Массив Wythoff

В математике массив Wythoff бесконечная матрица из целых чисел , полученных из последовательности Фибоначчи и именем голландского математика Виллем Абрахама Уайтофф . Каждое положительное целое число встречается в массиве ровно один раз, и каждая целочисленная последовательность, определяемая повторением Фибоначчи, может быть получена путем сдвига строки массива.

Массив Wythoff был впервые определен Моррисоном (1980) с использованием пар Wythoff, координат выигрышных позиций в игре Wythoff . Его также можно определить с помощью чисел Фибоначчи и теоремы Цекендорфа или непосредственно из золотого сечения и рекуррентного соотношения, определяющего числа Фибоначчи.

Ценности [ править ]

Массив Wythoff имеет значения

${\displaystyle {\begin{matrix}1&2&3&5&8&13&21&\cdots \\4&7&11&18&29&47&76&\cdots \\6&10&16&26&42&68&110&\cdots \\9&15&24&39&63&102&165&\cdots \\12&20&32&52&84&136&220&\cdots \\14&23&37&60&97&157&254&\cdots \\17&28&45&73&118&191&309&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{matrix}}}$(последовательность A035513 в OEIS ).

Эквивалентные определения [ править ]

Вдохновленный аналогичным массивом Столярского, ранее определенным Столярски (1977) , Моррисон (1980) определил массив Витхофф следующим образом. Позвольте обозначить золотое сечение ; тогда i- я выигрышная позиция в игре Витхоффа определяется парой положительных целых чисел , где числа слева и справа от пары определяют две дополнительные последовательности Битти, которые вместе включают каждое положительное целое число ровно один раз. Моррисон определяет первые два числа в строке массива как пару Уайтхоффа, заданную уравнением${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (\lfloor i\varphi \rfloor ,\lfloor i\varphi ^{2}\rfloor )}$${\displaystyle m}$${\displaystyle i=\lfloor m\varphi \rfloor }$, а остальные числа в каждой строке определяются рекуррентным соотношением Фибоначчи. То есть, если обозначает запись в строке и столбце массива, то${\displaystyle A_{m,n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle A_{m,1}=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi \right\rfloor }$,

${\displaystyle A_{m,2}=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi ^{2}\right\rfloor }$, и

${\displaystyle A_{m,n}=A_{m,n-2}+A_{m,n-1}}$для .${\displaystyle n>2}$

Представление Цекендорфа любого положительного целого числа - это представление в виде суммы различных чисел Фибоначчи, никакие два из которых не являются последовательными в последовательности Фибоначчи. Как описывает Кимберлинг (1995) , числа в каждой строке массива имеют представление Цекендорфа, которое отличается друг от друга операцией сдвига, а числа в каждом столбце имеют представления Цекендорфа, которые все используют одно и то же наименьшее число Фибоначчи. В частности, элемент массива - это наименьшее число, представление Цекендорфа которого начинается с числа Фибоначчи.${\displaystyle A_{m,n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle (n+1)}$

Свойства [ править ]

Каждая пара Wythoff встречается в массиве Wythoff ровно один раз в виде последовательной пары чисел в одной строке с нечетным индексом для первого числа и четным индексом для второго. Поскольку каждое положительное целое число встречается ровно в одной паре Wythoff, каждое положительное целое число встречается в массиве ровно один раз ( Morrison 1980 ).

Каждая последовательность положительных целых чисел, удовлетворяющая повторению Фибоначчи, встречается со сдвигом не более чем на конечное число позиций в массиве Wythoff. В частности, сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а последовательность чисел Люка появляется в сдвинутой форме во второй строке ( Моррисон, 1980 ).

Ссылки [ править ]

• Кимберлинг, Кларк (1995), «Массив Цекендорфа равен массиву Уайтхоффа» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 33 (1): 3–8.
• Моррисон, Д.Р. (1980), «Массив Столярски пар Уайтхофф», Сборник рукописей, относящихся к последовательности Фибоначчи (PDF) , Санта-Клара, Калифорния: Ассоциация Фибоначчи, стр. 134–136.
• Столярский, КБ (1977), «Набор обобщенных последовательностей Фибоначчи, таких, что каждое натуральное число принадлежит ровно одному» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 15 (3): 224.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Массив Wythoff" . MathWorld .