Сильно составное число

Демонстрация первых четырех удилищ Cuisenaire : 1, 2, 4, 6

Весьма составное число , иногда называемое antiprime числом , является положительным целым числом с большим количеством делителей , чем любое меньше , имеет положительное целое число. Термин был введен Рамануджаном (1915). Однако Жан-Пьер Кахан предположил, что эта концепция могла быть известна Платону , который установил 5040 как идеальное количество жителей в городе, поскольку 5040 имеет больше делителей, чем любые числа, меньшие его. ^[1]

Связанная концепция в значительной степени составного числа относится к положительному целому числу, которое имеет, по крайней мере, столько же делителей, сколько любое меньшее положительное целое число.

Название может вводить в заблуждение, поскольку два очень сложных числа (1 и 2) на самом деле не являются составными числами .

Примеры [ править ]

Начальные или наименьшие 38 сильно составных чисел перечислены в таблице ниже (последовательность A002182 в OEIS ). Количество делителей указано в столбце d ( n ). Звездочки обозначают превосходные очень сложные числа .

Заказ	HCN n	разложение на простые множители	простые показатели	количество простых факторов	d ( n )	первичная факторизация
1	1			0	1
2	2 *	${\ displaystyle 2}$	1	1	2	${\ displaystyle 2}$
3	4	${\ displaystyle 2 ^ {2}}$	2	2	3	${\ displaystyle 2 ^ {2}}$
4	6 *	${\ displaystyle 2 \ cdot 3}$	1,1	2	4	${\ displaystyle 6}$
5	12 *	${\ displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 3}$	2,1	3	6	${\ displaystyle 2 \ cdot 6}$
6	24	${\ displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 3}$	3,1	4	8	${\ displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 6}$
7	36	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {2}}$	2,2	4	9	${\ displaystyle 6 ^ {2}}$
8	48	${\ displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3}$	4,1	5	10	${\ displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 6}$
9	60 *	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 3 \ cdot 5}$	2,1,1	4	12	${\ displaystyle 2 \ cdot 30}$
10	120 *	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 3 \ cdot 5}$	3,1,1	5	16	${\ displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 30}$
11	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	2,2,1	5	18	${\displaystyle 6\cdot 30}$
12	240	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5}$	4,1,1	6	20	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30}$
13	360 *	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	3,2,1	6	24	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 30}$
14	720	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	4,2,1	7	30	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30}$
15	840	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	3,1,1,1	6	32	${\displaystyle 2^{2}\cdot 210}$
16	1260	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	2,2,1,1	6	36	${\displaystyle 6\cdot 210}$
17	1680	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	4,1,1,1	7	40	${\displaystyle 2^{3}\cdot 210}$
18	2520 *	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	3,2,1,1	7	48	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 210}$
19	5040 *	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	4,2,1,1	8	60	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 210}$
20	7560	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	3,3,1,1	8	64	${\displaystyle 6^{2}\cdot 210}$
21 год	10080	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	5,2,1,1	9	72	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 210}$
22	15120	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	4,3,1,1	9	80	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 210}$
23	20160	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	6,2,1,1	10	84	${\displaystyle 2^{4}\cdot 6\cdot 210}$
24	25200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	4,2,2,1	9	90	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30\cdot 210}$
25	27720	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	3,2,1,1,1	8	96	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 2310}$
26	45360	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7}$	4,4,1,1	10	100	${\displaystyle 6^{3}\cdot 210}$
27	50400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	5,2,2,1	10	108	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 210}$
28	55440 *	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	4,2,1,1,1	9	120	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 2310}$
29	83160	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	3,3,1,1,1	9	128	${\displaystyle 6^{2}\cdot 2310}$
30	110880	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	5,2,1,1,1	10	144	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 2310}$
31 год	166320	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	4,3,1,1,1	10	160	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
32	221760	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	6,2,1,1,1	11	168	${\displaystyle 2^{4}\cdot 6\cdot 2310}$
33	277200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	4,2,2,1,1	10	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30\cdot 2310}$
34	332640	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	5,3,1,1,1	11	192	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
35 год	498960	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	4,4,1,1,1	11	200	${\displaystyle 6^{3}\cdot 2310}$
36	554400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	5,2,2,1,1	11	216	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 2310}$
37	665280	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	6,3,1,1,1	12	224	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
38	720720 *	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13}$	4,2,1,1,1,1	10	240	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30030}$

Делители первых 15 сложных чисел показаны ниже.

В приведенной ниже таблице показаны все 72 делителя 10080 в виде произведения двух чисел 36 различными способами.

15-тысячное очень сложное число можно найти на сайте Ахима Фламменкампа. Это произведение 230 простых чисел:

${\displaystyle a_{0}^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},}$

где есть последовательность последовательных простых чисел, и все опущенные члены ( а ₂₂ к ₂₂₈ ) являются факторами , с показателем степени , равным единице (то есть номер ). Если говорить более кратко, это продукт семи различных примориалов:${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle 2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451}$

${\displaystyle b_{0}^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{229},}$

где это primorial .^[2]${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{n}}$

Факторизация на простые множители [ править ]

Грубо говоря, для того, чтобы число было сильно составным, оно должно иметь как можно меньшие простые множители , но не слишком много одинаковых. По основной теореме арифметики каждое натуральное число n имеет единственное разложение на простые множители:

${\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1)}$

где простые числа, а показатели - натуральные числа.${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}}$${\displaystyle c_{i}}$

Любой множитель числа n должен иметь одинаковую или меньшую кратность в каждом простом числе:

${\displaystyle p_{1}^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0<i\leq k}$

Таким образом, число делителей n равно:

${\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)}$

Следовательно, для очень составного числа п ,

• к данному простому числу р _я должен быть в точности первых K простых числами (2, 3, 5, ...); в противном случае мы могли бы заменить одно из заданных простых чисел меньшим простым числом и, таким образом, получить меньшее число, чем n, с тем же числом делителей (например, 10 = 2 × 5 можно заменить на 6 = 2 × 3; оба имеют четыре делителя);
• последовательность показателей должна быть невозрастающей, то есть ; в противном случае, поменяв два показателя степени, мы снова получили бы меньшее число, чем n, с тем же числом делителей (например, 18 = 2 ¹  × 3 ² можно заменить на 12 = 2 ²  × 3 ¹ ; оба имеют шесть делителей).${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}}$

Кроме того, за исключением двух особых случаев n  = 4 и n  = 36, последний показатель c _k должен быть равен 1. Это означает, что 1, 4 и 36 - единственные квадратные сильно составные числа. Сказать, что последовательность экспонент не возрастает, равносильно утверждению, что сильно составное число является продуктом примориалов .

Обратите внимание, что хотя описанные выше условия необходимы, их недостаточно для того, чтобы число было очень сложным. Например, 96 = 2 ⁵ × 3 удовлетворяет указанным выше условиям и имеет 12 делителей, но не является очень составным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет такое же количество делителей.

Асимптотический рост и плотность [ править ]

Если Q ( x ) обозначает количество сильно составных чисел, меньших или равных x , то существуют две константы a и b , обе больше 1, так что

${\displaystyle (\log x)^{a}\leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.}$

Первая часть неравенства была доказана Полем Эрдёшем в 1944 году, а вторая часть - Жан-Луи Николя в 1988 году. У нас есть ^[3]

${\displaystyle 1.13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\ }$

и

${\displaystyle \limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .}$

Связанные последовательности [ править ]

Сильно составные числа выше 6 также являются многочисленными числами . Достаточно взглянуть на три наибольших собственных делителя конкретного сложного числа, чтобы убедиться в этом. Неверно, что все сильно составные числа также являются числами Харшада с основанием 10. Первый HCN, который не является числом Харшада, - это 245 044 800, сумма цифр которого равна 27, но 27 не делится равномерно на 245 044 800.

10 из первых 38 очень сложных чисел превосходят высоко составные числа . Последовательность очень сложных чисел (последовательность A002182 в OEIS ) является подмножеством последовательности наименьших чисел k с ровно n делителями (последовательность A005179 в OEIS ).

Сильно составные числа, количество делителей которых также является сильно составным числом, для n = 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800 , 195643523275200 (последовательность A189394 в OEIS ). Весьма вероятно, что эта последовательность завершена.

Положительное целое число n является в основном составным числом, если d ( n ) ≥ d ( m ) для всех m ≤ n . Считающая функция Q _L ( x ) в значительной степени составных чисел удовлетворяет

${\displaystyle (\log x)^{c}\leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\ }$

для положительных c , d с . ^{[4] [5]}${\displaystyle 0.2\leq c\leq d\leq 0.5}$

Поскольку при разложении на простые множители очень сложного числа используются все первые k простых чисел, каждое сильно составное число должно быть практическим числом . ^[6] Многие из этих чисел используются в традиционных системах измерения и, как правило, используются в инженерных расчетах из-за простоты их использования в вычислениях с использованием дробей .

См. Также [ править ]

• Превосходное высококомпозитное число
• Высокоточный номер
• Таблица делителей
• Функция Эйлера
• Круглый номер
• Гладкий номер

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Рамануджан, С. (1915). «Сильно составные числа» (PDF) . Proc. Лондонская математика. Soc . Серия 2. 14 : 347–409. DOI : 10,1112 / ПНИЛИ / s2_14.1.347 . JFM  45.1248.01 .( онлайн )
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I . Дордрехт: Springer-Verlag . С. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300 .
• Эрдеш, П. (1944). «О сильно составных числах» (PDF) . Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 19 (75_Part_3): 130–133. DOI : 10.1112 / jlms / 19.75_part_3.130 . Руководство по ремонту  0013381 .
• Алаоглу, Л .; Эрдеш, П. (1944). «О сильно составных и похожих числах» (PDF) . Труды Американского математического общества . 56 (3): 448–469. DOI : 10.2307 / 1990319 . JSTOR  1990319 . Руководство по ремонту  0011087 .
• Рамануджан, Шриниваса (1997). «Сильно составные числа» (PDF) . Рамануджан Журнал . 1 (2): 119–153. DOI : 10,1023 / A: 1009764017495 . Руководство по ремонту  1606180 . Аннотировано и с предисловием Жан-Луи Николя и Ги Робена.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Сильно составное число» . MathWorld .
• Алгоритм вычисления сильно составных чисел
• Первые 10000 сложных чисел как факторы
• Ахим Фламменкамп, Первый 779674 HCN с сигма, тау, факторами
• Онлайн калькулятор составных чисел