Фигурное число

Термин фигуральное число используется разными авторами для обозначения членов разных наборов чисел, обобщая от треугольных чисел до различных форм (многоугольные числа) и разных размеров (многогранные числа). Термин может означать

многоугольное число
число, представленное как дискретный $r$ -мерный регулярный геометрический узор из $r$ -мерных шаров, такой как многоугольное число (для $r = 2$ ) или многогранное число (для $r = 3$ ).
член подмножества вышеперечисленных наборов, содержащий только треугольные числа, пирамидальные числа и их аналоги в других измерениях. ^[1]

Терминология [ править ]

Некоторые виды фигурных чисел обсуждались в XVI и XVII веках под названием «фигуральные числа». ^[2]

В исторических трудах о греческой математике предпочтительным термином было числовое число . ^[3]^[4]

В использовании Возвращаясь к Якобу Бернулли «ы Искусства предположениям , ^[1] термин номер фигурного используются для треугольных чисел из последовательных целых чисел , четырехгранные числа состоят из последовательных треугольных чисел, и т.д. Они оказываются в биномиальных коэффициентах . В этом случае квадратные числа (4, 9, 16, 25, ...) не будут считаться фигурными числами, если рассматривать их как расположенные в квадрате.

В ряде других источников термин « фигуральное число» используется как синоним для многоугольных чисел , либо просто обычных, либо их и центрированных многоугольных чисел . ^[5]

История [ править ]

Считается, что математическое изучение фигурных чисел началось с Пифагора , возможно, на основе вавилонских или египетских предшественников. Создание любого класса фигурных чисел, которые пифагорейцы изучали с помощью гномонов , также приписывается Пифагору. К сожалению, для этих утверждений нет заслуживающего доверия источника, потому что все сохранившиеся сочинения о пифагорейцах ^[6] относятся к столетиям позже. ^[7] Очевидно, что четвертое треугольное число из десяти объектов, называемое по-гречески тетрактис , было центральной частью пифагорейской религии , наряду с несколькими другими фигурами, также называемыми тетрактисом. ^{[ необходима цитата ]} Фигурные числа были предметом заботы пифагорейской геометрии.

Современное изучение фигурных чисел восходит к Пьеру де Ферма , в частности теореме Ферма о многоугольных числах . Позже это стало важной темой для Эйлера , который дал явную формулу для всех треугольных чисел, которые также являются полными квадратами , среди многих других открытий, относящихся к фигурным числам.

Фигурные числа сыграли значительную роль в современной развлекательной математике. ^[8] В исследовании математики, фигурные числа изучаются пути из многочленов Эрхарт , многочленов , которые рассчитывают количество целых точек в многоугольника или многогранника , когда он расширяется за счет данного фактора. ^[9]

Треугольные числа и их аналоги в высших измерениях [ править ]

В треугольные числа для $п = 1, 2, 3, ...$ являются результатом сопоставления линейных чисел (линейного gnomons) для $п = 1, 2, 3, ...$ :

Это биномиальные коэффициенты . Это случай $r$ $= 2$ того факта, что $r-$ я диагональ треугольника Паскаля при $r$ $\geq 0$ состоит из образных чисел для $r$ -мерных аналогов треугольников ( $r$ -мерных симплексов ). ${\ displaystyle \ textstyle {\ binom {п + 1} {2}}}$

Симплициальные многогранные числа для $r = 1, 2, 3, 4, ...$ :

${\ displaystyle P_ {1} (n) = {\ frac {n} {1}} = {\ binom {n + 0} {1}} = {\ binom {n} {1}}}$ (линейные числа),
$P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}={\binom {n+1}{2}}$ ( треугольные числа ),
$P_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\binom {n+2}{3}}$ ( тетраэдрические числа ),
$P_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={\binom {n+3}{4}}$ (пентахорические числа, пентатопические числа , 4-симплексные числа),

$\qquad \vdots$

$P_{r}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)}{r!}}={\binom {n+(r-1)}{r}}$ ( $r$ -топические числа, $r$ - симплексные числа).

Термины квадратное число и кубическое число происходят от их геометрического представления в виде квадрата или куба . Разница двух положительных треугольных чисел - это число трапеции .

Гномон [ править ]

Гномон это часть добавляется к числу фигурного , чтобы превратить его в следующем больший.

Например, гномон квадратного числа является нечетным числом , общего вида $2 п + 1$ , $п = 0, 1, 2, 3, ...$ . Квадрат 8-го размера, составленный из гномонов, выглядит так:

8 8 8 8 8 8 8 8
8 7 7 7 7 7 7 7
8 7 6 6 6 6 6 6
8 7 6 5 5 5 5 5
8 7 6 5 4 4 4 4
8 7 6 5 4 3 3 3
8 7 6 5 4 3 2 2
8 7 6 5 4 3 2 1

Чтобы преобразовать $n$ -квадрат (квадрат размера $n$ ) в $(n + 1)$ -квадрат, к нему примыкают $2 n + 1$ элемента: по одному до конца каждой строки ( $n$ элементов), по одному до конца каждого столбец ( $n$ элементов) и один в угол. Например, преобразовывая квадрат 7 в квадрат 8, мы добавляем 15 элементов; эти дополнения - это восьмерки на рисунке выше.

Эта гномоническая техника также обеспечивает математическое доказательство того, что сумма первых $n$ нечетных чисел равна $n 2$ ; рисунок показывает 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8 ² .

Заметки [ править ]

^ a b Диксон, Л. Е. , История теории чисел
^ Симпсон, JA; Weiner, ESC, ред. (1992). Компактный Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Оксфорд, Англия: Clarendon Press. п. 587. Отсутствует или пусто |title=( справка )
^ Хит, Т. , История греческой математики по
^ Maziarz, EA, Греческая математическая философия
^ "Фигурные числа" . Матигон . Проверено 6 февраля 2019 .
^ Тейлор, Томас, Теоретическая арифметика пифагорейцев
^ Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. , История математики (второе изд.), Стр. 48
^ Kraitchik, Морис (2006), математическая Recreations (второй пересмотренный ред.), Dover Books , ISBN 978-0-486-45358-3
^ Бек, М .; De Loera, JA ; Девелин, М .; Pfeifle, J .; Стэнли, Р.П. (2005), "Коэффициенты и корни многочленов Эрхарта", Целочисленные точки в многогранниках - геометрия, теория чисел, алгебра, оптимизация , Contemp. Math., 374 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 15–36, MR 2134759 .

Ссылки [ править ]

Газале, Мидхат Дж. (1999), Гномон: от фараонов до фракталов , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00514-0
Деза, Елена; Деза, Мишель Мари (2012), Фигурные числа, Первое издание , World Scientific , ISBN 978-981-4355-48-3
Хит, Томас Литтл (2000), История греческой математики: Том 1. От Фалеса до Евклида , Adamant Media Corporation , ISBN 978-0-543-97448-8
Хит, Томас Литтл (2000), История греческой математики: Том 2. От Аристарха до Диофанта , Adamant Media Corporation , ISBN 978-0-543-96877-7
Диксон, Леонард Юджин (1923), История теории чисел , Chelsea Publishing Co , ASIN B000OKO3TK
Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К., История математики (2-е изд.)

[Dickson-1] Диксон, Л. Е. , История теории чисел

[2] Симпсон, JA; Weiner, ESC, ред. (1992). Компактный Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Оксфорд, Англия: Clarendon Press. п. 587. Отсутствует или пусто |title=( справка )

[3] Хит, Т. , История греческой математики по

[4] Maziarz, EA, Греческая математическая философия

[5] "Фигурные числа" . Матигон . Проверено 6 февраля 2019 .

[6] Тейлор, Томас, Теоретическая арифметика пифагорейцев

[7] Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. , История математики (второе изд.), Стр. 48

[8] Kraitchik, Морис (2006), математическая Recreations (второй пересмотренный ред.), Dover Books , ISBN 978-0-486-45358-3

[9] Бек, М .; De Loera, JA ; Девелин, М .; Pfeifle, J .; Стэнли, Р.П. (2005), "Коэффициенты и корни многочленов Эрхарта", Целочисленные точки в многогранниках - геометрия, теория чисел, алгебра, оптимизация , Contemp. Math., 374 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 15–36, MR 2134759 .

[1]