Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Страница Liber Abaci из Национальной библиотеки Фиренце . В списке справа показаны числа 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ( последовательность Фибоначчи ). 2, 8 и 9 больше напоминают арабские цифры, чем восточные арабские цифры или индийские цифры.

Liber Abaci (также пишется как Liber Abbaci ; [1] «Книга расчетов») - это исторический латинский манускрипт 1202 года по арифметике Леонардо Пизанского, посмертно известный как Фибоначчи .

Liber Abaci была одной из первых западных книг, описывающих индуистско-арабскую систему счисления и использующих символы, напоминающие современные « арабские цифры ». Обращаясь к приложениям как коммерсантов, так и математиков, он продвигал превосходство системы и использование этих символов. [2]

Хотя название книги также было переведено как «Книга счеты», Сиглер (2002) пишет, что это ошибка: цель книги - описать методы выполнения вычислений без помощи счеты , а также как Ore ( 1948) подтверждает, что в течение столетий после его публикации алгоритмисты (последователи стиля вычислений, продемонстрированного в Liber Abaci ) продолжали конфликтовать с абакистами (традиционалистами, которые продолжали использовать абак в сочетании с римскими цифрами). Историк математики Карл Бойер заявил в своей « Истории математики»: "Книга, в которой Фибоначчи описал новый алгоритм, является знаменитой классикой, завершенной в 1202 году, но носит вводящее в заблуждение название - Liber abaci (или книга счётов). Это не о счётах; это очень подробный трактат. об алгебраических методах и проблемах, в которых настоятельно рекомендуется использование индо-арабских цифр ». [3]

Сводка разделов [ править ]

В первом разделе представлена ​​индусско-арабская система счисления, включая методы преобразования между различными системами представления. Этот раздел также включает первое известное описание пробного деления для проверки того, является ли число составным, и, если да, его факторизации . [4]

Во втором разделе представлены примеры из коммерции, такие как преобразование валюты и единиц измерения, а также расчет прибыли и процентов .

В третьем разделе обсуждается ряд математических проблем; например, она включает (гл. II.12) китайскую теорему об остатках , совершенные числа и простые числа Мерсенна, а также формулы для арифметических рядов и квадратных пирамидальных чисел . Другим примером в этой главе, описывающим рост популяции кроликов, было происхождение последовательности Фибоначчи, автор которой наиболее известен сегодня.

В четвертом разделе приводятся приближения, как числовые, так и геометрические, иррациональных чисел, например квадратных корней.

В книгу также включены доказательства по евклидовой геометрии . Метод решения алгебраических уравнений Фибоначчи показывает влияние египетского математика начала 10-го века Абу Камиля Шуджа ибн Аслама . [5]

Обозначения Фибоначчи для дробей [ править ]

Читая Liber Abaci , полезно понимать обозначение Фибоначчи для рациональных чисел, обозначение, которое по форме занимает промежуточное положение между египетскими дробями, обычно используемыми до того времени, и вульгарными дробями, которые используются до сих пор. [6] Между нотацией Фибоначчи и современной нотацией дробей есть три ключевых различия.

  1. Обычно мы пишем дробь справа от целого числа, к которому она добавляется, например, 7/3. Фибоначчи вместо этого написать ту же долю влево, то есть .
  2. Фибоначчи использовал обозначение составной дроби, в котором последовательность числителей и знаменателей разделяла одну и ту же полосу дроби; каждый такой член представляет собой дополнительную долю данного числителя, деленную на произведение всех знаменателей, расположенных ниже и справа от него. То есть , и . Обозначения читались справа налево. Например, 29/30 можно записать как , представляя значение . Это можно рассматривать как форму смешанной системы счисления системы счисления, и она была очень удобна для работы с традиционными системами весов, мер и валют. Например, для единиц длины фут равен 1/3 ярда , а дюймсоставляет 1/12 фута, поэтому величина 5 ярдов, 2 футов и дюймов может быть представлена ​​как составная дробь: ярды. Однако типичные обозначения для традиционных мер, хотя и основаны на смешанных основаниях, не записывают знаменатели явно; явные знаменатели в обозначениях Фибоначчи позволяют ему использовать разные системы счисления для разных задач, когда это удобно. Сиглер также указывает на случай, когда Фибоначчи использует составные дроби, в которых все знаменатели равны 10, предвосхищая современное десятичное представление дробей.
  3. Фибоначчи иногда записывал несколько дробей рядом друг с другом, представляя собой сумму данных дробей. Например, 1/3 + 1/4 = 7/12, поэтому такая запись будет представлять число, которое теперь чаще будет записываться как смешанное число или просто неправильная дробь . Обозначение этой формы можно отличить от последовательностей числителей и знаменателей, разделяющих черту дроби, по видимому разрыву на полосе. Если все числители равны 1 в дроби, записанной в этой форме, и все знаменатели отличаются друг от друга, результатом является представление числа в египетской дроби. Это обозначение также иногда сочеталось с обозначением составной дроби: две составные дроби, написанные рядом друг с другом, представляли собой сумму дробей.

Сложность этой записи позволяет записывать числа разными способами, и Фибоначчи описал несколько методов преобразования одного стиля представления в другой. В частности, глава II.7 содержит список методов преобразования неправильной дроби в египетскую дробь, включая жадный алгоритм для египетских дробей , также известный как расширение Фибоначчи – Сильвестра.

Modus Indorum [ править ]

В Liber Abaci Фибоначчи говорит следующее, представляя Modus Indorum (метод индейцев), который сегодня известен как индуистско-арабская система счисления или позиционная система счисления с основанием 10. Также были введены цифры, которые очень напоминали современные арабские цифры .

Поскольку мой отец был государственным служащим вдали от нашей родины в Бугиитаможня, созданная для пизанских купцов, которые часто собирались здесь, он привел меня к себе в юности, надеясь найти для меня полезное и комфортное будущее; Там он хотел, чтобы я изучал математику и меня учили несколько дней. Благодаря чудесному обучению искусству девяти индийских фигур знакомство с этим искусством и знание этого искусства понравились мне больше всего, и я учился у них, кто бы ни был в этом разбирался, из соседнего Египта, Сирии, Греции, Сицилии. и Прованс, и их различные методы, в которые я впоследствии много ездил, чтобы тщательно изучить, и я узнал из собравшихся диспутов. Но этот в целом алгоритм и даже дуги Пифагора я все равно считал почти ошибкой по сравнению с индийским методом. Поэтому строго придерживаясь индийского метода,и внимательно изучая ее, исходя из собственного чутья, добавляя кое-что, а еще кое-что из тонкого евклидова геометрического искусства, применяя сумму, которую я смог воспринять к этой книге, я работал над тем, чтобы объединить ее в xv отдельных глав, показывая определенные доказательства почти для всего, что я ввел, так что в дальнейшем этот метод совершенствовался над остальными, эта наука была проинструктирована нетерпеливым, и прежде всего итальянцам, которые до сих пор встречаются без минимума. Если я случайно упустил что-то менее или более подходящее или необходимое, я умоляю вас о снисхождении ко мне, так как нет никого без вины, и во всем он был бы очень осторожен.Я работал над тем, чтобы объединить его в xv отдельных глав, демонстрируя определенные доказательства почти для всего, что я вложил, так что, в дальнейшем, этот метод совершенствовался над остальными, эта наука была наставлена ​​для нетерпеливых, и для итальянского народа прежде всего, которые до сих пор встречаются без минимума. Если я случайно упустил что-то менее или более подходящее или необходимое, я умоляю вас о снисхождении ко мне, так как нет никого без вины, и во всем он был бы очень осторожен.Я работал над тем, чтобы объединить его в xv отдельных глав, демонстрируя определенные доказательства почти для всего, что я вложил, так что, в дальнейшем, этот метод совершенствовался над остальными, эта наука была наставлена ​​для нетерпеливых, и для итальянского народа прежде всего, которые до сих пор встречаются без минимума. Если я случайно упустил что-то менее или более подходящее или необходимое, я умоляю вас о снисхождении ко мне, так как нет никого без вины, и во всем он был бы очень осторожен.Я умоляю вас о снисхождении ко мне, так как нет никого, кто был бы безупречен, и во всем был бы очень осторожен.Я умоляю вас о снисхождении ко мне, так как нет никого, кто был бы безупречен, и во всем был бы очень осторожен.
Девять индийских фигур:
9 8 7 6 5 4 3 2 1
С помощью этих девяти цифр и знака 0, который арабы называют зефиром, написано любое число ... ( Sigler 2002 ; см. Grimm 1973 для другого перевода)

Другими словами, в своей книге он выступал за использование цифр 0–9 и разрядных значений . До этого времени в Европе использовались римские цифры, что делало современную математику практически невозможной. Таким образом, книга внесла важный вклад в распространение десятичных чисел. Однако распространение индуистско-арабской системы, как пишет Оре, было "длительным", на широкое распространение потребовалось еще много столетий , и не завершилось до конца 16 века, резко ускорившись только в 1500-е годы с появлением книгопечатания.

Текстовая история [ править ]

Впервые рукопись появилась в 1202 году. Копии этой версии не известны. Пересмотренная версия Liber Abaci, посвященная Майклу Скоту , появилась в 1227 году нашей эры. [7] [8] Сохранилось как минимум девятнадцать рукописей, содержащих части этого текста. [9] Есть три полных версии этой рукописи тринадцатого и четырнадцатого веков. [10] Есть еще девять неполных копий, известных между тринадцатым и пятнадцатым веками, и, возможно, другие еще не идентифицированы. [10] [9]

Не было известной печатной версии Liber Abaci до итальянского перевода Бонкомпаньи 1857 года. [9] Первым полным английским переводом был текст Сиглера 2002 года. [9]

Примечания [ править ]

  1. ^ "Liber Abaci Фибоначчи (Книга расчетов)" . Университет Юты . 13 декабря 2009 . Проверено 27 ноября 2018 года .
  2. ^ Кейт Девлин (2012). Человек чисел: арифметическая революция Фибоначчи . Книги Уокера. ISBN 978-0802779083.
  3. ^ Бойер, Карл (1968). История математики . Нью-Йорк, Лондон, Сидней: John Wiley & Sons. п. 280.
  4. ^ Mollin, Ричард А. (2002). «Краткая история факторинга и тестирования на простоту BC (до компьютеров)». Математический журнал . 75 (1): 18–29. DOI : 10.2307 / 3219180 . Руководство по ремонту 2107288 .  См. Также Sigler, pp. 65–66.
  5. ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф., « Абу Камил Шуджа ибн Аслам », архив истории математики MacTutor .
  6. ^ Мойон, Марк; Списсер, Мэривонн (3 июня 2015 г.). "L'arithmétique des fractions dans l'œuvre de Fibonacci: fondements & usages". Архив истории точных наук . 69 (4): 391–427. DOI : 10.1007 / s00407-015-0155-у .
  7. ^ Скотт, TC; Маркетос, П., «Майкл Скот» , в О'Конноре, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. (редакторы), архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
  8. ^ Скотт, TC; Маркетос, П. (март 2014 г.), О происхождении последовательности Фибоначчи (PDF) , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
  9. ^ a b c d Германо, Джузеппе (2013). «Новые редакционные взгляды на Liber Abaci Фибоначчи». Reti Medievali Rivista . DOI : 10.6092 / 1593-2214 / 400 .
  10. ^ a b Словарь научной биографии (PDF) .

Ссылки [ править ]

  • Гримм, Р. Э. (1973), «Автобиография Леонардо Пизано» (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 11 (1): 99–104.
  • Сиглер, Лоуренс Э. (перевод) (2002), Liber Abaci Фибоначчи , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95419-8.
  • Оре, Øystein (1948), теория чисел и ее история , McGraw Hill. Также доступна версия Dover, 1988 г., ISBN 978-0-486-65620-5 .