Многоугольный номер

В математике , А многоугольное число является число представлена в виде точек или камешков , расположенных в форме правильного многоугольника . Точки считаются альфами (единицами). Это один из видов двумерных фигурных чисел .

Определение и примеры [ править ]

Например, число 10 можно расположить в виде треугольника (см. Треугольное число ):

Но 10 нельзя расположить в виде квадрата . Число 9, с другой стороны, может быть (см. Квадратное число ):

Некоторые числа, например 36, можно расположить как квадрат, так и треугольник (см. Квадратно-треугольное число ):

По соглашению 1 - это первое многоугольное число для любого количества сторон. Правило увеличения многоугольника до следующего размера состоит в том, чтобы удлинить два соседних плеча на одну точку и затем добавить необходимые дополнительные стороны между этими точками. На следующих диаграммах каждый дополнительный слой показан красным цветом.

Треугольные числа [ править ]

Квадратные числа [ править ]

Многоугольники с большим числом сторон, такие как пятиугольники и шестиугольники, также могут быть построены в соответствии с этим правилом, хотя точки больше не будут образовывать идеально правильную решетку, как указано выше.

Пятиугольные числа [ править ]

Шестиугольные числа [ править ]

Формула [ править ]

Этот раздел требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. ( Июнь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Если $s$ - количество сторон многоугольника, формула для $n-$ го $s$ -угольного числа $P (s, n)$ имеет вид

{\ Displaystyle P (s, n) = {\ frac {(s-2) n ^ {2} - (s-4) n} {2}}}

или же

{\ Displaystyle P (s, n) = (s-2) {\ frac {n (n-1)} {2}} + n}

В $н$ TH $сек$ -gonal номер также связан с треугольными числами $Т п$ следующим образом :

{\ Displaystyle P (s, n) = (s-2) T_ {n-1} + n = (s-3) T_ {n-1} + T_ {n} \ ,.}

Таким образом:

{\ Displaystyle {\ begin {align} P (s, n + 1) -P (s, n) & = (s-2) n + 1 \ ,, \\ P (s + 1, n) -P ( s, n) & = T_ {n-1} = {\ frac {n (n-1)} {2}} \,. \ end {выровнено}}}

Для данного $s$ -угольного числа $P (s, n) = x$ , можно найти $n следующим$ образом:

{\ Displaystyle п = {\ гидроразрыва {{\ sqrt {8 (s-2) x + {(s-4)} ^ {2}}} + (s-4)} {2 (s-2)}}}

и можно найти $s$ по

{\ displaystyle s = 2 + {\ frac {2} {n}} \ cdot {\ frac {xn} {n-1}}}

.

Каждое шестиугольное число также является треугольным числом [ править ]

Применяя формулу выше:

{\ Displaystyle P (s, n) = (s-2) T_ {n-1} + n}

к корпусу с 6 сторон дает:

{\ Displaystyle P (6, n) = 4T_ {n-1} + n}

но с тех пор:

{\ displaystyle T_ {n-1} = {\ frac {n (n-1)} {2}}}

следует, что:

{\ Displaystyle P (6, n) = {\ frac {4n (n-1)} {2}} + n = {\ frac {2n (2n-1)} {2}} = T_ {2n-1} }

Это показывает, что $n-$ е гексагональное число $P (6, n)$ также является $(2 n - 1)$ -м треугольным числом $T 2 n -1$ . Мы можем найти каждое шестиугольное число, просто взяв нечетные треугольные числа:

1 , 3, 6 , 10, 15 , 21, 28 , 36, 45 , 55, 66 , ...

Таблица значений [ править ]

Первые 6 значений в столбце «сумма обратных чисел» для треугольных и восьмиугольных чисел взяты из опубликованного решения общей проблемы, которое также дает общую формулу для любого количества сторон в терминах дигамма-функции . ^[1]

$s$	Имя	Формула	$п$										Сумма обратных значений ^[1]^[2]	OEIS номер
$s$	Имя	Формула	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Сумма обратных значений ^[1]^[2]	OEIS номер
3	Треугольный	$1 / 2 (п 2 + п)$	1	3	6	10	15	21 год	28	36	45	55	2 ^[1]	A000217
4	Квадрат	$1 / 2 (2 п 2 - 0 п) = п 2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81 год	100	$π$ ²/6^[1]	A000290
5	Пятиугольный	$1 / 2 (3 п 2 - п)$	1	5	12	22	35 год	51	70	92	117	145	$3 пер. 3 - π \sqrt 3 / 3$ ^[1]	A000326
6	Шестиугольный	$1 / 2 (4 n 2 - 2 n) = 2 n 2 - n$	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	$2 вп 2$ ^[1]	A000384
7	Семиугольный	$1 / 2 (5 п 2 - 3 п)$	1	7	18	34	55	81 год	112	148	189	235	${\begin{matrix}{\tfrac {2}{3}}\ln 5\\+{\tfrac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}{15}}\end{matrix}}$ ^[1]	A000566
8	Восьмиугольный	$1 / 2 (6 n 2 - 4 n) = 3 n 2 - 2 n$	1	8	21 год	40	65	96	133	176	225	280	$3 / 4 ln 3+ π \sqrt 3 / 12$ ^[1]	A000567
9	Неагональный	$1 / 2 (7 п 2 - 5 п)$	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325		A001106
10	Десятиугольный	$1 / 2 (8 n 2 - 6 n) = 4 n 2 - 3 n$	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	$ln 2+ π / 6$	A001107
11	Хендекагональный	$1 / 2 (9 л. 2 - 7 л.)$	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	Додекагональный	$1 / 2 (10 п 2 - 8 п)$	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	Трехугольник	$1 / 2 (11 п. 2 - 9 п.)$	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
14	Тетрадекагональный	$1 / 2 (12 п. 2 - 10 п.)$	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	$2 / 5 ln 2+ 3 / 10 ln 3+ π \sqrt 3 / 10$	A051866
15	Пятиугольник	$1 / 2 (13 п 2 - 11 п)$	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	Шестиугольный	$1 / 2 (14 п 2 - 12 л)$	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	Гептадекагональный	$1 / 2 (15 п 2 - 13 п)$	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
18	Восьмиугольный	$1 / 2 (16 п 2 - 14 л)$	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	$4 / 7 пер 2 - \sqrt 2 / 14 ln (3 - 2 \sqrt 2)$ $+ π (1 + \sqrt 2) / 14$	A051870
19	Эннеадекагональный	$1 / 2 (17 п 2 - 15 л)$	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
20	Икосагональный	$1 / 2 (18 п 2 - 16 л)$	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21 год	Икосигенагональный	$1 / 2 (19 п 2 - 17 л)$	1	21 год	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
22	Икозидигональный	$1 / 2 (20 п 2 - 18 п)$	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910		A051874
23	Икоситригональный	$1 / 2 (21 п 2 - 19 л)$	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955		A051875
24	Икоситетрагональный	$1 / 2 (22 п 2 - 20 л)$	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000		A051876
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10000	Мириагональный	$1 / 2 (9998 n 2 - 9996 n)$	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Энциклопедия целочисленных последовательностей сторонится терминов с использованием греческих префиксов (например, «восьмиугольные») в пользу точки зрения, используя цифры (т.е. «8-гональны»).

Свойство этой таблицы может быть выражено следующим тождеством (см. A086270 ):

2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),

с

k=0,1,2,3,...,s-3.

Комбинации [ править ]

Некоторые числа, например 36, которое одновременно является квадратным и треугольным, делятся на два многоугольных набора. Задача определения для двух таких наборов всех чисел, которые принадлежат обоим, может быть решена путем сведения задачи к уравнению Пелла . Самый простой пример - последовательность квадратных треугольных чисел .

В следующей таблице представлен набор $s$ -угольных $t$ -угольных чисел для малых значений $s$ и $t$ .

$s$	$т$	Последовательность	OEIS номер
4	3	1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 8517034385318045667625, 289328558448458458448448458458448458458448458458448455	A001110
5	3	1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465,…	A014979
5	4	1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ...	A036353
6	3	Все шестиугольные числа тоже треугольные.	A000384
6	4	1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361, 2893284510173841030625, 3338847817559778254844961, 3853027488179473932250054441, ...	A046177
6	5	1, 40755, 1533776805,…	A046180
7	3	1, 55, 121771, 5720653, 12625478965, 593128762435, 1309034909945503, 61496776341083161, 135723357520344181225, 6376108764003055554511, 14072069153115290487843091,…	A046194
7	4	1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025,…	A036354
7	5	1, 4347, 16701685, 64167869935,…	A048900
7	6	1, 121771, 12625478965,…	A048903
8	3	1, 21, 11781, 203841,…	A046183
8	4	1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321	A036428
8	5	1, 176, 1575425, 234631320,…	A046189
8	6	1, 11781, 113123361,…	A046192
8	7	1, 297045, 69010153345,…	A048906
9	3	1, 325, 82621, 20985481,…	A048909
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, ...	A036411
9	5	1, 651, 180868051,…	A048915
9	6	1, 325, 5330229625,…	A048918
9	7	1, 26884, 542041975,…	A048921
9	8	1, 631125, 286703855361,…	A048924

В некоторых случаях, например $s = 10$ и $t = 4$ , в обоих наборах нет чисел, кроме 1.

Проблема нахождения чисел, принадлежащих трем многоугольным множествам, более сложна. Компьютерный поиск пятиугольных квадратных треугольных чисел дал только тривиальное значение 1, хотя доказательства того, что других таких чисел еще не найдено. ^[3]

Число 1225 - гекатоникоситетрагональное ( $s = 124$ ), гексаконтагональное ( $s = 60$ ), икозиеннеагональное ( $s = 29$ ), гексагональное, квадратное и треугольное.

Единственный многоугольный набор, который полностью содержится в другом многоугольном наборе, - это набор шестиугольных чисел, который содержится в наборе треугольных чисел. ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

Многогранное число
Теорема Ферма о многоугольных числах

Примечания [ править ]

^ a b c d e f g h «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) на 2011-06-15 . Проверено 13 июня 2010 .CS1 maint: archived copy as title (link)
^ За пределами проблемы Базеля: суммы обратных чисел фигуральных чисел
^ Вайсштейн, Эрик В. "Пятиугольный квадрат треугольный номер" . MathWorld .

Ссылки [ править ]

Словарь любопытных и интересных чисел Penguin , Дэвид Уэллс ( Penguin Books , 1997) [ ISBN 0-14-026149-4 ].
Полигональные числа в PlanetMath
Вайсштейн, Эрик В. «Многоугольные числа» . MathWorld .
Ф. Тэпсон (1999). Оксфордский словарь изучения математики (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. С. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9.

Внешние ссылки [ править ]

"Многоугольное число" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Многоугольные числа: каждое s-многоугольное число от 1 до 1000 можно нажать для 2 <= s <= 337.
Многоугольные числа на сетке спирали Улама на YouTube
Функция подсчета многоугольных чисел: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853

[siam_07-003s-1] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) на 2011-06-15 . Проверено 13 июня 2010 .CS1 maint: archived copy as title (link)

[2] За пределами проблемы Базеля: суммы обратных чисел фигуральных чисел

[3] Вайсштейн, Эрик В. "Пятиугольный квадрат треугольный номер" . MathWorld .