В математике , А высоко избыточное число является натуральное число с тем свойством , что сумма его делителей ( в том числе и сам по себе) , что больше , чем сумма делителей любого меньшего натурального числа.
Большое количество чисел и несколько подобных классов чисел были впервые введены Пиллаи ( 1943 ), а ранняя работа по этому вопросу была проделана Алаоглу и Эрдешом ( 1944 ). Алаогл и Erdős сведены в таблицу все весьма обильные чисел до 10 4 , и показали , что количество весьма распространенных чисел , меньших , чем любая N , по меньшей мере пропорционально войти 2 N .
Формальное определение и примеры [ править ]
Формально натуральное число n называется очень распространенным тогда и только тогда, когда для всех натуральных чисел m < n ,
где σ обозначает функцию суммы делителей . Первые несколько очень распространенных чисел:
- 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 18 , 20 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 60 , ... (последовательность A002093 в OEIS ).
Например, 5 не очень распространен, потому что σ (5) = 5 + 1 = 6 меньше, чем σ (4) = 4 + 2 + 1 = 7, в то время как 8 очень распространен, потому что σ (8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 больше, чем все предыдущие значения σ.
Единственными нечетными числами в большом количестве являются 1 и 3. [1]
Отношения с другими наборами чисел [ править ]
Хотя первые восемь факториалов очень многочисленны, не все факториалы очень многочисленны. Например,
- σ (9!) = σ (362880) = 1481040,
но есть меньшее число с большей суммой делителей,
- σ (360360) = 1572480,
так 9! не очень распространен.
Алаоглу и Эрдеш отметили, что все избыточные числа очень многочисленны, и спросили, существует ли бесконечно много очень распространенных чисел, которые не являются избыточными. На этот вопрос утвердительно ответил Жан-Луи Николя ( 1969 ).
Несмотря на терминологию, не все очень распространенные числа являются многочисленными числами . В частности, ни одно из первых семи очень распространенных чисел (1, 2, 3, 4, 6, 8 и 10) не является обильным. Наряду с 16, девятым числом по численности, это единственные числа с высоким обилием, которых не так много.
7200 - это самое большое мощное число , которое также является очень распространенным: все более крупные и очень распространенные числа имеют простой делитель, который делит их только один раз. Следовательно, 7200 также является самым большим числом с нечетной суммой делителей. [2]
Заметки [ править ]
- ^ См. Алаоглу и Эрдеш (1944) , стр. 466. Алаоглу и Эрдеш более решительно утверждают, что все очень распространенные числа, превышающие 210, делятся на 4, но это неверно: 630 очень многочисленны и не делятся на 4. (Фактически, 630 - единственный контрпример ; все большие числа в большом количестве делятся на 12.)
- ^ Алаогл & Erdős (1944) , стр. 464-466.
Ссылки [ править ]
- Алаоглу, Л .; Эрдеш, П. (1944). «О сильно составных и похожих числах» (PDF) . Труды Американского математического общества . 56 (3): 448–469. DOI : 10.2307 / 1990319 . JSTOR 1990319 . Руководство по ремонту 0011087 .
- Николя, Жан-Луи (1969). "Максимальный порядок объединения групп S n де-перестановок и" очень сложных чисел " " . Бык. Soc. Математика. Франция . 97 : 129–191. Руководство по ремонту 0254130 .
- Пиллаи, СС (1943). «Очень обильные номера». Бык. Calcutta Math. Soc . 35 : 141–156. Руководство по ремонту 0010560 .