В теории чисел , счастливое число является натуральным числом в наборе , который генерируется с помощью определенного « сита ». Это сито похоже на сито Эратосфена, которое генерирует простые числа , но оно удаляет числа на основе их положения в оставшемся наборе, а не их значения (или положения в исходном наборе натуральных чисел). [1]
Термин был введен в 1956 году в статье Гардинера, Лазаря, Метрополиса и Улама . Они предлагают также называть определяющее его решето «решетом Иосифа Флавия» [2] из-за его сходства с игрой со счетом в задаче Иосифа Флавия .
Счастливые числа имеют общие свойства с простыми числами, такие как асимптотическое поведение согласно теореме о простых числах ; кроме того, на них была распространена версия гипотезы Гольдбаха . Счастливых чисел бесконечно много. Однако, если L n обозначает n-е счастливое число, а p n - n-е простое число, то L n > p n для всех достаточно больших n . [3]
Из-за этих очевидных связей с простыми числами некоторые математики предположили, что эти свойства могут быть обнаружены в более широком классе наборов чисел, генерируемых ситами определенной неизвестной формы, хотя для этой гипотезы мало теоретических оснований . Двойные счастливые числа и двойные простые числа также встречаются с одинаковой частотой.
Каждое второе число (все четные числа ) в списке удаляется, оставляя только нечетные целые числа:
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21 год
23
25
Первое число, оставшееся в списке после 1, равно 3, поэтому каждое третье число, оставшееся в списке ( не каждое кратное 3), удаляется. Первых из них 5:
1
3
7
9
13
15
19
21 год
25
Следующее выжившее число теперь 7, поэтому каждое седьмое оставшееся число удаляется. Первый из них - 19:
1
3
7
9
13
15
21 год
25
Продолжайте удалять n- е оставшиеся числа, где n - следующее число в списке после последнего оставшегося числа. Следующим в этом примере является 9.
Анимация, демонстрирующая решето счастливых чисел. Цифры на красном фоне - счастливые числа. Когда число удаляется, его фон меняется с серого на фиолетовый.
Одним из отличий применения процедуры от сита Эратосфена является то, что, поскольку n - это число, умножаемое на конкретном проходе, первое число, исключенное на проходе, является n -м оставшимся числом, которое еще не было удалено. , в отличие от числа 2н . Другими словами, список чисел, через которые проходит подсчет этого сита, различен на каждом проходе (например, 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19 ... на третьем проходе), тогда как в Решете Эратосфена сито всегда учитывает весь исходный список (1, 2, 3 ...).
Когда эта процедура будет полностью выполнена, оставшиеся целые числа станут счастливыми числами:
Математический портал