Превосходное высококомпозитное число

Функция делителя d ( n ) до n  = 250

Коэффициенты основной мощности

В математике , превосходит весьма составное число является натуральным числом , которое имеет больше делителей , чем любое другое число масштабируется по отношению к некоторой положительной силе самого числа . Это более сильное ограничение, чем ограничение составного числа , которое определяется как имеющее больше делителей, чем любое меньшее положительное целое число.

Перечислены первые 10 высших составных чисел и их факторизация.

График числа делителей целых чисел от 1 до 1000. Сильно составные числа выделены жирным шрифтом, а старшие сильно составные числа отмечены звездочкой. В файле SVG наведите указатель мыши на полосу, чтобы просмотреть его статистику.

Для высшего высокосоставного числа n существует положительное действительное число ε такое, что для всех натуральных чисел k, меньших n, имеем

${\ displaystyle {\ frac {d (n)} {n ^ {\ varepsilon}}} \ geq {\ frac {d (k)} {k ^ {\ varepsilon}}}}$

и для всех натуральных чисел k, больших n, имеем

${\ displaystyle {\ frac {d (n)} {n ^ {\ varepsilon}}}> {\ frac {d (k)} {k ^ {\ varepsilon}}}}$

где d (n) , функция делителя , обозначает количество делителей числа n . Термин был введен Рамануджаном (1915). ^[1]

Первые 15 превосходных высоко составных чисел, 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (последовательность A002201 в OEIS ) также являются первыми 15 колоссальными обильные числа , которые удовлетворяют аналогичному условию, основанному на функции суммы делителей, а не на количестве делителей.

Свойства [ править ]

Эйлер диаграмма из обильных , примитивных обильных , весьма обильных , обильных , колоссально обильных , высоко композитных , превосходящих высоко композитных , странных и совершенных чисел под 100 в связи с дефицитом и составных числами

Все превосходные очень сложные числа очень сложны .

Эффективное построение множества всех высших высокосоставных чисел дается следующим монотонным отображением положительных действительных чисел. ^[2] Пусть

${\ displaystyle e_ {p} (x) = \ left \ lfloor {\ frac {1} {{\ sqrt [{x}] {p}} - 1}} \ right \ rfloor \ quad}$

для любого простого числа p и положительного действительного x . потом

${\ displaystyle \ quad s (x) = \ prod _ {p \ in \ mathbb {P}} p ^ {e_ {p} (x)} \ quad}$ является превосходным составным числом.

Обратите внимание, что продукт не нужно вычислять бесконечно, потому что если then , значит, произведение для вычисления может быть прекращено один раз .${\ displaystyle p> 2 ^ {x}}$${\ displaystyle e_ {p} (x) = 0}$${\ displaystyle s (x)}$${\ displaystyle p \ geq 2 ^ {x}}$

Также обратите внимание, что в определении , аналогично неявному определению высшего сложного числа.${\ displaystyle e_ {p} (x)}$${\ displaystyle 1 / x}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$

Более того, для каждого высшего составного числа существует полуоткрытый интервал, такой что .${\ displaystyle s ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle I \ подмножество \ mathbb {R} ^ {+}}$${\displaystyle \forall x\in I:s(x)=s^{\prime }}$

Это представление подразумевает, что существует бесконечная последовательность таких, что для n-го старшего сильно составного числа выполняется${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\ldots \in \mathbb {P} }$${\displaystyle s_{n}}$

${\displaystyle s_{n}=\prod _{i=1}^{n}\pi _{i}}$

Первые - это 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... (последовательность A000705 в OEIS ). Другими словами, частное двух последовательных высших очень сложных чисел является простым числом.${\displaystyle \pi _{i}}$

Улучшенные очень сложные корни [ править ]

Первые несколько высших высокосоставных чисел часто использовались в качестве основы из-за их высокой делимости по размеру. Например:

• Двоичный (основание 2)
• Senary (база 6)
• Двенадцатеричный (основание 12)
• Шестидесятеричный (основание 60)

Более крупные SHCN можно использовать и по-другому. 120 отображается как длинная сотня , а 360 отображается как количество градусов в круге.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Рамануджан, С. (1915). «Сильно составные числа» (PDF) . Proc. Лондонская математика. Soc . Серия 2. 14 : 347–409. DOI : 10,1112 / ПНИЛИ / s2_14.1.347 . JFM  45.1248.01 . Перепечатано в сборнике статей (под ред. Г. Х. Харди и др.), Нью-Йорк: Челси, стр. 78–129, 1962 г.
• Шандор, Йожеф; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I . Дордрехт: Springer-Verlag . С. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300 .

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Превосходное очень сложное число» . MathWorld .