonacci Q. , 22 : 50–60, Zbl  0531.10005.

Книги [ править ]

• Дэниел Миноли, передача голоса по MPLS , Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (стр. 114-134) 

Внешние ссылки [ править ]

• MathWorld: гиперсовершенное число
• Длинный список гиперсовершенных чисел в разделе Данные