В математике , А последовательность Битти (или гомогенная последовательность Битти ) представляет собой последовательность из целых чисел найдено, взяв слово из положительных кратных положительного иррационального числа . Последовательности Битти названы в честь Сэмюэля Битти , который написал о них в 1926 году.
Теорема Рэлея , названная в честь лорда Рэлея , утверждает, что дополнение последовательности Битти, состоящее из положительных целых чисел, не входящих в последовательность, само по себе является последовательностью Битти, порожденной другим иррациональным числом.
Последовательности Битти также могут использоваться для создания слов Штурма .
Определение
Положительное иррациональное число генерирует последовательность Битти
Если тогда также положительное иррациональное число. Эти два числа естественным образом удовлетворяют уравнению. Две последовательности Битти, которые они генерируют,
- а также
- ,
образуют пару дополнительных последовательностей Битти . Здесь «дополнительный» означает, что каждое положительное целое число принадлежит ровно одной из этих двух последовательностей.
Примеры
Когда r - золотая середина , s = r + 1. В этом случае последовательность, известная как нижняя последовательность Витхоффа ,
- 1 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 11 , 12 , 14 , 16 , 17 , 19 , 21 , 22 , 24 , 25 , 27 , 29 , ... (последовательность A000201 в OEIS ).
и дополнительная последовательность , верхняя последовательность Уайтхоффа , равна
- 2 , 5 , 7 , 10 , 13 , 15 , 18 , 20 , 23 , 26 , 28 , 31 , 34 , 36 , 39 , 41 , 44 , 47 , ... (последовательность A001950 в OEIS ).
Эти последовательности определяют оптимальную стратегию для игры Wythoff и используются в определении массива Wythoff.
Другой пример: для r = √ 2 имеем s = 2 + √ 2 . В этом случае последовательности
- 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, ... (последовательность A001951 в OEIS ) и
- 3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, ... (последовательность A001952 в OEIS ).
А для r = π и s = π / (π - 1) последовательности имеют вид
- 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, ... (последовательность A022844 в OEIS ) и
- 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, ... (последовательность A054386 в OEIS ).
Любое число в первой последовательности отсутствует во второй, и наоборот.
История
Битти последовательность получила свое название от задачи , поставленной в Американском математическом ежемесячнике по Самуэлю Битти в 1926 году [1] [2] Это, вероятно , одна из наиболее часто цитируются проблем когда - либо поставленные в Monthly . Однако еще раньше, в 1894 году, такие последовательности кратко упоминал Джон У. Стратт (3-й барон Рэлей) во втором издании его книги «Теория звука» . [3]
Теорема Рэлея
Теорема Рэлея (также известная как теорема Битти ) утверждает, что для иррационального числа Существует так что последовательности Битти а также разделить на множество положительных целых чисел: каждое положительное целое число принадлежит только одному из двух последовательностей. [3]
Первое доказательство
Дано позволять . Мы должны показать, что каждое натуральное число лежит в одной и только одной из двух последовательностей а также . Мы сделаем это, рассматривая порядковые позиции, занятые всеми дробями а также когда они перечислены вместе в порядке неубывания для положительных целых чисел j и k .
Чтобы увидеть, что никакие два числа не могут занимать одну и ту же позицию (как одно число), предположим противное, что для некоторых j и k . потом знак равно , рациональное число , но также,не рациональное число. Следовательно, никакие два числа не занимают одинаковые позиции.
Для любой , Существуют положительные целые числа такой, что а также положительные целые числа такой, что , так что положение в списке . Уравнение подразумевает
Точно так же позиция в списке .
Вывод: каждое положительное целое число (то есть каждая позиция в списке) имеет вид или формы , но не то и другое одновременно. Обратное утверждение также верно: если p и q - два действительных числа, такие, что каждое положительное целое число встречается ровно один раз в приведенном выше списке, тогда p и q иррациональны, а сумма их обратных чисел равна 1.
Второе доказательство
Столкновения : предположим, что вопреки теореме существуют целые числа j > 0 и k и m такие, что
Это эквивалентно неравенствам
Для ненулевого j иррациональность r и s несовместима с равенством, поэтому
которые приводят к
Сложив их вместе и используя гипотезу, мы получим
что невозможно (нельзя иметь целое число между двумя соседними целыми числами). Таким образом, предположение должно быть ложным.
Антиколлизии : предположим, что вопреки теореме существуют целые числа j > 0 и k и m такие, что
Поскольку j + 1 не равно нулю, а r и s иррациональны, мы можем исключить равенство, поэтому
Тогда мы получим
Добавляя соответствующие неравенства, получаем
что тоже невозможно. Таким образом, предположение неверно.
Характеристики
если и только если
где обозначает дробную часть т.е. .
Доказательство:
Более того, .
Доказательство:
Связь со штурмовскими последовательностями
Первая разница
последовательности Битти, связанной с иррациональным числом - характерное штурмовское слово над алфавитом.
Обобщения
Если немного изменить теорему Рэлея, ее можно обобщить на положительные действительные числа (не обязательно иррациональные), а также на отрицательные целые числа: если положительные действительные числа а также удовлетворить , последовательности а также образуют разбиение целых чисел.
Теорема Ламбека – Мозера обобщает теорему Рэлея и показывает, что более общие пары последовательностей, определенные из целочисленной функции и ее обратной функции, обладают одинаковым свойством разбиения целых чисел.
Теорема Успенского утверждает, что если положительные действительные числа такие, что содержит все положительные целые числа ровно один раз, то То есть не существует эквивалента теоремы Рэлея для трех или более последовательностей Битти. [4] [5]
Рекомендации
- ^ Битти, Сэмюэл (1926). «Проблема 3173». Американский математический ежемесячник . 33 (3): 159. DOI : 10,2307 / 2300153 .
- ^ С. Битти; А. Островский; Дж. Хислоп; AC Aitken (1927). «Решения проблемы 3173». Американский математический ежемесячник . 34 (3): 159–160. DOI : 10.2307 / 2298716 . JSTOR 2298716 .
- ^ а б Джон Уильям Стратт, третий барон Рэлей (1894). Теория звука . 1 (Второе изд.). Макмиллан. п. 123.
- ^ JV Успенский, О проблеме, возникающей из теории определенной игры, Amer. Математика. Monthly 34 (1927), стр. 516–521.
- ^ RL Грэм, По теореме Успенского , Amer. Математика. Monthly 70 (1963), стр. 407–409.
дальнейшее чтение
- Holshouser, Артур; Райтер, Гарольд (2001). «Обобщение теоремы Битти» . Юго-западный журнал чистой и прикладной математики . 2 : 24–29. Архивировано из оригинала на 2014-04-19.
- Столярский, Кеннет (1976). «Последовательности Битти, непрерывные дроби и некоторые операторы сдвига». Канадский математический бюллетень . 19 (4): 473–482. DOI : 10,4153 / CMB-1976-071-6 . Руководство по ремонту 0444558 . Включает много ссылок.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность Битти» . MathWorld .
- Александр Богомольный , Beatty Sequences , Cut-the knot